Diagramma ad albero

Il diagramma ad albero è un tipo di rappresentazione che permette di scomporre un progetto complesso in dettagli sempre più precisi, così da poter giungere facilmente alla soluzione di un problema.

 

In questa lezione vedremo la definizione di diagramma ad albero e vi mostreremo come si costruiscono i diagrammi ad albero con l'aiuto di svariati esempi ed esercizi svolti.

 
 
 

Diagramma ad albero: definizione

 

I diagrammi ad albero sono un tipo di grafico che permettono di mappare un processo, cioè di avere un quadro di insieme, articolato e approfondito, del problema che si vuole risolvere.

 

Ogni diagramma ad albero è articolato in più livelli, legati tra loro da alcune linee rette che prendono il nome di rami del diagramma ad albero; scendendo di livello si semplifica il problema dato, fino a giungere alla soluzione.

 

Esempio di costruzione di un diagramma ad albero

 

Per fissare le idee proponiamoci di risolvere il seguente problema: quanti e quali sono i numeri di tre cifre che si possono formare usando le cifre 4 e 7?

 

Per risolvere il problema si può procedere per tentativi, ma così facendo si rischierebbe di dimenticare qualche numero. Usando un diagramma ad albero siamo invece sicuri di non commettere errori.

 

 

Diagramma ad albero

 

 

Per costruire il diagramma ad albero procediamo nel modo seguente:

 

1) in un riquadro riportiamo sinteticamente la richiesta del problema.

 

2) Rappresentiamo il primo livello del diagramma ad albero, che sarà formato dalle cifre 4 e 7.

 

3) Da ogni cifra facciamo partire tanti rami quante sono le cifre che possono occupare la seconda posizione del numero. Poiché queste cifre sono due (4 e 7) da ogni cifra del primo livello facciamo partire due rami, costruendo così il secondo livello del diagramma.

 

4) Da ciascuna cifra del secondo livello facciamo uscire tanti rami quante sono le cifre che possono occupare la terza posizione del numero. Anche in questo caso abbiamo due cifre, il numero 4 e il numero 7; quindi da ogni numero del secondo livello facciamo partire due rami e costruiamo il terzo livello.

 

5) Seguendo in ordine ciascun ramo del diagramma ad albero si formano tutti i numeri di tre cifre ottenuti usando i numeri 4 e 7: 444, 447, 474, 477, 744, 747, 774, 777.

 

Esercizi svolti sui diagrammi ad albero

 

Ora che dovrebbe essere chiaro cos'è e a cosa serve un diagramma ad albero, risolviamo i seguenti esercizi sui diagrammi ad albero.

 

 

1) Un gioco è composto da 9 pezzi di tre forme diverse (triangolo, cerchio, quadrato) e di tre colori diversi (blu, giallo, rosso). Rappresentare l'insieme dei pezzi del gioco con un diagramma al albero.

 

Svolgimento: dopo aver esposto sinteticamente la richiesta del problema, costruiamo il primo livello del diagramma ad albero disegnando le tre forme, ossia un triangolo, un cerchio e un quadrato.

 

Poiché ogni forma può avere tre colori (blu, giallo, rosso), da ogni forma facciamo partire tre rami e costruiamo il secondo livello del diagramma riportando i tre colori.

 

Seguendo ciascun ramo del diagramma otteniamo i 9 pezzi del gioco, così come mostrato nell'immagine seguente:

 

 

Esempio diagramma ad albero

 

 

2) Rappresentare con un diagramma ad albero la scomposizione in fattori primi del numero 120.

 

Svolgimento: la scomposizione di un numero con i diagrammi ad albero è un metodo molto semplice e intuitivo, e quindi adatto anche ai bambini di scuola primaria.

 

Per scomporre il numero 120 dobbiamo trovare due numeri che moltiplicati tra loro diano come risultato 120; i due numeri cercati sono 12 e 10, infatti 12 \times 10 = 120.

 

Dal numero 120 facciamo allora partire due rami, agli estremi dei quali riportiamo i due numeri 12 e 10; fatto ciò procediamo allo stesso modo con i numeri 12 e 10:

 

- due numeri il cui prodotto dà 12 sono 6 e 2;

 

- due numeri che moltiplicati tra loro danno 10 sono 5 e 2.

 

Di conseguenza, sia dal numero 12 che dal numero 10, facciamo partire altri due rami sotto i quali riportiamo i numeri 6, 2, 5, 2.

 

2 e 5 sono numeri primi, quindi in corrispondenza di tali numeri il diagramma ad albero si ferma. Il numero 6 invece non è primo, e i due numeri che danno come prodotto 6 sono 2 e 3. Facciamo quindi partire due rami dal numero 6 e riportiamo i numeri 2 e 3.

 

 

Diagramma ad albero scomposizione in fattori primi

 

 

Abbiamo così ottenuto la scomposizione in fattori primi del numero assegnato:

 

120=2^3 \times 3 \times 5

 

 

3) Un commerciante compra 100 vasetti di marmellata a 1,50 € l'uno e li rivende a 2,30 € ciascuno. Quanto guadagna sapendo che per la spedizione ha speso 20 euro?

 

Svolgimento: poiché sappiamo che il guadagno si ottiene dalla differenza tra ricavo e spesa, il problema può essere scomposto in due sottoproblemi, ossia a trovare il ricavo e a calcolare la spesa:

 

- il ricavo si ottiene moltiplicando il ricavo del singolo vasetto per il numero dei vasetti;

 

- la spesa si ottiene moltiplicando il prezzo d'acquisto del singolo vasetto per il numero di vasetti, e aggiungendo la spesa di spedizione.

 

Rappresentiamo il ragionamento complessivo con un diagramma ad albero:

 

 

Rappresentazione di un problema con diagramma ad albero

 

 

Inserendo i dati forniti dal problema e seguendo i rami del diagramma in ordine inverso rispetto a come li abbiamo costruiti, otteniamo la soluzione del problema: il guadagno del commerciante è di 60 €.

 

 

Soluzione del problema con diagramma ad albero

 

 

4) Si lancia per tre volte una moneta non truccata; rappresentare i possibili eventi con un diagramma ad albero.

 

Svolgimento: lanciando una moneta non truccata, i casi possibili sono 2: esce testa o esce croce. Poiché la moneta viene lanciata per 3 volte otteniamo il seguente diagramma ad albero degli eventi, in cui con T abbiamo indicato la testa e con C la croce.

 

 

Diagramma ad albero probabilità

 

 


 

Come avrete notato i diagrammi ad albero vengono usati in svariati campi della Matematica, e non solo: sono infatti utili a schematizzare e risolvere i problemi di algebra, i problemi di probabilità, i problemi di calcolo combinatorio e a semplificare i piccoli e grossi problemi di gestione delle aziende. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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