Equazioni fratte di primo grado

Le equazioni fratte di primo grado ad un'incognita, o equazioni frazionarie di grado 1, sono equazioni definite mediante frazioni algebriche in cui l'incognita compare almeno una volta a denominatore e tali da poter essere ricondotte a equazioni di primo grado o eventualmente a equazioni senza incognite.

 

In una delle precedenti lezioni abbiamo studiato le equazioni di primo grado ad un'incognita. Ora passiamo alle equazioni di primo grado fratte: in questa lezione ne daremo la definizione, analizzandola in ogni dettaglio, per poi elencare le varie possibilità sul numero di soluzioni e spiegare il metodo di risoluzione. Per concludere, ci soffermeremo su una carrellata di esercizi svolti.

 

Chi fosse interessato, sappiate che qui su YM c'è anche una lezione sulle disequazioni fratte. ;)

 
 
 

Definizione e forma delle equazioni fratte di primo grado

 

In generale, un'equazione fratta è un'equazione in cui sono presenti rapporti e in cui l'incognita x compare almeno una volta in uno dei denominatori. La prima tipologia di cui ci occupiamo è data dalle equazioni fratte di primo grado.

 

Per definizione tali equazioni presentano frazioni algebriche, ossia rapporti di polinomi, e devono soddisfare due proprietà:

 

- l'incognita deve essere presente in almeno in un denominatore;

 

- devono poter essere ridotte alla forma normale delle equazioni fratte di primo grado, vale a dire

 

\frac{N(x)}{D(x)}=0

 

dove N(x),\ D(x) (rispettivamente numeratore e denominatore) sono due polinomi, con la condizione che N(x) può essere un polinomio nullo, di grado 0 o 1, mentre D(x) può avere un qualsiasi grado maggiore di 0 (altrimenti avremmo a che fare con un'equazione intera).

 

Vi raccomandiamo sin da subito di non fraintendere la prima delle due condizioni: la sola presenza di frazioni non è sufficiente per individuare un'equazione fratta di primo grado. Con ciò intendiamo sottolineare che l'incognita x deve necessariamente comparire almeno una volta a denominatore.

 

Bisogna quindi prestare attenzione e non fraintendere il significato dell'aggettivo fratte. Sono esempi di equazioni fratte di primo grado:

 

\frac{1}{x}=0\\ \\ \\ \frac{x+1}{x-1}=0\\ \\ \\ \frac{x}{x+2}=2\\ \\ \\ \frac{x+4}{3x+3}=\frac{x}{1+x}\\ \\ \\ \frac{x+5}{x^2+x+3}=0\\ \\ \\ \frac{x}{x^3-1}=0

 

Al contrario, non sono equazioni fratte di primo grado:

 

\frac{x}{2}=\frac{x+5}{3}\\ \\ \\ \frac{x+1}{5}=\frac{5+x}{2}\\ \\ \\ \frac{x^2-1}{x}=0

 

Numero di soluzioni di un'equazione fratta di primo grado

 

Come abbiamo imparato nella lezione sui principi di equivalenza delle equazioni, ogni equazione può essere determinata (numero finito di soluzioni), indeterminata (infinite soluzioni), impossibile (nessuna soluzione).

 

Nel caso delle equazioni fratte di primo grado possiamo essere più specifici. Sono date tre possibilità:

 

1) l'equazione ammette una e una sola soluzione → equazione determinata;

 

2) l'equazione ammette un numero infinito di soluzioni → equazione indeterminata;

 

3) l'equazione non ammette soluzioni → equazione impossibile.

 

Notate qualche somiglianza con lo schema sulle possibili soluzioni per le equazioni di primo grado?... Se sì, la vostra intuizione verrà confermata nel paragrafo successivo. ;)

 

Come risolvere le equazioni fratte di primo grado

 

Lo schema per la risoluzione delle equazioni fratte di primo grado è piuttosto semplice e nasconde solo una piccola insidia. Vediamolo in termini generali per poi applicarlo in alcuni esempi.

