Unione tra insiemi

L'unione di due insiemi, indicata con il simbolo ∪, è un'operazione insiemistica che restituisce l'insieme contenente tutti gli elementi del primo insieme e tutti gli elementi del secondo insieme.

Entriamo nel vivo del corso dedicato all'insiemistica e iniziamo a parlare di operazioni tra insiemi.

Qui affrontiamo l'operazione di unione tra due o più insiemi: ne proponiamo la definizione, tutte le principali proprietà, la rappresentazione mediante diagrammi di Eulero Venn e alcuni esempi svolti.

Definizione di unione tra due insiemi

In termini rigorosi l'unione di due insiemi contenuti in un insieme universo è l'insieme contenente tutti gli elementi dell'insieme e tutti gli elementi dell'insieme .

Il simbolo di unione è , dunque indichiamo l'unione tra gli insiemi con la notazione

La definizione di unione insiemistica in simboli è data dalla seguente rappresentazione per caratteristica:

dove i simboli matematici e significano rispettivamente "uguale per definizione" e "oppure", quest'ultimo con valore di connettivo logico inclusivo ("l'uno o anche l'altro").

In altre parole l'unione di due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi. Vi facciamo anche notare che l'unione tra due insiemi può riferirsi sia all'operazione insiemistica sia, per antonomasia, all'insieme risultante.

La definizione può essere estesa facilmente a tre o più insiemi: diciamo che l'unione tra gli insiemi è l'insieme contenente tutti gli elementi di tutti gli insiemi coinvolti nell'unione.

Esempi di unione tra insiemi

1) Consideriamo come insieme universo e i seguenti suoi sottoinsiemi:

Abbiamo, ad esempio:

2) Consideriamo l'insieme dei numeri naturali e siano rispettivamente gli insiemi dei numeri pari e dei numeri dispari.

Sia l'insieme dei numeri naturali minori di 10

e l'insieme contenente i numeri 15 e 16

Allora

3) (Per chi è almeno in quinta superiore) Dati gli intervalli reali

risulta che:

Unione insiemistica con i diagrammi di Eulero Venn

Nella prima lezione del corso, dedicata al concetto di insieme, abbiamo visto che è possibile fornire una semplice rappresentazione grafica degli insiemi mediante i diagrammi di Venn. Disegnare gli insiemi con questo metodo permette di darne un'immagine visiva che si rivela molto utile, specie e soprattutto quando si devono svolgere operazioni insiemistiche.

Nel caso di due insiemi il diagramma di Venn dell'unione si ottiene considerando l'insieme dato da entrambi gli insiemi, come in figura

Diagramma di Venn dell'unione di due insiemi.

In una delle lezioni successive (diagrammi di Eulero Venn) avremo modo di riprendere l'argomento e di approfondirlo.

Proprietà dell'unione tra insiemi

Concludiamo con una carrellata di proprietà dell'unione insiemistica, tra cui anche alcune relative ad altre operazioni tra insiemi. Come al solito ricordiamo che l'elenco delle proprietà, nella sua interezza, si rivolge a chi è qui in fase di ripasso e ha lo scopo di fornire una panoramica completa: per questo motivo contempliamo anche proprietà che si riferiscono a concetti che non abbiamo ancora trattato e che affronteremo nelle prossime lezioni.

Chi sta seguendo l'ordinamento del corso sugli insiemi può fermarsi allo STOP e passare direttamente alla lezione successiva. ;)

1) Unione e insieme vuoto

L'unione di un qualsiasi insieme con l'insieme vuoto coincide con l'insieme stesso. Dato è sufficiente osservare che, prendendo tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi, dobbiamo limitarci a considerare gli elementi di perché non ha elementi.

2) Unione tra insieme e sottoinsieme

L'unione di due insiemi inscatolati coincide con l'insieme più grande. Se abbiamo due insiemi con , allora

3) Unione con un insieme universo

L'unione di un insieme con un suo qualsiasi insieme universo coincide con l'insieme universo. Dato , allora

Tale proprietà è un semplice applicazione della 2).

4) Unione di un insieme con se stesso

L'unione di un qualsiasi insieme con se stesso è l'insieme stesso. Per qualsiasi insieme risulta che

5) Proprietà commutativa dell'unione

L'unione tra insiemi è un'operazione insiemistica commutativa, ossia non ha importanza l'ordine con cui si scrivono gli elementi dell'unione; dati risulta che

6) Insieme unione e sottoinsiemi dell'unione

L'unione di due insiemi qualsiasi contiene entrambi gli insiemi. Dati , abbiamo che

7) Proprietà associativa dell'unione

L'unione è un'operazione associativa. Dati , vale la seguente proprietà

[STOP!]

8) Proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione

L'unione è un'operazione insiemistica distributiva rispetto all'intersezione, nel senso che se prendiamo tre insiemi , allora risulta che

9) Unione e complementare

Il complementare dell'unione di due insiemi coincide con l'intersezione dei due complementari. Tale proprietà, nota anche come seconda legge di De Morgan, stabilisce che dati risulta che

Fine! La prossima puntata del corso è dedicata all'operazione di intersezione insiemistica. Nel frattempo, per qualsiasi dubbio o domanda, non esitare e trova tutto quello che ti serve con la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di problemi risolti e altrettanti approfondimenti. ;)

Arvedze, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

..........

Tags: come calcolare l'unione tra insiemi - definizione di unione di insiemi.

Ultima modifica: 14/04/2023