Differenza simmetrica
La differenza simmetrica, indicata con il simbolo Δ, è un'operazione insiemistica definita come unione tra la differenza tra il primo e il secondo insieme e la differenza tra il secondo e il primo insieme. In modo equivalente, la differenza simmetrica equivale all'unione tra i due insiemi meno la loro intersezione.
La quinta operazione tra insiemi che vi presentiamo è la differenza simmetrica. Come si intende dal nome è un'operazione definita a partire dalla differenza insiemistica, di cui abbiamo trattato nella precedente lezione; si tratta però di una nozione leggermente avanzata, cosicché consigliamo la lettura agli studenti delle scuole superiori e a salire.
Nella spiegazione seguiremo lo schema standard: partiremo dalla definizione, commentandola e proponendo le definizioni equivalenti. Fatto ciò passeremo alla rappresentazione dell'operazione mediante diagrammi di Venn, agli esempi e infine all'elenco delle proprietà della differenza simmetrica.
Cos'è la differenza simmetrica
Siano 
contenuti in un insieme universo 
. Chiamiamo differenza simmetrica tra i due insiemi l'insieme dato dall'unione tra:
- la differenza tra 
- la differenza tra 
Il simbolo della differenza simmetrica è la lettera greca maiuscola delta, dunque la indicheremo con
In accordo con la definizione data a parole, la differenza simmetrica è l'unione tra i due insiemi differenza 
e 
, dunque
Ricordando come sono definite le operazioni di unione e di differenza insiemistica, proviamo a esprimere la differenza simmetrica per caratteristica e per mezzo di simboli matematici:
dove 
indicano rispettivamente i connettivi logici "e" (l'uno e l'altro) e la "o" inclusiva (l'uno o anche l'altro).
Da un lato abbiamo quindi gli elementi di 
che non appartengono a 
; ad essi vanno uniti gli elementi di che non appartengono ad .
In modo equivalente possiamo dire: gli elementi che appartengono ad oppure a e tali da non appartenere all'intersezione tra e .
Per quanto tutte queste formulazioni possano apparire difficili (e a tratti scioglilingua ;) ), con le operazioni insiemistiche è tutto più semplice:
ossia differenza simmetrica = unione meno intersezione.
Differenza simmetrica con i diagrammi di Venn
Prima di vedere un esempio è meglio assicurarci di aver compreso la definizione, e al solito vengono in nostro aiuto i diagrammi di Venn (che ormai conosciamo sin dalla lezione Cos'è un insieme).
Dati due insiemi , se supponiamo che l'intersezione 
sia non vuota allora la differenza simmetrica si rappresenta nel modo seguente
Diagramma di Venn della differenza simmetrica tra insiemi non disgiunti.
dove la parte arancione di sinistra corrisponde ad 
e la parte destra a 
.
Se invece 
fossero insiemi disgiunti, ossia con 
, allora la differenza simmetrica si ridurrebbe banalmente alla loro unione.
Diagramma di Venn della differenza simmetrica tra insiemi disgiunti.
Torneremo a parlare dei diagrammi di Venn, proponendone una panoramica generale, nella lezione successiva.
Esempio sulla differenza simmetrica
Consideriamo i seguenti sottoinsiemi dell'insieme dei numeri naturali 
Determiniamone la differenza simmetrica . Per farlo partiamo dalle reciproche differenze:
La loro differenza simmetrica in forma estensiva è data da:
Da notare che giungiamo allo stesso risultato anche con la definizione equivalente ("unione meno intersezione"):
da cui
Proprietà della differenza simmetrica
Non ci resta che passare all'elenco delle proprietà della differenza simmetrica. Ne proponiamo una panoramica completa, a favore sia di chi affronta l'argomento per la prima volta, sia per chi è qui in fase di ripasso. A tal proposito includiamo alcune proprietà che coinvolgono argomenti non ancora trattati: sono quelle successive all'avviso "STOP!". Chi sta seguendo l'ordinamento delle nostre lezioni può saltarle e proseguire con la lezione successiva. ;)
Siano 
tre insiemi. Allora...
1) Differenza simmetrica di un insieme con se stesso
La differenza simmetrica di un insieme con se stesso è l'insieme vuoto:
2) Differenza simmetrica tra insiemi disgiunti
Se , ossia se i due insiemi hanno intersezione vuota, allora la differenza simmetrica dei due insiemi coincide con l'unione degli stessi:
3) Differenza simmetrica con l'insieme vuoto
La differenza simmetrica di un insieme con l'insieme vuoto è uguale all'insieme di partenza:
4) Proprietà commutativa della differenza simmetrica
Come lascia intendere il nome stesso, la differenza simmetrica gode della proprietà commutativa. Scambiando l'ordine degli insiemi il risultato non cambia:
5) Proprietà associativa della differenza simmetrica
La differenza simmetrica gode della proprietà associativa:
6) Differenza simmetrica tra differenze simmetriche
Più facile da esprimere mediante simboli che a parole! ;)
7) Proprietà distributiva dell'intersezione rispetto alla differenza simmetrica
L'intersezione tra insiemi è una proprietà distributiva rispetto alla differenza simmetrica:
[STOP!]
8) Definizioni equivalenti della differenza simmetrica
Riprendiamo la definizione di differenza simmetrica come "unione meno intersezione"
Ricordando il legame tra differenza insiemistica e complementazione
e applicando la prima legge di De Morgan, ricaviamo
Volendo fornire una rappresentazione intensiva di quest'ultima formulazione:
Ricapitolando, le definizioni equivalenti della differenza simmetrica sono date da:
I più volenterosi possono provare a dimostrare le varie proprietà (l'ultima è gratis!); non è assolutamente difficile, soprattutto se si decide di farlo coi diagrammi di Eulero Venn. Per la cronaca, nella scheda correlata di esecizi risolti ne abbiamo dimostrata qualcuna... ;)
Gule gule, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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Tags: come determinare la differenza simmetrica tra due insiemi - proprietà della differenza simmetrica ed esempi.
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