Operazioni con le frazioni
Le operazioni con le frazioni sono le classiche operazioni algebriche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza) in cui gli operandi sono frazioni. Per questo motivo, le operazioni tra frazioni sono caratterizzate da regole di calcolo specifiche.
Se avete dubbi su come si calcolano l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione o la potenza di frazioni, continuate a leggere! In questa lezione dedicata agli studenti della scuola media spiegheremo in modo semplice come svolgere tutte le operazioni con le frazioni. ;)
Prima di procedere con la spiegazione premettiamo che è necessario saper effettuare la riduzione ai minimi termini. Se non ricordate come fare basta un click sul link precedente.
Somma tra frazioni
La prima delle operazioni con le frazioni di cui ci occupiamo è la somma tra frazioni. Vediamo come si effettua proponendo un esempio.
Disegniamo un rettangolo e frazioniamolo in 7, cioè dividiamolo in 7 parti uguali. Coloriamo due parti di rosso, ossia i 
e poi in blu altre tre ovvero i 
Quante sono in tutto le parti colorate? Sono cinque, cioè i 
del totale, la somma di 
.
In simboli
Da questo semplicissimo esempio possiamo dedurre la regola generale della somma tra frazioni, esponendola in due punti.
1) La somma di due o più frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione che avrà come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore la somma dei numeratori.
Ad esempio
2) Se le frazioni da sommare non hanno lo stesso denominatore, prima di effettuare l'addizione, si riconducono tutte allo stesso denominatore calcolando il minimo comune denominatore.
Ad esempio
A questo punto si traccia un'unica linea di frazione scrivendo come denominatore il mcm trovato
Per trovare i numeratori che formeranno la somma si divide il denominatore comune appena trovato per il vecchio denominatore e si moltiplica per il rispettivo numeratore, cioè
quindi scriveremo
L'addizione tra frazioni così come il prodotto (che vedremo tra poco) godono delle proprietà commutativa, associativa e dissociativa.
Se vuoi approfondire e vedere altri esempi, dai un'occhiata a addizione di frazioni.
Differenza tra frazioni
La seconda operazione tra frazioni che trattiamo è la differenza tra frazioni. Prendiamo ancora il nostro famoso rettangolo diviso in 7 parti uguali e coloriamone in rosso, questa volta, 5 parti cioè i . Di queste 5 coloriamone 3 di blu ovvero i
Quante parti sono rimaste colorate di rosso? Ovviamente due, cioè i che corrispondono alla differenza tra 
, ovvero
È giunto il momento di enunciare la regola per la differenza tra due o più frazioni. Anche qui ci sono due casi da considerare.
1) La differenza tra due o più frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione avente per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la differenza dei numeratori.
Così, ad esempio
Nota bene: se il numeratore della prima frazione dovesse essere più piccolo dei successivi, nessuna paura! Ricadremo semplicemente nell'insieme dei numeri relativi, come ad esempio in
2) Se invece le frazioni che stiamo sottraendo non hanno lo stesso denominatore, procederemo come visto per l'addizione tra frazioni, cioè calcoleremo il denominatore comune
Cerchi altri esempi sulla differenza di frazioni? Click!
Complementare di una frazione
La sottrazione tra frazioni ci permette di calcolare il complementare di una frazione, ossia quella frazione che addizionata alla prima da come risultato 1.
Per farlo è sufficiente calcolare la differenza:
Così ad esempio il complementare di 
sarà
Prodotto tra frazioni
La terza delle operazioni con le frazioni che trattiamo è la moltiplicazione tra frazioni. Anche in questo caso partiamo da un esempio.
Dato un segmento 
lungo 12 cm consideriamone i 
cioè dividiamo il segmento in 4 parti e prendiamone 3
Si verrà così a formare il segmento 
che misurerà
Ancora, su questo segmento operiamo con la frazione (dividiamolo quindi in 3 parti e prendiamone 2) ottenendo un segmento 
che sarà lungo
Osserviamo che il segmento 
così ottenuto rappresenta i 
del segmento iniziale , cioè avremmo ottenuto lo stesso risultato se avessimo operato su direttamente con la frazione 
Possiamo quindi dire che 
di 
è uguale a di e scrivere
Notate che nell'ultimo passaggio abbiamo ridotto la frazione ai minimi termini.
