Numeri primi

I numeri primi sono tutti e soli i numeri naturali che sono divisibili solamente per 1 e per se stessi; tutti i numeri che non sono primi vengono chiamati numeri composti.

 

In questa lezione chiariamo, una volta per tutte, cosa sono i numeri primi e soprattutto come fare a capire se un numero è primo, che è uno dei compiti senza dubbio più difficili. Fatto ciò mettiamo a vostra disposizione una tabella dei numeri primi fino a 100, fino a 1000 e fino a 10000. ;)

 

Nota: qui su YM è disponibile anche una guida didattica dedicata ai docenti e ai genitori degli alunni della scuola elementare. Potete leggerla qui: numeri primi e numeri composti.

 
 
 

Cosa sono i numeri primi

 

Per capire cosa sono e quali sono i numeri primi partiamo da un esempio e consideriamo i seguenti numeri naturali: 5, 6, 15, 17, 25, 30 e, per ognuno di essi, scriviamo tutti i sottomultipli (o divisori).

 

 

\begin{array}{l l} \mbox{D(5)}=\{1, \ 5\} & \mbox{D(6)}=\{1, \ 2, \ 3, \ 6\} \\ & \\ \mbox{D(15)}=\{1, \ 3, \ 5, \ 15\} \ \ \ \ \ \ \ & \mbox{D(17)}=\{1, \ 17\} \\ & \\ \mbox{D(25)}=\{1, \ 5, \ 25\} & \mbox{D(30)}=\{1, \ 2, \ 3, \ 5, \ 6, \ 10, \ 15, \ 30\} \end{array}

 

 

Osserviamo i numeri 5 e 17 ed i loro divisori: entrambi hanno come sottomultipli soltanto il numero 1 e se stessi, mentre tutti gli altri numeri oltre ad 1 e se stessi ne hanno anche altri.

 

I numeri 5 e 17 si dicono numeri primi, mentre 6, 15, 25 e 30 son detti numeri composti.

 

Volendo dare una definizione per i numeri primi, diremo che: un numero maggiore di 1 è primo se è divisibile solo per 1 e per se stesso.

 

Al contrario, possiamo dare una definizione per i numeri composti scrivendo che: un numero maggiore di 1 è un numero composto se non è un numero primo.

 

1 è un numero primo?

 

La risposta è no! Ovvero si è stabilito che 1 non è un numero primo ed il motivo non è difficile da capire, neanche per un ragazzo di scuola media.

 

Se siete curiosi la spieghiamo in questo paragrafo, altrimenti saltate direttamente al successivo. ;)

 

Esiste infatti un teorema, conosciuto col nome di Teorema fondamentale dell'Aritmetica che dice che per ogni numero esiste (a meno dell'ordine) un'unica scomposizione in fattori primi. Cosa vuol dire?

 

Prendiamo ad esempio il numero 15. Sappiamo che la sua scomposizione in fattori primi è 15=3 \times 5, che volendo possiamo scrivere anche 15=5 \times 3 grazie alla proprietà commutativa della moltiplicazione.

 

Come potete vedere, potrebbe cambiare l'ordine in cui scriviamo i fattori (3 e 5) ma essi sono sempre gli stessi e non cambiano, cioè sono unici. Se considerassimo 1 come numero primo potremmo invece scrivere:

 

\\ 15 = 3 \times 5 \times 1\\\ \\ \mbox{oppure} \ 15 = 3 \times 5 \times 1 \times 1\\ \\ \mbox{o ancora} \ 15 = 3 \times 5 \times 1 \times 1 \times 1

 

e potremmo continuare. In parole povere l'1 nella fattorizzazione si può ripetere anche infinite volte, ottenendo sempre 15. Si verrebbe quindi a perdere l'unicità della scomposizione in fattori primi, ecco il motivo per cui i matematici hanno convenuto di non considerare l'1 come numero primo.

 

Come riconoscere i numeri primi

 

In generale capire se un numero molto grande è un numero primo non è affatto semplice! Anzi, ci sono ancora parecchi studi al riguardo... Ma noi, per fortuna, nelle verifiche non abbiamo a che fare con numeroni e proprio nella precedente lezione abbiamo introdotto gli strumenti che ci permettono di stabilire velocemente se un numero è o non è primo: i criteri di divisibilità.

