Equazioni fratte di secondo grado

Le equazioni fratte di secondo grado ad un'incognita, o equazioni frazionarie di grado 2, sono equazioni definite mediante frazioni algebriche in cui l'incognita è presente almeno una volta a denominatore e che possono essere ridotte a equazioni di secondo grado, o eventualmente a equazioni senza incognita.

Sappiamo già in cosa consiste un'equazione fratta di primo grado e sappiamo risolvere le equazioni di secondo grado: abbiamo tutti gli strumenti necessari per aggiungere un nuovo tassello alla teoria e vedere come si risolvono le equazioni fratte di secondo grado.

Un'importante quanto ovvia premessa: la risoluzione delle equazioni fratte di secondo grado prevede di saper fare i calcoli con le frazioni algebriche. Se volete fare un ripasso preventivo, la lezione di riferimento è a portata di click.

Se invece foste interessati alle disequazioni fratte, vi rimandiamo alla lezione dell'omonimo link. ;)

Definizione delle equazioni fratte di secondo grado

La forma delle equazioni fratte di secondo grado è del tutto analoga a quella proposta per il grado 1. Possiamo scrivere la seguente definizione: diciamo che un'equazione è fratta di secondo grado se soddisfa le seguenti proprietà:

- in almeno uno dei denominatori è presente l'incognita ;

- deve poter essere ridotta alla cosiddetta forma normale delle equazioni fratte di secondo grado

dove può essere un polinomio nullo, oppure di grado 0, oppure di grado 2, mentre può essere un polinomio di grado qualsiasi maggiore di 0.

Qualche esempio:

(x^2+2x)/(x) = 0 ; (x^2)/(x^3−1) = 0 ; (1)/(x^2−1) = (x)/(x−1)

Non sono esempi di equazioni fratte di secondo grado

(x)/(x^2+3) = 0 ; (x^2+x+1)/(3) = 0 ; (1)/(x^2) = (x^2)/(3) ; (x^3)/(x−4) = (x^2)/(x^2+1)

Numero di soluzioni di un'equazione fratta di secondo grado

Sappiamo bene che nel caso delle equazioni fratte l'analisi delle possibili soluzioni si complica rispetto alle equazioni intere, perché possono intervenire le condizioni di esistenza a sparigliare le carte. In termini generali possiamo comunque attenerci al solito schema.

1) Equazione determinata → un numero finito di soluzioni reali (una o due).

2) Equazione indeterminata → un numero infinito di soluzioni reali.

3) Equazione impossibile → non esiste alcuna soluzione reale.

Come vedremo tra un istante, le cose sono leggermente più complicate rispetto alle equazioni di secondo grado (intere) proprio a causa delle condizioni di esistenza.

Come risolvere le equazioni fratte di secondo grado

Lo schema per la risoluzione delle equazioni fratte di secondo grado è in tutto e per tutto simile a quello per il primo grado. Vediamolo nel dettaglio.

Passo 1 - Condizioni di esistenza

Prima di fare qualsiasi tipo di calcolo dobbiamo individuare il sottoinsieme di numeri reali in cui l'equazione ha significato. Per farlo dobbiamo escludere i valori dell'incognita che annullano i denominatori, poiché non si può dividere per zero: ciò significa sostanzialmente porre ogni singolo denominatore che compare nell'equazione e che contiene l'incognita diverso da zero:

CE Primo denominatore contenente x ≠ 0 ; Secondo denominatore contenente x ≠ 0 ; ...

Le varie condizioni si traducono a tutti gli effetti in singole equazioni da risolvere a parte, le cui soluzioni sono i valori da escludere:

Nel determinare le condizioni di esistenza potremmo imbatterci in equazioni di primo grado, equazioni di secondo grado o eventualmente equazioni di grado superiore. Poiché al momento non abbiamo ancora affrontato le equazioni intere oltre il secondo grado, ci limiteremo a usare le tecniche di scomposizione dei polinomi (prodotti notevoli, regola di Ruffini, scomposizione di trinomi con le equazioni di secondo grado) e ad applicare la legge di annullamento del prodotto.

