Proprietà dell'addizione

Le proprietà dell'addizione sono le proprietà algebriche di cui gode l'operazione di addizione di due o più numeri, e sono in tutto 5: la proprietà commutativa, la proprietà associativa, la proprietà dissociativa, l'esistenza dell'elemento neutro e l'esistenza dell'inverso additivo.

In questo articolo ci occuperemo delle proprietà dell'addizione tra due o più numeri. Le proprietà di cui gode l'addizione sono essenzialmente 5, sono semplici da ricordare e le apprezzerete quando vi troverete a fare i conti senza la calcolatrice.

Nota bene: chi fosse interessato può leggere la guida didattica sull'addizione, disponibile nella sezione per la scuola primaria. ;)

Tutte le proprietà dell'addizione

Indipendentemente dall'insieme numerico con cui stiamo lavorando l'addizione soddisfa le seguenti proprietà.

La prima proprietà dell'addizione è la proprietà commutativa: scambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia.

In pratica, presi due numeri qualsiasi possiamo sommare (cioè aggiungere) il primo al secondo o il secondo al primo ottenendo sempre lo stesso risultato. 

Per esempio, prendiamo i due numeri naturali 4 e 6.

Come possiamo vedere sulla retta orientata, aggiungendo 6 a 4 (come nel primo caso) oppure 4 a 6 (come nel secondo) otteniamo sempre 10.

 Com'è confermato la proprietà commutativa:

Volendo esprimere la proprietà commutativa dell'addizione con una formula matematica, scriveremo:

dove a e b indicano due qualsiasi numeri.

La seconda proprietà dell'addizione è la proprietà associativa: la somma di tre (o più) addendi non cambia se a due (o più) di essi si sostituisce la loro somma.

Se ad esempio dobbiamo calcolare il valore della seguente somma

possiamo eseguire le due addizioni nell'ordine in cui compaiono, ossia

In alternativa, in virtù della proprietà associativa, possiamo eseguire prima la somma tra gli ultimi due (ovvero possiamo associare gli ultimi due termini) e poi sommare il risultato col primo addendo. In questo modo il calcolo risulterà molto più semplice, infatti:

In formule, la proprietà associativa dell'addizione la possiamo esprimere come:

dove a, b e c stanno ad indicare tre qualsiasi numeri.

A cosa servono le prime due proprietà dell'addizione nella pratica?

Grazie alle proprietà associativa e commutativa dell'addizione, se abbiamo a che fare con una somma tra numeri naturali, possiamo eseguire le addizioni nell'ordine in cui vogliamo, senza porci alcun problema. Ad esempio volendo calcolare la seguente somma senza l'utilizzo della calcolatrice

Per la proprietà commutativa possiamo scambiare di posto il secondo ed il terzo addendo, così da avere:

Poi, possiamo associare poi 123 con 7 e 68 con 32:

Inutile dire che, una volta acquisita una certa dimestichezza, non serve giustificare i passaggi ad uno ad uno, ma si può tranquillamente procedere come riteniamo più comodo.

Altre proprietà dell'addizione

La terza proprietà dell'addizione che enunciamo è la proprietà dissociativa: la somma di due o più addendi non cambia se al posto di uno o più di essi se ne sostituiscono altri la cui somma è uguale all'addendo sostituito.

Ad esempio, per calcolare la seguente somma

possiamo riscrivere il 1066 come 1000+66, il 3414 come 3000+400+14 ed il 625 come 600+25.

In questo modo ci troviamo a calcolare

(applicando opportunamente le proprietà commutativa e associativa)

Vogliamo mettervi in guardia su una cosa: quella conosciuta con il nome di proprietà dissociativa non è, in realtà, una vera e propria proprietà ma è semplicemente una rilettura della proprietà associativa. A noi piace vederlo come un artificio, derivante dalla proprietà associativa, che agevola il calcolo mentale. D'altra parte, poiché viene presentata come proprietà a sé stante sui libri scolastici, abbiamo deciso di riproporla come tale.

La quarta proprietà dell'addizione è l'esistenza dell'elemento neutro: come avrete di sicuro notato, sommando zero a qualsiasi numero si ottiene il numero stesso. Si dice quindi lo zero è elemento neutro, ovvero non altera il risultato dell'addizione.

Volendo esprimere l'esistenza dell'elemento neutro per l'addizione con una formuletta, indicato con a un generico numero, scriveremo:

Sebbene per gli esempi fatti finora abbiamo scelto di lavorare solo con i numeri naturali per favorire i ragazzi di Prima Media, ribadiamo ancora una volta che, le proprietà dell'addizione fin qui enunciate valgono per qualunque insieme numerico, a partire dai numeri naturali, passando dai numeri razionali fino ad arrivare ai numeri irrazionali.

L'unica proprietà che costituisce eccezione a quanto appena detto è la seguente, che vale a patto di lavorare (almeno) nell'insieme dei numeri relativi.

Esistenza dell'inverso: dato un qualsiasi numero esiste sempre un elemento che, sommato al primo, dà come risultato zero (ovvero l'elemento neutro). Tale inverso, per l'addizione, altro non è se non l'opposto del numero che abbiamo scelto (ovvero il numero cambiato di segno).

Così, ad esempio:

è l'inverso di ;

è l'inverso di ;

è l'inverso di , infatti:

Questo conclude il quadro sulle proprietà dell'addizione. In caso di dubbi, oppure se vi servono esercizi svolti e spiegati, potete usare la barra di ricerca interna e trovare tutto quello che vi serve. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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Tags: proprietà addizione - proprietà commutativa, associativa, dissociativa dell'addizione - elemento neutro ed esistenza dell'inverso nella somma.