Operazioni con i numeri naturali
Le operazioni con i numeri naturali sono l'addizione, la sottazione, la moltiplicazione, la divisione e l'elevamento a potenza. A differenza di addizione, moltiplicazione ed elevamento a potenza, le operazioni di sottrazione e divisione tra numeri naturali non restituiscono necessariamente un numero naturale come risultato.
Dopo aver studiato l'insieme dei numeri naturali passiamo ad analizzare le quattro operazioni fondamentali tra numeri dell'insieme 
: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (oltre all'elevamento a potenza, inteso come moltiplicazione ripetuta).
In questa lezione ripasseremo ciò che è già noto dalla Scuola Primaria, con una panoramica sintetica di ciascuna operazione, le relative proprietà e alcuni esempi.
Indice
- Cos'è un'operazione matematica
- Addizione tra numeri naturali
- Sottrazione tra numeri naturali
- Moltiplicazione tra numeri naturali
- Divisione tra numeri naturali
- Elevamento a potenza con numeri naturali
Cos'è un'operazione matematica
Consideriamo una qualsiasi operazione, ad esempio 1+2=3. Cosa abbiamo fatto per ottenere il risultato? Abbiamo applicato un certo procedimento su due numeri (1 e 2) per ottenere un terzo numero (3) che soddisfa le condizioni dell'operazione eseguita (in questo caso un'addizione).
Possiamo quindi dire che un'operazione matematica è un procedimento che ci permette di associare a due numeri, dati in un certo ordine, un terzo numero che soddisfa determinate condizioni dettate dall'operazione che stiamo eseguendo.
Quella che abbiamo appena scritto non è una definizione rigorosa, ma è idonea per rendere l'idea al livello di studio delle Scuole Medie (il concetto di operazione matematica viene espresso in termini più precisi nel prosieguo degli studi).
Con queste premesse passiamo ad analizzare le quattro operazioni nel dettaglio.
Addizione tra numeri naturali
L'addizione tra numeri naturali si indica con il simbolo + e si svolge tra due numeri, partendo dal primo e contando in avanti tante unità quante sono le unità del secondo numero.
Se ad esempio addizioniamo 3 e 4, scriviamo 3+4 e contiamo partendo da 3 un numero di unità pari a 4. In questo modo otteniamo come risultato 3+4=7.
Addizione tra due numeri naturali.
Diciamo allora che l'addizione è l'operazione che ci permette di associare a due numeri, detti addendi, un terzo numero, detto somma, a cui si giunge contando successivamente al primo tanti numeri consecutivi quante sono le unità del secondo.
Notiamo che la somma di due qualsiasi numeri appartenenti a è sempre un numero che appartiene all'insieme . In termini matematici questo si esprime dicendo che l'addizione è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali, ossia che l'insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all'addizione.
Addizione con tre o più numeri
L'addizione si può anche estendere a tre o più addendi: a questo proposito basta svolgere ciascuna addizione, una per volta, partendo da sinistra. Così facendo ogni coppia di addendi viene sostituita dalla loro somma, fino a rimanere con due soli addendi e un'unica addizione.
Ad esempio:
Come si calcola l'addizione tra numeri naturali
Per svolgere l'addizione tra due numeri naturali si può procedere in due modi.
- Addizione in riga, se il calcolo da svolgere non è particolarmente difficile. Ad esempio:
- Addizione in colonna, per i calcoli più impegnativi (con numeri "grandi"). Si incolonnano gli addendi in modo che le cifre con le stesse posizioni dei due addendi si trovino sulla stessa colonna: unità sotto unità, decine sotto decine, centinaia sotto centinaia, e così via. Ad esempio:
Proprietà dell'addizione
Elenchiamo qui le proprietà dell'addizione e vediamo un esempio per ciascuna di esse.
- Proprietà commutativa: scambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia.
- Proprietà associativa: la somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.
- Proprietà dissociativa: la somma di due o più addendi non cambia se a uno di essi se ne sostituiscono altri la cui somma è uguale all'addendo sostituito.
Le tratteremo in dettaglio nelle lezioni successive.
Sottrazione tra numeri naturali
L'operazione di sottrazione tra numeri naturali si indica con il simbolo - e si svolge tra due numeri, partendo dal primo e togliendo da esso un'unità tante volte quante sono le unità del secondo numero.
Consideriamo ad esempio 7 e 3. Per calcolare la sottrazione 7-3 dobbiamo partire da 7 e togliere 3 unità, ottenendo come risultato 7-3=4.