Passo 2 - Passaggio alla forma normale delle equazioni fratte di secondo grado

Dopo aver imposto le CE procederemo con le usuali operazioni tra frazioni algebriche fino a giungere alla forma normale

Niente di particolare, fino a qui. Valgono le solite raccomandazioni: non perdetevi nel calcolo del minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore e fate attenzione ai segni. Sappiate inoltre che eventuali termini di grado superiore al secondo presenti a numeratore dovrebbero via via cancellarsi nel passaggio alla forma normale; in caso contrario l'equazione fratta non sarebbe di secondo grado. ;)

Passo 3 - Passaggio a un'equazione di secondo grado (o senza incognita)

A questo punto sarà sufficiente applicare il secondo principio di equivalenza delle equazioni per cancellare il denominatore, moltiplicando entrambi i membri per

Il passaggio è lecito e ci conduce a un'equazione equivalente grazie alle condizioni di esistenza precedentemente imposte (ricordatevi sempre di imporle all'inizio, sulla forma originaria dell'equazione, e mai in corso d'opera)

Passo 4 - Risoluzione dell'equazione di secondo grado e confronto con le CE

Da ultimo, risolveremo l'equazione di secondo grado o l'equazione senza incognita rimanente, a seconda dei casi:

e confronteremo le soluzioni con le condizioni di esistenza, in modo da individuare gli eventuali intrusi. Potremmo avere:

A) un'equazione di secondo grado determinata, con due soluzioni reali distinte, e condizioni di esistenza che le escludono entrambe. L'equazione fratta di secondo grado è impossibile.

B) Un'equazione di secondo grado determinata, con due soluzioni reali distinte, e condizioni di esistenza che ne escludono una. L'equazione fratta di secondo grado è determinata e ammette una sola soluzione.

C) Un'equazione di secondo grado determinata, con due soluzioni reali distinte, e condizioni di esistenza che non ne escludono alcuna. L'equazione fratta di secondo grado è determinata e ammette due soluzioni.

D) Un'equazione di secondo grado determinata, con due soluzioni reali coincidenti, e condizioni di esistenza che la escludono. L'equazione fratta di secondo grado è impossibile.

E) Un'equazione di secondo grado determinata, con due soluzioni reali coincidenti, e condizioni di esistenza che non la escludono. L'equazione fratta di secondo grado è determinata e ammette una sola soluzione.

F) Un'equazione di secondo grado impossibile. L'equazione fratta di secondo grado è impossibile a prescindere dalle CE.

G) Un'equazione senza incognite indeterminata. L'equazione fratta di secondo grado ammette infinite soluzioni, ad eccezione dei valori esclusi dalle CE.

H) Un'equazione senza incognite impossibile. L'equazione fratta di secondo grado è impossibile.

Esempi sulle equazioni fratte di secondo grado

Passiamo alla pratica e vediamo alcuni esempi svolti.

Esempio 1 - Equazione fratta di secondo grado determinata

Prima di tutto ci occupiamo delle condizioni di esistenza delle soluzioni e imponiamo che i denominatori non si annullino.

x+3 ≠ 0 ; x−3 ≠ 0 ; x^2−9 ≠ 0

Le prime due CE sono equazioni di primo grado piuttosto banali. Per la terza condizione, trattandosi di un'equazione di secondo grado pura, conviene usare la regola per scomporre la differenza di due quadrati e successivamente la legge di annullamento del prodotto

da cui

x−3 ≠ 0 → x ≠ 3 ; x+3 ≠ 0 → x ≠−3

Riassumendo:

x ≠−3 ; x ≠ 3 ; x ≠ 3 ∧ x ≠−3

Le CE ci impongono di escludere due valori: . Con questa premessa possiamo lavorare algebricamente sull'equazione e portare tutto al primo membro:

Calcoliamo il denominatore comune in modo da portarci alla forma :

(x(x−3)+3(x+3)+(x^2−12))/((x−3)(x+3)) = 0 ; (x^2−3x+3x+9+x^2−12)/((x−3)(x+3)) = 0 ; (2x^2−3)/((x+3)(x−3)) = 0

Le condizioni di esistenza ci permettono di eliminare il denominatore e di ridurci a un'equazione di secondo grado

Poiché le due candidate soluzioni non vengono escluse dalle CE, concludiamo che esse sono accettabili e dunque sono effettivamente soluzioni dell'equazione fratta di secondo grado.

