Operazioni con le frazioni

Le operazioni con le frazioni sono le classiche operazioni algebriche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza) in cui gli operandi sono frazioni. Per questo motivo, le operazioni tra frazioni sono caratterizzate da regole di calcolo specifiche.

 

Se avete dubbi su come si calcolano l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione o la potenza di frazioni, continuate a leggere! In questa lezione dedicata agli studenti della scuola media spiegheremo in modo semplice come svolgere tutte le operazioni con le frazioni. ;)

 

Prima di procedere con la spiegazione premettiamo che è necessario saper effettuare la riduzione ai minimi termini. Se non ricordate come fare basta un click sul link precedente.

 

Somma tra frazioni

 

La prima delle operazioni con le frazioni di cui ci occupiamo è la somma tra frazioni. Vediamo come si effettua proponendo un esempio.

 

Disegniamo un rettangolo e frazioniamolo in 7, cioè dividiamolo in 7 parti uguali. Coloriamo due parti di rosso, ossia i \frac{2}{7} e poi in blu altre tre ovvero i \frac{3}{7}

 

 

Addizione tra frazioni

 

 

Quante sono in tutto le parti colorate? Sono cinque, cioè i \frac{5}{7} del totale, la somma di \frac{2}{7}\mbox{ e }\frac{3}{7}.

 

In simboli

 

\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}

 

Da questo semplicissimo esempio possiamo dedurre la regola generale della somma tra frazioni, esponendola in due punti.

 

1) La somma di due o più frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione che avrà come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori.

 

Ad esempio

 

\\ \frac{5}{2}+\frac{7}{2}=\frac{5+7}{2}=\frac{12}{2}=6\\ \\ \\ \frac{2}{3}+\frac{11}{3}=\frac{2+11}{3}=\frac{13}{3}\\ \\ \\ \frac{27}{8}+\frac{55}{8}=\frac{82}{8}=\frac{41}{4}

 

2) Se le frazioni da sommare non hanno lo stesso denominatore, prima di effettuare l'addizione, si riconducono tutte allo stesso denominatore calcolando il minimo comune denominatore.

 

Ad esempio

 

\\ \frac{5}{2}+\frac{8}{3}+\frac{7}{8}=?\\ \\ \mbox{mcm}(2,3,8)=8 \times 3 = 24

 

A questo punto si traccia un'unica linea di frazione scrivendo come denominatore il mcm trovato

 

\frac{...+...+...}{24}

 

Per trovare i numeratori che formeranno la somma si divide il denominatore comune appena trovato per il vecchio denominatore e si moltiplica per il rispettivo numeratore, cioè

 

\\ 24:2=12 \times 5 = {\color{Red}60}\\ \\ 24:3=8 \times 8 = {\color{Red}64}\\ \\ 24:8=3 \times 7 = {\color{Red}21}

 

quindi scriveremo

 

\frac{60+64+21}{24}=\frac{145}{24}

 

 

L'addizione tra frazioni così come il prodotto (che vedremo tra poco) godono delle proprietà commutativa, associativa e dissociativa.

 

Se vuoi approfondire e vedere altri esempi, dai un'occhiata a addizione di frazioni.

 

Differenza tra frazioni

 

La seconda operazione tra frazioni che trattiamo è la differenza tra frazioni. Prendiamo ancora il nostro famoso rettangolo diviso in 7 parti uguali e coloriamone in rosso, questa volta, 5 parti cioè i \frac{5}{7}. Di queste 5 coloriamone 3 di blu ovvero i \frac{3}{7}

 

 

Sottrazione tra frazioni

 

 

Quante parti sono rimaste colorate di rosso? Ovviamente due, cioè i \frac{2}{7} che corrispondono alla differenza tra \frac{5}{7}\mbox{ e }\frac{3}{7}, ovvero

 

\frac{5}{7}-\frac{3}{7}=\frac{2}{7}

 

È giunto il momento di enunciare la regola per la differenza tra due o più frazioni. Anche qui ci sono due casi da considerare.

 

1) La differenza tra due o più frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione avente per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la differenza dei numeratori.

 

Così, ad esempio

 

\\ \frac{16}{3}-\frac{7}{3}=\frac{16-7}{3}=\frac{9}{3}=3\\ \\ \\ \frac{8}{15}-\frac{4}{15}=\frac{8-4}{15}=\frac{4}{15}\\ \\ \\ \frac{20}{17}-\frac{3}{17}-\frac{5}{17}=\frac{20-3-5}{17}=\frac{12}{17}

 

Nota bene: se il numeratore della prima frazione dovesse essere più piccolo dei successivi, nessuna paura! Ricadremo semplicemente nell'insieme dei numeri relativi, come ad esempio in

 

\\ \frac{8}{13}-\frac{15}{13}=\frac{8-15}{13}=-\frac{7}{13}\\ \\ \\ \frac{3}{5}-\frac{4}{5}=\frac{3-4}{5}=-\frac{1}{5}\\ \\ \\ \frac{3}{11}-\frac{12}{11}=\frac{3-12}{11}=\frac{9}{11}

 

2) Se invece le frazioni che stiamo sottraendo non hanno lo stesso denominatore, procederemo come visto per l'addizione tra frazioni, cioè calcoleremo il denominatore comune

 

\\ \frac{3}{4}-\frac{1}{10}-\frac{1}{5}-\frac{1}{20}=?\\ \\ \mbox{mcd}(4, \ 10, \ 5, \ 20)=20\\ \\ \mbox{da cui}\\ \\ \frac{3}{4}-\frac{1}{10}-\frac{1}{5}-\frac{1}{20}=\frac{15-2-4-1}{20}=\frac{\not{8}^2}{\not{20}_5}=\frac{2}{5}

 

 

Cerchi altri esempi sulla differenza di frazioni? Click!

 

Complementare di una frazione

 

La sottrazione tra frazioni ci permette di calcolare il complementare di una frazione, ossia quella frazione che addizionata alla prima da come risultato 1.

 

Per farlo è sufficiente calcolare la differenza:

 

1 \ - \ \mbox{frazione di cui si vuole trovare il complementare}

 

Così ad esempio il complementare di \frac{2}{3} sarà

 

1-\frac{2}{3}=\frac{3-2}{3}=\frac{1}{3}

 

Prodotto tra frazioni

 

La terza delle operazioni con le frazioni che trattiamo è la moltiplicazione tra frazioni. Anche in questo caso partiamo da un esempio.

 

Dato un segmento \overline{\mbox{AB}} lungo 12 cm consideriamone i \frac{3}{4} cioè dividiamo il segmento in 4 parti e prendiamone 3

 

 

Frazionare un segmento

 

 

Si verrà così a formare il segmento \overline{\mbox{AC}} che misurerà

 

(12:4) \times 3=3 \times 3 = 9 \ \mbox{cm}

 

Ancora, su questo segmento \overline{\mbox{AC}} operiamo con la frazione \frac{2}{3} (dividiamolo quindi in 3 parti e prendiamone 2) ottenendo un segmento