Sottrazione tra due numeri naturali.
La sottrazione è quindi quell'operazione che permette di associare a due numeri, detti rispettivamente minuendo e sottraendo, un terzo numero detto differenza, che addizionato al sottraendo dà come risultato il minuendo.
Anche se questa definizione può sembrare complicata, in realtà è semplice. Tornando all'esempio 7-4=3 proprio perché 3+4=7.
In termini matematici, la sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione.
Osserviamo ora che se il minuendo ("numero che deve essere diminuito") è minore del sottraendo ("numero che deve essere sottratto"), allora il risultato della sottrazione non è più un numero naturale, come succede nel caso di 4-7.
Da qui si capisce che la differenza tra due numeri naturali non è necessariamente un numero naturale. In altre parole, la sottrazione non è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali.
Sottrazione con tre o più numeri
In modo simile all'addizione, possiamo anche calcolare la sottrazione tra tre o più numeri procedendo per singoli passaggi. Partendo da sinistra calcoliamo la sottrazione tra i primi due numeri e la sostituiamo con la loro differenza, dopodiché reiteriamo il procedimento fino a rimanere solo con un minuendo e un sottraendo.
Ad esempio:
Attenzione però: la sottrazione tra tre o più numeri naturali ha come risultato un numero naturale soltanto se a ogni passaggio otteniamo un minuendo che è maggiore del successivo sottraendo.
Come si svolge la sottrazione tra numeri naturali
Abbiamo visto che la sottrazione tra numeri naturali è possibile a patto che il minuendo sia maggiore o uguale al sottraendo. Proprio come accade per l'addizione, la sottrazione può essere svolta in due modi.
- Sottrazione in riga, se il calcolo è facile. Ad esempio:
- Sottrazione in colonna, se il calcolo diventa più impegnativo. In questo caso si procede in modo simile rispetto all'addizione.
Proprietà della sottrazione
L'unica proprietà della sottrazione è la proprietà invariantiva, secondo cui la differenza tra due numeri non cambia se ad entrambi si addiziona o si sottrae uno stesso numero.
Ne parleremo approfonditamente nelle lezioni successive.
Moltiplicazione tra numeri naturali
La moltiplicazione tra numeri naturali si indica con il simbolo x, oppure con il simbolo ·, e si svolge tra due numeri, addizionando il primo a se stesso tante volte quante sono le unità del secondo numero. In altri termini, la moltiplicazione è un'addizione ripetuta.
Ad esempio se moltiplichiamo 3 e 4, scriviamo 3x4 e sommiamo 3 a sé stesso 4 volte, ossia 3x4=3+3+3+3=12.
Moltiplicazione tra due numeri naturali.
Diciamo allora che la moltiplicazione è l'operazione aritmetica che permette di associare a due numeri, detti fattori, un terzo numero, detto prodotto, che si ottiene addizionando tanti addendi uguali al primo quante sono le unità del secondo.
Termini della moltiplicazione.
Proprio come nel caso dell'addizione, il prodotto tra due numeri naturali è sempre un numero naturale. La moltiplicazione è dunque un'operazione interna all'insieme , e l'insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto alla moltiplicazione.
Moltiplicazione con tre o più numeri
La moltiplicazione si può calcolare anche con tre o più fattori: per farlo è sufficiente svolgere le singole moltiplicazioni, una alla volta, partendo da sinistra. In questo modo ogni coppia di fattori restituisce un prodotto, che sarà a sua volta un fattore della successiva moltiplicazione.
Ad esempio:
Come si svolge la moltiplicazione tra numeri naturali
Anche nel caso della moltiplicazione esistono due metodi per procedere al calcolo.
- Moltiplicazione in riga, se almeno uno dei due fattori è composto da una sola cifra. Ad esempio:
- Moltiplicazione in colonna, se il calcolo è più complicato e coinvolge fattori con due o più cifre. Ad esempio:
Proprietà della moltiplicazione
Le proprietà della moltiplicazione sono le seguenti.
- Proprietà commutativa: scambiando l'ordine dei fattori, il prodotto non cambia.
- Proprietà associativa: il prodotto di tre o più fattori non cambia se al posto di due di essi se ne sostituisce il prodotto.
- Proprietà dissociativa: il prodotto di due o più fattori non cambia se a uno di essi se ne sostituiscono altri il cui prodotto è uguale al fattore sostituito.
- Proprietà distributiva: moltiplicare un numero per la somma (o per la differenza) tra due termini equivale a moltiplicare il numero per ciascun termine e ad addizionare (o sottrarre) i risultati.