Esempio 2 - Equazione fratta di secondo grado impossibile

Al solito, l'incipit è dato dalle condizioni di esistenza:

x+1 ≠ 0 ; 1−x^2 ≠ 0 → x ≠−1 ; (1−x)(1+x) ≠ 0 → x ≠ 1 ∧ x ≠−1

Vale a dire .

Riscriviamo l'equazione con la scomposizione del secondo denominatore, in modo da agevolare la somma tra frazioni algebriche, e portiamo tutto al primo membro.

Nel calcolo del denominatore comune non confondiamoci. La somma è commutativa, o no? ;)

(6(1−x)+1−2(1−x)(1+x))/((1−x)(1+x)) = 0 ; (6−6x+1−2(1−x^2))/((1−x)(1+x)) = 0 ; (6−6x+1−2+2x^2)/((1−x)(1+x)) = 0

Eliminiamo il denominatore e passiamo all'equazione di secondo grado

6−6x+1−2+2x^2 = 0 ; 2x^2−6x+5 = 0

Applichiamo la formula del discriminante:

x_(1,2) = (−b±√(b^2−4ac))/(2a) = (−(−6)±√((−6)^2−4·2·5))/(2·2) = (6±√(36−40))/(4)

Fermi tutti! Il delta è negativo, il che significa che l'equazione di secondo grado è impossibile, dunque è tale anche l'equazione fratta di partenza.

Esempio 3 - Equazione fratta di secondo grado impossibile (CE + caso particolare)

Vediamo un ultimo esempio apparentemente semplice, ma utile per evidenziare alcuni piccoli trabocchetti. :)

Abbiamo un'unica condizione di esistenza da imporre:

e poiché il polinomio da scomporre è di grado 3 (e non è evidentemente lo sviluppo del cubo di un binomio), sotto con Ruffini! Proviamo a valutare il polinomio con i divisori del termine noto

P(x) = x^3+2x^2+2x+1 ; P(1) = 1+2+2+1 = 6 ≠ 0 ; P(−1) = (−1)^3+2·(−1)^2+2·(−1)+1 = −1+2−2+1 = 0

La radice che ci permette di innescare il metodo di Ruffini è

beginarrayc|ccccc|c 1 2 2 1 ; ; ;−1 −1 −1 −1 ; hline 1 1 1 0 endarray

Il polinomio può essere scomposto nella forma

La CE si traduce quindi in

ossia, per la legge di annullamento del prodotto

(x+1) ≠ 0 → x ≠−1 ; x^2+x+1 ≠ 0

Risolviamo l'equazione di secondo grado relativa al secondo fattore:

Poiché il delta è negativo , ne deduciamo che il polinomio di secondo grado non ammette radici reali ed è dunque irriducibile: non può essere scomposto. Per i nostri scopi ci basta tenere a mente che non si annulla per alcun valore di

Torniamo all'equazione

ed eliminiamo il denominatore

Qui non è necessario scomodare la formula del delta, infatti ci basta notare che il trinomio è lo sviluppo del quadrato di un binomio

Questa è la soluzione con molteplicità algebrica 2 dell'equazione di secondo grado; poiché le CE impongono , essa non è accettabile e in definitiva l'equazione fratta è impossibile.

Osservazioni varie sulle equazioni fratte di secondo grado

Potremmo proporvi molti altri esempi, ma il procedimento rimarrebbe sempre lo stesso. Il consiglio che ci sentiamo di darvi, a questo punto, è quello di mettervi alla prova con le schede correlate di esercizi svolti e proposti, in modo da poter cogliere le varie sfaccettature e le insidie che si possono manifestare negli svolgimenti. ;)

Preferiamo piuttosto concludere con un'osservazione che vi eviterà grattacapi e dubbi, in perfetta analogia con quelle di primo grado.

Certe equazioni fratte di secondo grado possono presentare termini di grado superiore al secondo anche a numeratore, sia all'inizio che nel corso dello svolgimento. Tenete presente che questi termini potrebbero cancellarsi e che quindi l'equazione fratta, pur non sembrando di secondo grado, potrebbe comunque esserlo. Le conclusioni vanno tratte alla fine.

Se volete controllare i risultati degli esercizi che avete risolto autonomamente, vi suggeriamo di aiutarvi con il tool per risolvere le equazioni fratte di secondo grado online. E non perdetevi la lezione successiva: studieremo le equazioni parametriche di secondo grado. ;)

αντίο, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Ultima modifica: 14/04/2023