Equazioni scomponibili (equazioni di grado superiore al secondo)

Le equazioni scomponibili sono equazioni che possono essere risolte applicando le regole di scomposizione dei polinomi e la legge di annullamento del prodotto, in modo da scomporle in più equazioni che possano essere risolte con i metodi già noti.

 

Il terzo e ultimo tipo di equazioni di grado superiore al secondo di cui ci occupiamo è dato dalle equazioni scomponibili. In questa lezione ne forniremo una definizione generale, per poi concentrarci sulle equazioni con grado maggiore o uguale al terzo e spiegando il metodo risolutivo generale, con diversi esempi svolti.

 

Attenzione, una premessa importante. Per procedere è essenziale avere una buona dimestichezza con la teoria dei polinomi e con le tecniche di risoluzione delle equazioni che abbiamo studiato fino a qui.

 

Nota: qui su YM è presente anche una lezione sulle disequazioni di grado superiore al secondo. ;)

 
 
 

Definizione e forma delle equazioni scomponibili

 

Sfortunatamente, a differenza delle equazioni binomie e delle equazioni trinomie, non esiste una struttura generale che accomuni le equazioni scomponibili. Nonostante ciò possiamo caratterizzarle mediante la proprietà che le accomuna: possiamo fornire una definizione di equazione scomponibile in forma normale dicendo che

 

P(x)=0

 

è scomponibile se il polinomio a coefficienti reali P(x) può essere scomposto, ossia possiamo fattorizzarlo come prodotto di polinomi di grado minore di quello di P(x).

 

Non importa che P(x) sia scomponibile nel prodotto di due, tre o più polinomi; la definizione richiede semplicemente che esso sia scomponibile.

 

Prima di passare al metodo di risoluzione osserviamo che le equazioni scomponibili, in accordo con la definizione, devono avere grado n\geq 2. Il caso n=2 individua semplicemente un particolare tipo di equazioni di secondo grado, sulle quali non ci dilungheremo perché conosciamo già perfettamente le relative tecniche risolutive. Qui di seguito ci occuperemo esclusivamente delle equazioni scomponibili di grado superiore al secondo.

 

Come risolvere le equazioni scomponibili di grado superiore al secondo

 

Come si risolve un'equazione di grado superiore al secondo scomponibile? Come suggerisce il nome stesso, il metodo più intuitivo prevede di ridurla alla forma normale

 

P(x)=0

 

e di scomporre il polinomio P(x) nel maggior numero possibile di fattori. Supponiamo di poterlo scomporre nel prodotto di m polinomi P_1(x),P_2(x),...,P_m(x)

 

P_1(x)\cdot P_2(x)\cdot ...\cdot P_m(x)=0

 

Fatto ciò applicheremo la legge di annullamento del prodotto, secondo cui il prodotto di due o più fattori è nullo se almeno uno dei fattori è nullo. In questo modo passeremo alla risoluzione di m equazioni di grado inferiore rispetto a quello iniziale

 

P_1(x)=0\ \vee\ P_2(x)=0\ \vee\ ...\ \vee\ P_m(x)=0

 

l'unione di tutti gli insiemi di soluzioni delle equazioni così ottenute è l'insieme soluzione dell'equazione scomponibile.

 

A questo punto sorgono spontanee due domande: come possiamo capire se l'equazione è scomponibile, e in caso affermativo come possiamo scomporre l'equazione?

 

La risposta alla prima domanda non vi piacerà: esperienza, occhio clinico che si acquisisce risolvendo tanti esercizi e facendo tanto allenamento. Ad eccezione degli esempi più eclatanti, in generale non sapremo a priori se l'equazione proposta sia scomponibile o no. Dovremo quindi tenere a mente che esiste anche questa tecnica risolutiva ed effettuare qualche tentativo di scomposizione... D'altra parte, se la strada da percorrere fosse sempre evidente, dove sarebbe il divertimento? :D

 

Riguardo alla seconda domanda: possiamo applicare qualsiasi tecnica di scomposizione che abbiamo studiato nell'ambito dei polinomi. Raccoglimento a fattore comune, raccoglimento a fattore parziale, prodotti notevoli, regola di Ruffini, scomposizione con equazione associata... In sintesi ricorreremo a qualsiasi strategia utilizzabile.