In caso di dubbi, non preoccupatevene: le affronteremo una ad una nelle lezioni successive.
Divisione tra numeri naturali
La divisione tra numeri naturali si indica con il simbolo : e si svolge tra due numeri. Il risultato si ottiene raggruppando le unità del primo numero in tanti gruppi (uguali tra loro) quante sono le unità del secondo numero, e contando le unità di un singolo gruppo.
Ad esempio per calcolare la divisione tra 6 e 3 scriviamo 6:3, raggruppiamo le 6 unità in 3 gruppi uguali e contiamo le unità di un gruppo, ottenendo 6:3=2.
Divisione tra due numeri naturali.
In termini equivalenti la divisione è l'operazione che permette di associare a due numeri, detti rispettivamente dividendo e divisore, un terzo numero (se esiste) detto quoto, che moltiplicato per il divisore dà come risultato il dividendo.
Con riferimento al precedente esempio, 6:3=2 in quanto 2x3=6.
Da notare che il divisore deve essere diverso da zero, altrimenti l'operazione sarebbe priva di significato.
Attenzione! Ci sono tre aspetti molto importanti da tenere a mente.
1) La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.
2) Se il quoto esiste, allora si parla di divisione o di divisione esatta.
3) Se il quoto non esiste, ossia se non appartiene all'insieme dei numeri naturali, allora l'operazione non può essere svolta nell'insieme dei numeri naturali. In casi di questo tipo si può eventualmente svolgere una divisione con resto, che però non è un'operazione che associa a due numeri un risultato.
Dal punto 3) si intuisce che la divisione non è un'operazione interna all'insieme dei numeri naturali, ossia che il risultato della divisione tra due numeri naturali potrebbe non essere un numero naturale.
Divisione tra tre o più numeri naturali
È possibile dividere tre o più numeri, e per farlo si procede in modo simile a quanto visto per le precedenti operazioni: si parte da sinistra e si svolge una divisione alla volta. Questo però è possibile, nell'insieme dei numeri naturali, solo se per tutte le divisioni successive il quoto è un numero naturale.
Come si svolge la divisione tra numeri naturali
Dati due numeri naturali, possiamo dividere il primo per il secondo in due modi.
- Divisione in riga, se i calcoli sono semplici (ad esempio se il divisore è un numero a una cifra);
- Divisione in colonna, se i calcoli risultano più difficili.
Proprietà di cui gode la divisione
Le proprietà della divisione sono due:
- proprietà invariantiva, secondo cui la divisione tra due numeri non cambia se entrambi vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero diverso da zero;
- proprietà distributiva, secondo cui dividere una somma (o una differenza) di due termini per un numero equivale a dividere ciascun termine per il numero e ad addizionare (o sottrarre) i risultati.
Elevamento a potenza di numeri naturali
Da ultimo, qualche cenno all'operazione di elevamento a potenza, già nota dal quinto anno di Scuola Primaria, che tratteremo in modo approfondito quando parleremo delle potenze e delle proprietà delle potenze.
Elevare un numero naturale alla potenza data da un altro numero naturale vuol dire moltiplicare il primo numero per se stesso tante volte quante indicato dal secondo numero. Si tratta quindi di una moltiplicazione ripetuta.
Per denotare l'elevamento a potenza tra due numeri si può usare il simbolo ^ oppure, più opportunamente, scrivere il secondo numero come apice del primo.
Ad esempio per elevare 4 alla 7 scriviamo 47 e moltiplichiamo 4 per se stesso 7 volte, ossia 47=4x4x4x4x4x4x4=16384.
Elevamento a potenza tra due numeri.
L'elevamento a potenza è quindi l'operazione aritmetica che permette di associare a due numeri, detti rispettivamente base ed esponente, un terzo numero detto potenza, ottenuto moltiplicando la base per se stessa tante volte quante indicate dall'esponente.
Affinché l'operazione abbia senso è necessario che base ed esponente non siano entrambi nulle, altrimenti avremmo a che fare con un'operazione priva di significato. Al contrario, l'elevamento di una base diversa da zero alla zero dà come risultato 1 per definizione.
Avremo modo di riprendere questi aspetti e di approfondirli nella lezione dedicata.
Per questa lunga ed intensa lezione è davvero tutto! Dalla prossima inizieremo ad esaminare le proprietà delle operazioni a partire da quella commutativa.
Buon proseguimento su YouMath!
Giuseppe Carichino (Galois)
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