 

 

Passo 1 - Condizioni di esistenza 

 

Immaginiamo che ci venga assegnata un'equazione fratta e che ci venga detto che si tratta di un'equazione fratta di primo grado. Guardandone la struttura, analizzeremo le frazioni algebriche che la costituiscono e prenderemo in considerazione tutti i denominatori in cui l'incognita x compare almeno una volta.

 

Inizialmente si considera \mathbb{R} (insieme dei numeri reali) come insieme di esistenza delle soluzioni. Qual è il significato dell'incognita x? È una lettera a cui possiamo sostituire qualsiasi valore nell'insieme di esistenza delle soluzioni; i valori che, sostituiti all'incognita, rendono vera l'uguaglianza sono proprio le soluzioni dell'equazione.

 

Noi però sappiamo che non è possibile dividere per zero, e ci troviamo di fronte a denominatori che potrebbero valere zero per determinati valori dell'incognita. Dobbiamo scongiurare subito questa possibilità ed escludere tutti i valori di x che annullano i denominatori in cui compare la x: in altri termini, imponiamo le condizioni di esistenza dell'equazione fratta di primo grado (abbreviato: C.E. oppure CE)

 

\mbox{CE}\ \ \ \begin{cases}\mbox{Primo denominatore contenente }x\neq 0\\ \\ \mbox{Secondo denominatore contenente }x\neq 0\\ \\ ...\end{cases}

 

dove il simbolo matematico \neq significa diverso da. Ognuna di queste condizioni consiste in un'equazione di primo grado che si risolve in un passaggio, per cui l'insieme delle condizioni di esistenza si tradurrà in

 

\mbox{CE}\ \ \ \begin{cases}x\neq\mbox{Valore che annulla il primo denominatore contenente }x\\ \\ x\neq\mbox{Valore che annulla il secondo denominatore contenente }x\\ \\ ...\end{cases}

 

In questo frangente ci serviremo all'occorrenza delle tecniche di scomposizione dei polinomi, quali ad esempio i prodotti notevoli e la regola di Ruffini, ed eventualmente della legge di annullamento del prodotto, secondo cui un prodotto è nullo se almeno uno dei fattori è nullo.

 

 

Passo 2 - Riduzione alla forma normale delle equazioni fratte di primo grado

 

Dopo aver imposto le condizioni di esistenza e averle scritte in forma esplicita, possiamo manipolare le frazioni algebriche per raggiungere la forma normale:

 

\frac{N(x)}{D(x)}=0

 

Qui non c'è niente di particolare da fare, se non effettuare tutte le operazioni tra frazioni algebriche necessarie per arrivare alla forma normale. Dal punto di vista pratico vi consigliamo di portare tutti i termini a sinistra dell'uguale e di lasciare 0 al membro di destra, per poi svolgere le operazioni necessarie al membro di sinistra.

 

Perché all'inizio abbiamo scritto: "immaginiamo che ci venga assegnata un'equazione fratta e che ci venga detto che si tratta di un'equazione fratta di primo grado"? Perché è solo dopo aver svolto i calcoli che riusciremo a capire se l'equazione fratta è effettivamente di primo grado: lo è se è riconducibile alla forma normale, dove N(x) è un polinomio nullo, di grado 0 o 1 e D(x) è un polinomio di grado qualsiasi e maggiore di 0.

 

 

Passo 3 - Riduzione a un'equazione di primo grado (o senza incognita)

 

Dopo essere giunti alla forma normale delle equazioni di primo grado, abbiamo praticamente finito.

 

Le condizioni di esistenza qui sono fondamentali, perché ci permettono di applicare il secondo principio di equivalenza delle equazioni a cuor leggero; più precisamente, esse ci permettono di cancellare il denominatore moltiplicando entrambi i membri per D(x)

 

D(x)\cdot \frac{N(x)}{D(x)}=D(x)\cdot 0

 

ottenendo così un'equazione di primo grado, o eventualmente senza incognita

 

N(x)=0

 

Ragazze e ragazzi, attenzione. Comprendete a fondo l'importanza delle condizioni di esistenza: se non le avessimo imposte, potremmo trovarci con una soluzione che risolve la forma finale dell'equazione N(x)=0, ma che potrebbe annullare uno dei denominatori nella forma iniziale, e dunque non avrebbe alcun senso!