Ora siamo pronti per esporre la regola: il prodotto di due o più frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto tra i numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori delle frazioni date.
Ecco un paio di altri esempi
Semplificazione nel prodotto tra frazioni
Riprendiamo uno degli esempi appena visti:
in cui siamo giunti al risultato finale semplificando il risultato. Vogliamo farvi notare che saremmo giunti alla stessa frazione semplificando, prima di eseguire la moltiplicazione, nel seguente modo:
cioè semplificando il denominatore di una frazione con il numeratore dell'altra. In generale solo ed escusivamente nel prodotto tra frazioni la semplificazione può avvenire ad incrocio cioè si può semplificare il numeratore di una col denominatore dell'altra.
Esempi di semplificazione ad incrocio nel prodotto tra frazioni
Se ti servono altri esempi sulla moltiplicazione tra frazioni - click!
Frazioni inverse o reciproche
Prima di passare a parlare della divisione tra frazioni è necessario introdurre il concetto di frazione inversa, o frazione reciproca.
Due frazioni si dicono inverse o reciproche (frazioni reciproche) se il loro prodotto è uguale ad uno.
Ad esempio 
è l'inversa di , infatti
così come 
è la reciproca di 
essendo
Dovreste aver capito che, molto semplicemente, l'inversa di una frazione si ottiene scambiando numeratore e denominatore.
Rapporto tra frazioni
Per eseguire la divisione tra due frazioni basta moltiplicare la prima per l'inversa della seconda. Così
Quindi se sapete svolgere il prodotto tra frazioni, la divisione risulterà una passeggiata in quanto, come abbiamo visto, tramite un semplicissimo artificio ci si riconduce proprio alla moltiplicazione.
Esempi
La divisione tra frazione così come la sottrazione godono della proprietà invariantiva. Vuoi dare un'occhiata ad altri esempi sulla divisione tra frazioni? Click!
Elevamento a potenza di una frazione
Sappiamo che una frazione è formata da due numeri naturali, uno dei quali andrà a formare il numeratore e l'altro il denominatore. Quindi, in analogia con quanto visto nella lezione sulle operazioni tra numeri naturali, la potenza di una frazione è il prodotto della frazione che stiamo considerando per se stessa tante volte quanto indicato dall'esponente:
Dagli esempi visti possiamo dedurre la regola di calcolo della potenza di una frazione: la potenza di una frazione è una nuova frazione che ha a numeratore la potenza del numeratore e a denominatore la potenza del denominatore.
Per fare un esempio:
Attenzione alle parentesi! La potenza di una frazione va sempre indicata mettendo la frazione tra parentesi, in quanto la parentesi va riferita sia al numeratore che al denominatore; se si tralascia la parentesi la potenza si intende riferita al solo numeratore
Anche per le potenze di frazioni continuano a valere le proprietà delle potenze.
Frazione di un numero
Ora che è chiaro come si svolgono le principali operazioni tra frazioni vediamo come si calcola la frazione di un numero.
Per trovare la frazione di un numero è sufficiente svolgere una moltiplicazione tra frazioni in cui uno dei due fattori è un numero intero.
Ad esempio, per calcolare i 
basta procedere come segue:
Ecco un altro esempio
That's all! Nelle prossime lezioni vedremo come si risolvono le espressioni con le frazioni e i problemi con le frazioni! Nel frattempo vi suggeriamo di mettervi alla prova con le schede di esercizi correlati, di cui trovate i link più in basso; e se avete degli esercizi per casa e volete controllare i risultati delle operazioni con le frazioni online, potete ricorrere allo strumento risolvi espressioni. ;)
Buon proseguimento su YouMath!
Giuseppe Carichino (Galois)
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