 

 

Attenzione ai vicoli ciechi!

 

Il metodo per equazioni scomponibili in generale non ci garantirà di trovare tutte le eventuali soluzioni dell'equazione. Potremmo infatti ritrovarci con fattori che sono a loro volta di grado superiore al secondo, come ad esempio capita con

 

x^4+x^3+x^2+2x+1=0

 

che possiamo riscrivere nella forma

 

(x+1)(x^3+x+1)=0

 

Un consiglio: non disturbatevi tentando di scomporre il secondo fattore con Ruffini. ;)

 

Vi ricordate ciò che abbiamo detto nella lezione introduttiva sulle equazioni di grado superiore al secondo, ad esempio riguardo alla risoluzione delle equazioni di terzo grado e di grado superiore al quarto? In alcuni casi esistono metodi algebrici che ci permetterebbero di risolverle, ma non avremo modo di usarli negli studi delle scuole superiori e nei corsi base universitari; in altri casi, non esiste alcuna procedura di risoluzione.

 

Poco male. Quando avremo a che fare con equazioni scomponibili, tenteremo di scomporle nel maggior numero possibile di fattori. In molti casi questa tecnica ci permetterà di giungere alle soluzioni agevolmente, in altri ci troveremo in un vicolo cieco. Non preoccupatevene: negli esercizi non incontrerete equazioni patologiche, perlomeno non prima che i tempi siano maturi per affrontarle. ;)

 

Esempi sulle equazioni scomponibili

 

Passiamo in rassegna qualche esercizio svolto sulle equazioni scomponibili, a puro titolo esemplificativo. Il procedimento in sé non presenta particolari difficoltà teoriche, bisogna semplicemente appellarsi a ciò che abbiamo già studiato riguardo ai polinomi (e sì, se non vi sentite sufficientemente sicuri, questo è un buon momento per fermarsi e ripassare ;) ).

 

 

Esempi di equazioni scomponibili per raccoglimento

 

Tramite raccoglimenti opportuni è possibile ricondurre un’equazione di grado superiore al secondo a prodotti di polinomi di primo e secondo grado, o equazioni binomie e trinomie. Questo metodo, sebbene intuitivo e rapido non è sempre applicabile facilmente; in ogni caso saper effettuare i raccoglimenti totali e i raccoglimenti parziali potrebbe rivelarsi particolarmente utile.

 

 

A) x^3-3x=0

 

Raccogliendo a fattor comune il termine x avremo:

 

x(x^2-3)=0

 

Applichiamo la regola di annullamento del prodotto e risolviamo separatamente

 

x=0\\ \\ x^2-3=0

 

Otteniamo le tre soluzioni:

 

x_1=0, \ x_2=-\sqrt{3}, \ x_3=\sqrt{3}

 

 

B) x^3+9x^2=0

 

Raccogliamo x^2 e ricaviamo

 

x^2(x+9)=0

 

Risolviamo separatamente

 

x^2=0\\ \\ x+9=0

 

Otteniamo due soluzioni:

 

x_1=0,\ x_2=-9

 

 

C) x^7+12x^6+35x^5=0

 

Raccogliamo a fattor comune x^5:

 

x^5(x^2+12x+35)=0

 

Risolviamo separatamente le due equazioni

 

x^5=0\ \ \to\ \ x_1=0\\ \\ x^2+12x+35=0

 

Quest'ultima è un'equazione di secondo grado, che ha come soluzioni:

 

x_2=-7, \ x_3=-5

 

 

D) x^5+3x^4-x-3=0

 

Optiamo per un raccoglimento parziale, mettendo in evidenza x^4 tra i primi due addendi e -1 tra gli ultimi due:

 

x^4(x+3)-(x+3)=0

 

Da cui, con un raccoglimento totale del termine x+3:

 

(x+3)(x^4-1)=0

 

Risolviamo separatamente le due equazioni, rispettivamente un’equazione di primo grado e una binomia.