 

Le condizioni di esistenza nelle equazioni fratte di primo grado (e più in generale) vanno sempre imposte prima di procedere con i calcoli. In questo modo esse ci permettono di lavorare sempre nel giusto insieme di esistenza delle soluzioni, senza preoccuparci di eventuali cancellazioni di termini contenenti l'incognita x. Ricordate sempre che ogni cancellazione di termini che dipendono dall'incognita, se sprovvista delle giuste condizioni di esistenza, potrebbe ampliare l'insieme di esistenza delle soluzioni e condurci a soluzioni non ammesse per la forma iniziale dell'equazione. In altri termini, le condizioni di esistenza ci assicurano di avere a che fare sempre e comunque con equazioni equivalenti. :)

 

 

Passo 4 - Risoluzione dell'equazione di primo grado e confronto con le CE

 

Per concludere non ci resta che risolvere la semplice equazione di primo grado che resta

 

N(x)=0

 

(che potrebbe essere, in certi casi, un'equazione senza incognita) e confrontare le eventuali soluzioni con le condizioni di esistenza, in modo da trovare le eventuali soluzioni dell'equazione di primo grado fratta. Abbiamo quattro possibili casi:

 

A) l'equazione di primo grado è determinata e ammette come soluzione x=\mbox{numero}. Se tale numero non è escluso dalle condizioni di esistenza, allora è l'unica soluzione per l'equazione fratta di primo grado (equazione determinata);

 

B) l'equazione di primo grado è determinata e ammette come soluzione x=\mbox{numero}. Se tale numero è escluso dalle condizioni di esistenza, allora l'equazione fratta di primo grado non ammette soluzioni (equazione impossibile);

 

C) l'equazione è senza incognita, è indeterminata e ammette infinite soluzioni \forall x. L'equazione fratta di primo grado ammette infinite soluzioni, esclusi però i valori individuati dalle condizioni di esistenza (equazione indeterminata).

 

D) l'equazione è senza incognita, è impossibile e non ammette soluzioni. L'equazione fratta di primo grado non ammette soluzioni a sua volta (equazione impossibile).

 

Esempi sulle equazioni fratte di primo grado

 

Vediamo alcuni esempi svolti, commentando ogni singolo passaggio e mettendo in evidenza i vari aspetti delicati nella risoluzione.

 

 

Esempio 1 - Equazione fratta di primo grado determinata

 

\frac{x}{2x+2}=\frac{x-1}{x+1}

 

Prima di tutto: condizioni di esistenza. Abbiamo due denominatori contenenti l'incognita x, quindi li poniamo entrambi diversi da zero

 

CE\ \ \ \begin{cases}2x+2\neq 0\\ x+1\neq 0\end{cases}\ \to\ \begin{cases}2(x+1)\neq 0\\ x+1\neq 0\end{cases}\ \to\ \begin{cases}x\neq -1\\ x\neq -1\end{cases}

 

Le due CE si equivalgono e ci impongono di scartare un unico valore: x\neq -1. L'insieme di esistenza delle soluzioni viene quindi ristretto a \mathbb{R}-\{-1\}, ossia l'insieme dei numeri reali privato dell'elemento -1.

 

Portiamo la frazione algebrica di destra a sinistra

 

\frac{x}{2x+2}-\frac{x-1}{x+1}=0

 

Calcoliamo il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore e riduciamoci a un'unica frazione algebrica. Come abbiamo già osservato, possiamo effettuare un raccoglimento totale nel primo denominatore che ci eviterà calcoli inutili

 

\frac{x}{2(x+1)}-\frac{x-1}{x+1}=0

 

La regola dei segni è nostra amica!

 

\frac{x-2(x-1)}{2(x+1)}=0\\ \\ \\ \frac{x-2x+2}{2(x+1)}=0\\ \\ \\ \frac{-x+2}{2(x+1)}=0

 

Ci siamo ricondotti alla forma normale e abbiamo la conferma che si tratta di un'equazione fratta di primo grado. Cancelliamo il denominatore con la benedizione delle condizioni di esistenza:

 

-x+2=0\ \ \ \to\ \ \ x=2

 

Poiché le CE imponevano x\neq -1, la soluzione è accettabile. L'equazione di primo grado è determinata e ammette come unica soluzione x=2.