 

Prendiamo ad esempio il numero 125. È primo? No, in quanto termina con 5 e come tale è divisibile proprio per 5. Avendo quindi trovato un divisore di 125 che sia diverso da 1 e da se stesso possiamo concludere che 125 non è un numero primo.

 

Ragionando allo stesso modo possiamo quindi affermare che:

 

- tutti i numeri pari, eccetto 2, non sono numeri primi, in quanto come loro divisore avranno di certo il 2;

 

- tutti i numeri che terminano per 5 non sono primi in quanto sono divisibili per 5;

 

- tutti i numeri, eccetto 3, la cui somma delle cifre è un multiplo di 3 avranno come loro sottomultiplo il 3, quindi non sono primi.

 

Potremmo continuare a lungo, semplicemente ricordando i criteri di divisibilità. ;)

 

Quanti sono i numeri primi?

 

I numeri primi sono infiniti e purtroppo, per questo motivo, non è possibile elencare tutti i numeri primi in una tabella. Inoltre, come già vi abbiamo detto, più un numero è grande più è difficile capire se è primo.

 

Fortunatamente almeno per il momento non avremo mai a che fare con numeri con molte cifre; noi di YouMath abbiamo messo a vostra disposizione qui di seguito una tavola dei numeri primi da 1 a 10000 e uno strumento online per controllare se un numero (non troppo grande) è un numero primo.

 

Inoltre, il caro Eratostene nel 200 avanti Cristo circa elaborò un procedimento per ricercare abbastanza velocemente i numeri primi compresi tra due numeri naturali, quello conosciuto col nome di Crivello di Eratostene.

 

Curiosità: il numero primo più grande ad oggi scoperto (Febbraio 2013) ha oltre 17 milioni di cifre e per chi dovesse trovare il successivo ci sono in palio un bel po' di soldini! ;)

 

Tabella dei numeri primi

 

Una tabella dei numeri primi, o tavola dei numeri primi, è un elenco stampabile in cui vengono riportati tutti i numeri primi compresi tra 1 ed un determinato numero, piuttosto grande, come 100, 1000 o 10000.

 

Qui di seguito vi proponiamo diverse tavole dei numeri primi scaricabili e in formato pdf, utili per farsi un'idea di quali sono i numeri primi fino a 10000 e per controllare manualmente se un determinato numero minore di 10000 è un numero primo o no. Prendetela per gli usi a voi più congeniali, che sia per curiosità o come riferimento nella risoluzione di alcuni esercizi.

 

Un classico esempio di esercizio in cui la tavola dei numeri primi può tornare utile è rappresentato dalla scomposizione in fattori primi, di cui trattiamo nel dettaglio nella lezione successiva.

 

 

Tabella dei numeri primi da 1 a 100: elenco in formato pdf, disponibile qui.

 

2

19

47

79

3

23

53

83

5

29

59

89

7

31

61

97

11

37

67

13

41

71

17

43

73

 

 

Tabella dei numeri da 1 a 1000: elenco in formato pdf, disponibile qui.

 

2

59

137

227

313

419

509

617

727

829

947

3

61

139

229

317

421

521

619

733

839

953

5

67

149

233

331

431

523

631

739

853

967

7

71

151

239

337

433

541

641

743

857

971

11

73

157

241

347

439

547

643

751

859

977

13

79

163

251

349

443

557

647

757

863

983

17

83

167

257

353

449

563

653

761

877

991

19

89

173

263

359

457

569

659

769

881

997

23

97

179

269

367

461

571

661

773

883

29

101

181

271

373

463

577

673

787

887

31

103

191

277

379

467

587

677

797

907

37

107

193

281

383

479

593

683

809

911

41

109

197

283

389

487

599

691

811

919

43

113

199

293

397

491

601

701

821

929

47

127

211

307

401

499

607

709

823

937

53

131

223

311

409

503

613

719

827

941

 

 

Tabella dei numeri primi da 1 a 10000: elenco in formato pdf, disponibile qui.

 

 


 

Ora che avete capito cos'è un numero primo e soprattutto come riconoscerlo possiamo passare oltre; in una delle lezioni successive vedremo come scomporre un numero nel prodotto di fattori primi. Nel caso voleste giochicchiare un po', potete usare il tool per controllare i numeri primi online.

 

Problemi con gli esercizi? Chi cerca trova: in caso di necessità potete usare la nostra barra di ricerca, avete a disposizione migliaia di risposte e tonnellate di esercizi risolti e spiegati!

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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