 

x+3=0 \ \to \ x=-3\\ \\ x^4-1=0 \ \to \ x=\pm 1

 

Avremo quindi le tre soluzioni:

 

x_1=-3,\ x_2=-1,\ x_3=1

 

 

Equazioni scomponibili con la regola di Ruffini

 

La regola di Ruffini permette di scrivere un polinomio di grado n come prodotto di un polinomio di primo grado e un polinomio di grado (n-1). Ripetendo il processo un numero sufficiente di volte, se possibile, ci ricondurremo a un'equazione scomposta come prodotto di fattori di grado 1 e un fattore di grado 2.

 

 

E) x^3+6x^2+11x+6=0

 

In questo caso i raccoglimenti non sono di alcun aiuto, provare per credere! ;) Tentiamo con la regola di Ruffini e cerchiamo una soluzione particolare dell'equazione. In altri termini cerchiamo una radice del polinomio. Per farlo dobbiamo ricorrere al teorema del resto, ossia cercare tra i divisori del termine noto (vale a dire il termine di grado zero):

 

\pm 1, \pm 2, \pm 3

 

Partiamo dal più piccolo (per comodità) e sostituiamolo al posto di x nell'equazione. Per iniziare poniamo x=1

 

1^3+6\cdot1^2+11\cdot 1+6=0\\ \\ 1+6+11+6=0\\ \\ 24=0

 

che è ovviamente impossibile, quindi x=1 non è una radice del polinomio.

 

Proviamo con x=-1:

 

(-1)^3+6\cdot(-1)^2+11\cdot(-1)+6=0\\ \\ -1+6-11+6=0\\ \\ 0=0

 

dunque x=-1 è una radice del polinomio, e ci permette di riscrivere l'equazione nella forma (attenzione al cambio di segno sulla radice)

 

(x+1)(\mbox{qualcos}â\mbox{altro})=0

 

Cosa sia quel qualcos’altro ce lo dice la regola di Ruffini. Ecco la relativa tabella risolutiva

 

 

Usare la regola di Ruffini per risolvere un'equazione scomponibile

 

 

Quindi l'equazione si può riscrivere come

 

(x+1)(x^2+5x+6)=0

 

Rimane da applicare la legge di annullamento del prodotto e il gioco è fatto. Risolviamo separatamente

 

x+1=0\\ \\ x^2+5x+6=0

 

e ricaviamo tre soluzioni:

 

x_1=-1, \ x_2=-2, \ x_1=-3

 

 

F) x^3+8x^2+11x-20=0

 

Il procedimento è analogo, la soluzione particolare questa volta è x=1 e la regola di Ruffini ci porta alla tabella:

 

 

Tabella per Ruffini in un'equazione scomponibile di grado superiore al secondo

 

che ci permette di riscrivere l'equazione nella forma

 

(x-1)(x^2+9x+20)=0

 

Risolviamo separatamente:

 

x-1=0\\ \\ x^2+9x+20=0

 

da cui le soluzioni dell'equazione scomponibile

 

x_1=1, \ x_2=-5, \ x_3=-4

 

Equazioni scomponibili fratte

 

Negli esercizi può capitare di imbattersi in quelle che chiameremo equazioni scomponibili fratte, vale a dire equazioni che in forma normale di riducono a un rapporto tra un polinomio scomponibile a numeratore e un denominatore che contiene l'incognita x.

 

In un'eventualità del genere procederemo con il metodo che già conosciamo dalle equazioni di secondo grado fratte: innanzitutto imporremo le condizioni di esistenza sulla forma iniziale dell'equazione, imponendo che tutti i denominatori siano diversi da zero. Successivamente faremo i calcoli determinando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore e riducendo l'equazione alla forma normale (un unico rapporto uguale a zero):

 

\frac{\mbox{numeratore}}{\mbox{denominatore}}=0

 

Le CE ci consentono di eliminare il denominatore e di procedere alla risoluzione di

 

\mbox{numeratore}=0

 

con il metodo spiegato in precedenza, per poi confrontare le soluzioni con le condizioni di esistenza.

 

 


 

È tutto! Nella lezione successiva studieremo le equazioni irrazionali. Vi segnaliamo due tools che potrebbero esservi di grande aiuto nella risoluzione degli esercizi e nella verifica dei risultati: scomposizione di polinomi | equazioni online. Per il resto vi raccomandiamo un po' di sano allenamento con la scheda correlata di esercizi. ;)

 

 

Bhayibhayi, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati..........Lezione successiva

 

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