Proprietà invariantiva

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La proprietà invariantiva è una proprietà algebrica della sottrazione e della divisione. Essa stabilisce che in una sottrazione possiamo addizionare o sottrarre uno stesso numero ad entrambi i termini ottenendo la stessa differenza; in una divisione possiamo moltiplicare o dividere entrambi i termini per uno stesso numero, ottenendo lo stesso quoziente.

Nelle precedenti lezioni abbiamo visto che le tre proprietà finora analizzate, commutativa, associativa e dissociativa, non valgono per la sottrazione e la divisione. È giunto quindi il momento di dedicarci un po' anche a queste due operazioni il cui calcolo mentale, se necessario, è agevolato da quella che viene detta proprietà invariantiva.

Nota: per chi fosse interessato, qui su YM sono disponibili anche due schede didattiche dedicate alla scuola elementare. Eccole qui: proprietà invariantiva della sottrazione - proprietà invariantiva della divisione.

Proprietà invariantiva della sottrazione

Come già anticipato, la proprietà invariantiva della sottrazione serve a facilitare il calcolo della differenza tra due numeri. Iniziamo con la definizione: la differenza tra due numeri non cambia se ad entrambi si addiziona o si sottrae uno stesso numero.

Verifichiamola con un esempio. Sappiamo che

$13-8={\color{Red}5}$

Proviamo ad aggiungere sia al minuendo (13) che al sottraendo (8) uno stesso numero, ad esempio, 4 e rieffettuiamo la sottrazione

$(13+4)-(8+4)=17-12={\color{Red}5}$

Sottraiamo adesso ad entrambi uno stesso numero (ad esempio 6) ed effettuiamo nuovamente la sottrazione

$(13-6)-(8-6)=7-2={\color{Red}5}$

Funziona! :D

Ma come può la proprietà invariantiva facilitare i conti? Basta applicarla in modo tale il sottraendo diventi un numero che termina con zero! Se ad esempio dobbiamo eseguire la sottrazione

applichiamo la proprietà invariantiva aggiungendo 6 ad entrambi i termini, ottenendo

$(861 {\color{Blue}+6})-(94{\color{Blue}+6})=867-100=767$

Ora provateci voi! Provate ad eseguire le seguenti sottrazioni utilizzando la proprietà invariantiva della sottrazione.

$\\ 274-35=?\\ \\ 439-94=?\\ \\ 174-57=?$

Proprietà invariantiva della divisione

La proprietà invariantiva della divisione ci dice che: il quoziente tra due numeri non cambia se entrambi si moltiplicano o si dividono per uno stesso numero diverso da zero.

Vediamo se la proprietà invariantiva della divisione funziona provando ad applicarla in un esempio:

Dividiamo dividendo (432) e divisore (24) per uno stesso numero, ad esempio 6 e rieseguiamo la divisione

$(432 {\color{Red}:6}):(24{\color{Red}:6})=72:4=18$

Moltiplichiamoli entrambi per uno stesso numero

$(432 {\color{Red} \times 2}):(24{\color{Red} \times 2})=864:48=18$

Qui però, ahimè, a differenza di quanto visto per la sottrazione non c'è una regoletta standard da seguire che permette di agevolare sempre e comunque i conti e, a mali estremi, bisogna affidarsi alla calcolatrice o al sempre verde metodo delle divisioni in colonna (vedi operazioni tra numeri naturali).

Prima dei saluti di rito, ci teniamo a farvi notare che la proprietà invariantiva non vale per addizione e moltiplicazione. A titolo di esempio consideriamo la seguente addizione:

Se valesse la proprietà invariantiva, sommando o sottraendo ad entrambi gli addendi uno stesso numero, la somma non dovrebbe cambiare. Proviamo quindi a sottrarre, ad entrambi, il numero 5. Avremo così

che, come potete osservare, è ben diverso da 12+15=27.

Ora è davvero tutto! Nella prossima lezione parleremo della proprietà distributiva che, come vedremo, accomunerà sotto lo stesso tetto più operazioni.

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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