Diagramma di Eulero Venn

Un diagramma di Venn, detto anche diagramma di Eulero-Venn, è un tipo di rappresentazione grafica degli insiemi che prevede di disegnare gli insiemi come figure delimitate da una linea chiusa non intrecciata, all'interno della quale ne vengono trascritti gli elementi.

Quando si ragiona sui problemi di insiemistica può essere utile dare una rappresentazione grafica degli insiemi stessi. Come si può disegnare un insieme? Esiste un metodo che impariamo sin dalla scuola primaria, e che permette di rappresentare graficamente e in modo astratto gli insiemi e le varie operazioni: i diagrammi di Venn, per l'appunto.

In realtà abbiamo già trattato l'argomento nelle precedenti lezioni del corso di insiemistica, specialmente quando abbiamo descritto le possibili operazioni tra insiemi. Ora è un buon momento per fare un ripasso e vedere una panoramica sui diagrammi di Venn, sia riguardo ai concetti base relativi agli insiemi, sia per ciascuna delle operazioni già studiate.

Cos'è un diagramma di Venn

Immaginiamo di avere un insieme finito o infinito. Un diagramma di Eulero Venn ne fornisce una rappresentazione semplice e intuitiva, e consiste nel disegnare l'insieme come una figura delimitata da una linea chiusa non intrecciata (ad esempio un cerchio).

Se abbiamo a che fare con un insieme con un numero finito di elementi, possiamo raffigurare l'insieme stesso con una figura chiusa e delimitata da una linea, all'interno della quale indichiamo ciascun elemento con un punto. Ad esempio:

Diagramma di Venn di un insieme finito.

Se invece vogliamo rappresentare un insieme con un numero infinito di elementi, possiamo limitarci a disegnare una linea chiusa: la regione contenuta all'interno di tale linea, lasciata bianca, indicherà simbolicamente gli infiniti elementi appartenenti all'insieme.

Diagramma di Venn di un insieme infinito.

Diagramma di Venn per nozioni insiemistiche di base

Insieme in un insieme universo

Se vogliamo disegnare un insieme , ad esempio con un numero finito di elementi, e vogliamo rappresentare anche il suo insieme universo possiamo disegnare il diagramma di Venn di contenuto all'interno di un rettangolo.

La regola dei punti vale come indicato poche righe sopra: se l'insieme universo ha un numero infinito di elementi e ne ha un numero finito, lasciamo in bianco la parte interna ad che è esterna ad e segniamo i punti per indicare gli elementi di .

Diagramma di Venn di un insieme finito in un suo insieme universo infinito.

Se invece anche è costituito da un numero finito di elementi, dovremo indicare gli elementi di che non appartengono ad all'interno del diagramma di ma all'esterno di quello di .

Diagramma di Venn di un insieme finito in un suo insieme universo finito.

Esempio

Rappresentare con un diagramma di Eulero Venn l'insieme dei numeri dispari tra i primi dieci numeri naturali positivi :

Esempio: diagramma di Venn di un insieme finito in un insieme universo finito.

Diagramma di Venn dell'insieme vuoto

Il diagramma di Venn dell'insieme vuoto è in tutto e per tutto simile a quello di un insieme infinito: una linea chiusa non intrecciata, e basta.

Da un lato però, nel caso degli insiemi infiniti, lo spazio vuoto rappresenta tutti gli infiniti elementi dell'insieme; al contrario, nel caso dell'insieme vuoto, lo spazio vuoto è da intendersi come la rappresentazione di nessun elemento. È quindi essenziale ricordarsi di indicare il nome dell'insieme a fianco del diagramma, in modo da non fare confusione.

Diagramma di Venn dell'insieme vuoto.

Vale la pena di precisare che questa rappresentazione ha senso solamente nei casi in cui vogliamo disegnare il diagramma di Venn dell'insieme vuoto senza che siano coinvolti altri insiemi.

Diagramma di Venn per l'inclusione

Se un insieme è contenuto in un altro insieme (sottoinsieme), e quindi , per rappresentarli dovremo disegnare il diagramma di Eulero Venn di all'interno di quello di .

Diagramma di Venn per l'inclusione: sottoinsieme contenuto in un insieme.

Diagrammi di Venn per le operazioni insiemistiche

Rappresentare gli insiemi con i diagrammi è molto utile perché permette di avere un'idea visiva delle varie operazioni che si possono svolgere tra gli insiemi. Di seguito mostriamo a quali diagrammi corrispondono il complementare di un insieme, l'intersezione, l'unione, la differenza insiemistica e la differenza simmetrica tra due insiemi. Giusto per rendere l'idea, useremo le rappresentazioni senza punti.

Diagramma di Venn per il complementare

Se abbiamo un insieme e vogliamo rappresentare il diagramma di Eulero Venn del complementare , dobbiamo prendere la parte di esterna ad .

Diagramma di Venn del complementare.

Diagramma di Venn per l'intersezione

Consideriamo due insiemi e immaginiamo che essi abbiano intersezione non vuota: . In tal caso possiamo rappresentare il diagramma di Venn dell'intersezione sovrapponendo una parte dei due insiemi. L'intersezione è proprio la parte in comune tra i due insiemi.

Diagramma di Venn dell'intersezione tra due insiemi non disgiunti.

Se invece sono insiemi disgiunti, ossia a intersezione vuota , non dobbiamo segnare nulla:

Diagramma di Venn dell'intersezione tra insiemi disgiunti.

Diagramma di Venn per l'unione

Dati due insiemi , per disegnare il diagramma di Venn dell'unione  dovremo semplicemente colorare tutta la parte del disegno interna ai due insiemi, indipendentemente che essi abbiano intersezione vuota o non vuota.

Diagramma di Venn dell'unione tra due insiemi.

Diagramma di Venn per la differenza insiemistica

Per disegnare il diagramma di Venn della differenza insiemistica tra due insiemi dobbiamo distinguere due casi:

1) se , cioè se l'intersezione è vuota, la differenza coincide con

Diagramma di Venn della differenza tra due insiemi disgiunti.

2) Se invece i due insiemi si intersecano, per individuare la differenza dovremo colorare solamente la parte di che si trova al di fuori di .

Diagramma di Venn della differenza tra due insiemi con intersezione non vuota.

Diagramma di Venn della differenza simmetrica

Dati due insiemi , per disegnare il diagramma di Venn della differenza simmetrica  distinguiamo due casi:

1) se i due insiemi hanno intersezione non vuota, per individuare la differenza simmetrica considereremo le parti dei due insiemi escludendo l'intersezione.

Diagramma di Venn della differenza simmetrica tra insiemi non disgiunti.

2) Se i due insiemi hanno intersezione vuota, la differenza simmetrica si riduce all'unione tra i due insiemi

Diagramma di Venn della differenza simmetrica tra insiemi disgiunti.

That's all, folks! Nella prossima lezione presenteremo le leggi di De Morgan, e le dimostreremo anche servendoci dei diagrammi di Venn. ;)

Nel frattempo... Dubbi, problemi o domande? Qui su YM ci sono migliaia di lezioni, approfondimenti, problemi ed esercizi svolti: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

שלום, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Ultima modifica: 14/04/2023