Sottoinsiemi propri e impropri

I sottoinsiemi di un insieme E sono definiti come insiemi che contengono una parte degli elementi dell'insieme E, nessun elemento o eventualmente tutti. Un sottoinsieme proprio è un sottoinsieme che contiene solo una parte degli elementi di E, mentre un sottoinsieme improprio può solamente essere vuoto o coincidere con E.

In questa lezione vogliamo enunciare e spiegare la definizione di sottoinsieme, per poi parlare dei due possibili tipi di sottoinsiemi che si possono incontrare: i sottoinsiemi propri e impropri.

Nel corso della spiegazione forniremo le definizioni a parole, nel modo più semplice possibile e corredandole con opportuni esempi; nel contempo ne proporremo le formulazioni simboliche per chi è qui in fase di ripasso ed è già avvezzo all'utilizzo dei simboli, commentandole nel dettaglio.

Definizione di sottoinsieme

Siano ed due insiemi. Diciamo che è un sottoinsieme di se ogni elemento di appartiene a .

Volendoci esprimere in matematichese, ossia per mezzo di simboli matematici, possiamo scrivere

e leggeremo: è un sottoinsieme di se e solo se per ogni appartenente all'insieme risulta che appartiene all'insieme .

In generale per indicare che un insieme è un sottoinsieme di usiamo il simbolo di inclusione  e diciamo che è contenuto in , o che è incluso in

In tal caso, e al contrario, possiamo dire che è un sovrainsieme di . A tal proposito usiamo il simbolo di inclusione inverso e diciamo che contiene l'insieme , o ancora che  include l'insieme

Possiamo dividere i sottoinsiemi di un insieme in due categorie: i sottoinsiemi propri ed i sottoinsiemi impropri. Prima di studiarli nel dettaglio vogliamo fare una precisazione riguardo a due fraintendimenti comuni tra chi studia gli insiemi per la prima volta...

Non confondiamo i simboli di appartenenza e di inclusione!

Un elemento può appartenere a oppure essere contenuto in un insieme.

Un insieme può contenere un elemento.

Un insieme può contenere o includere un altro insieme.

Un insieme può essere contenuto oppure essere incluso in un altro insieme.

Abbiamo libertà di scelta nell'uso dei termini, ma non nell'uso dei simboli e dunque attenzione a usare il simbolo di appartenenza per descrivere il legame elementi-insiemi e il simbolo di inclusione per insiemi-insiemi:

Insieme vuoto come sottoinsieme

L'insieme vuoto , di cui parleremo nella prossima lezione, è definito come l'insieme privo di elementi ed è sottoinsieme di qualsiasi insieme.

Questa osservazione di solito genera confusione, ma per convincersene basta rileggere la definizione di sottoinsieme da un punto di vista logico: dato un insieme , è vero che ogni elemento dell'insieme vuoto appartiene anche all'insieme ? Certamente, proprio perché non contiene alcun elemento. :)

Sottoinsiemi propri

Immaginiamo di avere un insieme e un qualsiasi sottoinsieme costituito da elementi di .

Diciamo che è un sottoinsieme proprio di , o che è contenuto propriamente in , o ancora che è incluso propriamente in , se valgono le seguenti condizioni:

- contiene almeno un elemento;

- tutti gli elementi di appartengono a ;

- esiste almeno un elemento di che non appartiene ad .

In questo caso usiamo una notazione più specifica e scriviamo

o in alternativa

Volendo esprimere la definizione in linguaggio simbolico:

dove il simbolo è un connettivo logico e ha il significato di "e". A parole: è un sottoinsieme di se e solo se contiene almeno un elemento, se ogni elemento di appartiene a e se esiste almeno un elemento di non appartenente ad .

In parole povere un sottoinsieme proprio di è un insieme contenuto in , che però non può coincidere con e tale da non essere vuoto.

Dal punto di vista dell'insieme diciamo che è un sovrainsieme proprio di e che contiene propriamente , o ancora che  include propriamente , e scriviamo

o eventualmente

Esempi di sottoinsiemi propri

1) Se consideriamo , allora sono esempi di sottoinsiemi propri di :

2) Consideriamo i due insiemi rappresentati nel seguente diagramma di Venn (di cui abbiamo parlato nella lezione Cos'è un insieme e su cui torneremo nella lezione Diagrammi di Eulero Venn):

Esempio di sottoinsieme contenuto propriamente in un altro.

Si vede subito che è contenuto in , che non contiene tutti gli elementi di e che non è vuoto, dunque è un suo sottoinsieme proprio: .

3) Dato un qualsiasi insieme , l'insieme non è contenuto propriamente in se stesso in quanto non viene soddisfatta la terza condizione prevista dalla definizione: non possiamo trovare almeno un elemento di che non appartiene ad .

Di conseguenza non possiamo scrivere perché non esiste alcun elemento di che non sia contenuto in  (ovviamente!).

Sottoinsiemi impropri

Questa definizione è un po' più delicata, ma comunque non è difficile: diciamo che è un sottoinsieme improprio di , o che è contenuto impropriamente in , o ancora che è incluso impropriamente in se:

- è l'insieme vuoto;

oppure

- è un sottoinsieme di tale che ogni elemento di appartiene anche ad .

Per indicare che è un sottoinsieme improprio di non c'è un simbolo specifico: possiamo limitarci a scrivere che è un sottoinsieme di e che non è un sottoinsieme proprio di

Volendo esprimere la definizione in simboli, possiamo scrivere

che si legge: è un sottoinsieme improprio di se e solo se è l'insieme vuoto oppure (disgiunzione inclusiva) se per ogni appartenente a risulta che appartiene anche ad .

Al contrario possiamo dire che è un sovrainsieme improprio di e che contiene impropriamente , o ancora che  include impropriamente , e scrivere

Si capisce subito che un insieme è sempre sottoinsieme improprio di sé stesso: . In realtà, però, questa non è l'unica possibilità. Anche l'insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di qualsiasi insieme. In definitiva, comunque si consideri un insieme , abbiamo sempre solo due sottoinsiemi impropri

Esempi di sottoinsiemi impropri

1) Dato , gli unici due sottoinsiemi impropri sono e .

2) ... Avrete intuito che non ha molto senso dilungarsi su questo tipo di esempi, perché per quel che abbiamo visto per qualsiasi insieme abbiamo sempre e solo due sottoinsiemi impropri. ;)

Vi aspettiamo nelle prossime lezioni, in cui tratteremo nel dettaglio i concetti di insieme vuoto e di insieme universo. Per qualsiasi dubbio, per approfondimenti o ancora per consultare esercizi svolti, vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di lezioni e altrettanti esercizi risolti passo-passo.

Arvedze, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Tags: che cosa sono i sottoinsiemi impropri e i sottoinsiemi propri.

Ultima modifica: 22/09/2023