 

 

Esempio 2 - Equazione fratta di primo grado indeterminata

 

\frac{\frac{x+1}{2}}{\frac{x}{3}}=\frac{x-1}{2x}+\frac{x+2}{x}

 

Non lasciamoci ingannare dal mega-rapporto di sinistra. Procediamo normalmente con le condizioni di esistenza imponendo che tutti i denominatori siano diversi da zero:

 

\mbox{CE}\ \ \ \begin{cases}\frac{x}{3}\neq 0\\ 2x\neq 0\\ x\neq 0\end{cases}\ \to\ \begin{cases}x\neq 0\\ x\neq 0\\ x\neq 0\end{cases}

 

Quindi l'unica CE da imporre è x\neq 0. Proseguiamo e applichiamo la regola per le frazioni di frazioni al membro di sinistra:

 

\frac{x+1}{2}\cdot \frac{3}{x}=\frac{x-1}{2x}+\frac{x+2}{x}

 

da cui

 

\frac{3x+3}{2x}=\frac{x-1}{2x}+\frac{x+2}{x}

 

Portiamo tutto a sinistra e cambiamo i segni

 

\frac{3x+3}{2x}-\frac{x-1}{2x}-\frac{x+2}{x}=0

 

Riduciamo il membro di sinistra a un'unica frazione algebrica

 

\frac{3x+3-(x-1)-2(x+2)}{2x}=0

 

e otteniamo

 

\frac{3x+3-x+1-2x-4}{2x}=0\\ \\ \\ \frac{0}{2x}=0

 

Ok: la forma con cui abbiamo scritto l'ultimo passaggio è piuttosto stupida, ma ci serve solamente per evidenziare che l'equazione si riconduce alla forma normale delle equazioni fratte di primo grado. Più precisamente, essa si riduce a

 

0=0

 

che è un'identità, e in quanto tale è verificata per ogni x nell'insieme di esistenza delle soluzioni. Non dimentichiamoci che le condizioni di esistenza impongono x\neq 0, quindi concludiamo l'esercizio affermando che l'equazione ammette infinite soluzioni: qualsiasi x diverso da zero

 

0=0\ \ \ \to\ \forall x\neq 0\mbox{ per le CE}

 

 

Esempio 3 - Equazione fratta di primo grado impossibile

 

\frac{3x+1}{x-2}=\frac{9x+6}{3x-6}

 

Partiamo sempre dalle condizioni di esistenza:

 

\mbox{CE}\ \ \ \begin{cases}x-2\neq 0\\ 3x-6\neq 0\end{cases}\ \to\ \begin{cases}x\neq 2\\ x\neq \frac{6}{3}=2

 

dunque imporremo x\neq 2. Riscriviamo l'equazione effettuando un opportuno raccoglimento totale nel secondo denominatore e portando il termine di destra a sinistra

 

\frac{3x+1}{x-2}-\frac{9x+6}{3(x-2)}=0\\ \\ \\ \frac{3(3x+1)-(9x+6)}{3(x-2)}=0\\ \\ \\ \frac{9x+3-9x-6}{3(x-2)}=0\\ \\ \\ \frac{-3}{3(x-2)}=0

 

In definitiva:

 

\frac{-1}{x-2}=0

 

Se eliminiamo il denominatore, ci rimane un'equazione senza incognita impossibile:

 

-1=0

 

Le condizioni di esistenza in questo esempio non hanno alcun effetto: l'equazione è impossibile, non esistono soluzioni.

