Multipli, sottomultipli e divisori

I multipli di un numero in Algebra sono tutti i numeri che si ottengono moltiplicando quel numero per tutti gli altri numeri interi; al contrario, i sottomultipli o divisori di un numero sono tutti i numeri interi che dividono quel numero senza resto.

Introduciamo ora tre concetti estremamente semplici ma basilari dell'Algebra: preso un qualsiasi numero naturale, vedremo cosa sono e come determinare i suoi multipli, i suoi sottomultipli ed i suoi divisori

Per comprendere pienamente tali concetti, riprendiamo un attimo il concetto di divisione tra due numeri naturali.

Dati due qualsiasi numeri naturali (ad esempio 16 e 2) eseguiamo la divisione:

Diremo quindi che 16 è divisibile per 2, in quanto la divisione non ci ha dato resto.

Se invece, consideriamo i numeri naturali 11 e 2, ed eseguiamo la divisione, avremo:

ed, in tal caso, diremo che 11 non è divisibile per 2 perché abbiamo ottenuto come resto un numero che non è zero.

Morale della favola: presi due numeri naturali, il primo numero è divisibile per il secondo se la divisione dà come resto zero.

Cosa sono i multipli, i sottomultipli ed i divisori di un numero intero

Consideriamo due numeri naturali divisibili tra loro, ad esempio 27 e 3, infatti:

in questo caso diremo che 27 è un multiplo di 3 e 3 è un sottomultiplo o divisore di 27.

In generale, se un numero naturale è divisibile per un altro (ossia il resto della loro divisione è zero) diciamo che:

- il primo è un multiplo del secondo e il secondo è un sottomultiplo (o divisore) del primo.

Esempi su multipli e sottomultipli

Vediamo qualche esempio sui multipli e sui sottomultipli.

1)

In questo caso:

- il primo numero (63) è un multiplo del secondo (7);

- il secondo (7) è un sottomultiplo (o divisore) del primo (63).

2) .

Possiamo quindi affermare che 64 è un multiplo di 8 e che 8 è un sottomultiplo di 64.

3)

Poiché in questo caso il resto della divisione tra 18 e 5 non è zero, risulta che 18 non è un multiplo di 5, così come 5 non è un sottomultiplo di 18. In altri termini possiamo dire che 5 non divide 18 o che 5 non è un divisore di 18.

Dovreste ormai aver capito che si possono utilizzare indistintamente i termini divisore e sottomultiplo, ovvero i due termini sono sinonimi.

Dati due numeri naturali qualsiasi abbiamo quindi visto come stabilire se l'uno è un multiplo o sottomultiplo dell'altro. Vediamo il procedimento pratico che ci permette di trovare tutti i multipli e sottomultipli di un qualsiasi numero naturale.

Come trovare i multipli di un numero naturale

Prendiamo un qualsiasi numero naturale, ad esempio 5, e proponiamoci di trovare tutti i suoi multipli. È molto semplice: basta prendere il numero e moltiplicarlo per tutti i numeri naturali!

e così via...

Capirete bene che essendo i numeri naturali infiniti, tali saranno anche i multipli di un numero. Inoltre lo zero è multiplo di un qualsiasi numero naturale!

Come trovare i sottomultipli di un numero naturale

Prendiamo un numero naturale, ad esempio 24, e proponiamoci di trovare i suoi sottomultipli (o divisori), ovvero quei numeri, tali che, se si esegue la divisione con 24 danno come resto zero.

Due divisori sono sicuramente 1 ed il numero stesso, infatti:

La strada che ci permette di trovare tutti gli altri e non dimenticarne nessuno si basa sulla scomposizione in fattori primi (se non sai come fare lo spieghiamo nella lezione del link)

Da qui vediamo che i sottomultipli di 24 sono: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, i quali si ottengono da tutti i possibili prodotti degli elementi della colonna di destra.

Quindi, ricapitolando, i sottomultipli o divisori di 24 sono: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Un altro esempio sui sottomultipli

Cerchiamo i sottomultipli di 36:

Svolgiamo tutti i possibili prodotti fra i numeri ottenuti nella colonna di destra:

Quindi, (non dimentichiamoci 1 che è un sottomultiplo di qualsiasi numero), i divisori o sottomultipli di 36 sono: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Potrebbe sembrare un procedimento lungo e tortuoso, ma in realtà non è così. Dopo un po' di tempo, con un po' di pratica, il calcolo dei divisori di un numero diventa immediato, grazie anche all'utilizzo dei criteri di divisibilità. ;)

Ricapitolando

I multipli di un numero sono infiniti e si ottengono moltiplicando il numero dato per tutti i numeri naturali.

Lo zero è multiplo di qualsiasi numero.

I sottomultipli o divisori di un numero naturale sono quei numeri per i quali la divisione col numero di partenza da come resto zero.

L'uno è un divisore (sottomultiplo) di qualsiasi numero.

Per questa lezione è tutto! Se volete consultare altri esempi ed esercizi svolti vi raccomandiamo di usare la barra di ricerca interna, perché qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. Inoltre sappiate che c'è anche un tool per calcolare i divisori di un numero online, disponibile nell'approfondimento dedicato alla tavola dei divisori. ;)

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

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