 

 

Esempio 4 - Equazione fratta di primo grado impossibile (CE)

 

\frac{3x+1}{x+2}-\frac{3x+26}{x^2-4}=\frac{3x-1}{x-2}

 

Imponiamo le condizioni di esistenza ancor prima di manipolare l'equazione

 

\mbox{CE}\ \ \ \begin{cases}x+2\neq 0\\ x^2-4\neq 0\\ x-2\neq 0\end{cases}\ \to\ \begin{cases}x\neq -2\\ x\neq-2\ \wedge\ x\neq 2\\ x\neq 2\end{cases}

 

Da notare che la seconda condizione di esistenza può essere risolta applicando la regola per la differenza di quadrati:

 

x^2-4\neq 0\ \ \to\ \ (x-2)(x+2)\neq 0

 

Grazie alla legge di annullamento del prodotto:

 

x-2\neq 0\ \ \to\ \ x\neq 2\\ \\ x+2\neq 0\ \ \to\ \ x\neq -2

 

quindi la CE si può scrivere usando il simbolo di congiunzione logica \wedge (connettivo logico e)

 

x\neq -2\ \wedge\ x\neq 2

 

Procediamo con i calcoli portando tutte le frazioni algebriche a sinistra dell'uguale

 

\frac{3x+1}{x+2}-\frac{3x+26}{(x-2)(x+2)}-\frac{3x-1}{x-2}=0

 

e riduciamoci a un unico rapporto

 

\frac{(3x+1)(x-2)-(3x+26)-(3x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}=0

 

Sviluppiamo i prodotti a numeratore e facciamo attenzione alla regola dei segni

 

\frac{3x^2-6x+x-2-3x-26-(3x^2+6x-x-2)}{(x+2)(x-2)}=0\\ \\ \\ \frac{3x^2-6x+x-2-3x-26-3x^2-6x+x+2}{(x+2)(x-2)}=0

 

Cancelliamo i monomi simili

 

\frac{-6x+x-3x-26-6x+x}{(x+2)(x-2)}=0

 

ossia

 

\frac{-13x-26}{(x+2)(x-2)}=0

 

Le condizioni di esistenza ci consentono di cancellare il denominatore, sicché rimane

 

-13x-26=0\ \ \to\ \ x=\frac{26}{-13}=-2

 

che non è accettabile in forza delle CE. L'equazione è impossibile.

 

Equazioni fratte che si riducono al primo grado

 

Attenzione, c'è un aspetto importantissimo che potrebbe essere passato inosservato nella definizione: per come è stata formulata, essa lascia aperta la possibilità che ci siano equazioni fratte che inizialmente non sembrano di primo grado, ma che con qualche semplificazione si riducono alla forma normale delle equazioni fratte di primo grado.

 

Il quarto esercizio svolto poco sopra ne è un perfetto esempio. Morale della favola: se vi capitasse di leggere equazione fratta di primo grado a proposito di un'equazione che non lo sembra, non saltate a conclusioni affrettate. ;)

 

Riguardo al nome equazione di primo grado fratta, vi facciamo notare che si definiscono tali le equazioni che possono essere ridotte a equazioni di primo grado a partire dalla forma normale. 

 

Equazioni fratte di primo grado che per il momento non potete risolvere :)

 

Per concludere, un'osservazione di tipo didattico piuttosto importante. Se ci avete fatto caso, le equazioni fratte di primo grado possono presentare denominatori di grado superiore al primo. Abbiamo aggiunto che, per determinare le relative condizioni di esistenza, possiamo servirci delle tecniche di scomposizione dei polinomi già studiate.

 

Da un punto di vista teorico, potremmo tranquillamente imbatterci in denominatori che non siamo in grado di scomporre, e dunque per i quali non saremmo attualmente in grado di determinare le CE. Non dovete preoccuparvene per due motivi: il primo è che tra alcune lezioni sarete in grado di farlo (dopo aver studiato le varie tipologie di equazioni intere); il secondo è che l'ordinamento delle lezioni, qui su YM e più in generale a scuola, è frutto di un inevitabile compromesso didattico. In ogni caso non vi troverete mai a dover risolvere esercizi che non siete in grado di risolvere prima del tempo. ;)

 

 


 

Qui abbiamo finito. Non perdetevi le schede di esercizi risolti sulle equazioni fratte di primo grado, e sappiate che nelle lezioni successive affronteremo le equazioni di primo grado parametriche e le equazioni fratte di secondo grado.

 

Inoltre, nel caso vogliate controllare i risultati dei vostri svolgimenti, potete servirvi del tool per risolvere le equazioni fratte di primo grado online. Se qualcosa non fosse chiaro sappiate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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