Equazioni trinomie (equazioni di grado superiore al secondo)

Le equazioni trinomie sono equazioni costituite da un polinomio di tre termini, in perfetto accordo con la definizione di trinomio. Nel contesto didattico le equazioni trinomie fanno riferimento a una specifica tipologia di equazioni di grado superiore al secondo e al relativo metodo di risoluzione.

 

Il secondo gruppo di equazioni di grado superiore al secondo che affrontiamo sono le equazioni trinomie. Da un punto di vista concettuale la lezione si svilupperà in modo analogo rispetto a quella dedicata alle equazioni binomie, per cui partiremo da una definizione generale, per poi fornire una versione più specifica e utilizzarla per studiare un ulteriore metodo per risolvere le equazioni con grado maggiore o uguale a 3.

 

Dopo aver spiegato come risolvere le equazioni trinomie analizzeremo una carrellata di esempi svolti e proporremo alcuni approfondimenti utili. ;)

 

Nota: nel caso foste interessati alla lezione sulle disequazioni di grado superiore al secondo - click!

 

Definizione e forma delle equazioni trinomie

 

Per definizione le equazioni trinomie sono individuate dalla presenza di un trinomio. Nello specifico possiamo definire la forma normale di un'equazione trinomia:

 

P(x)=0

 

dove P(x) è un polinomio a coefficienti reali costituito da tre termini.

 

Oltre alla definizione generica ne possiamo formulare una più specifica e ben più utile nella pratica. Al posto di considerare qualsiasi possibile trinomio, quando parleremo di equazioni trinomie in forma normale ci riferiremo esclusivamente a quelle che si presentano nel modo seguente

 

ax^{2n}+bx^n+c=0\\ \\ \mbox{con }a\neq 0,\ b\neq 0,\ c\neq 0\\ \\ n\geq 1

 

Poiché la potenza x^n ha esponente che può essere maggiore o uguale a 1, sono date le seguenti possibilità:

 

- per n=1 otteniamo un particolare tipo di equazione di secondo grado (completa perché tutti i coefficienti devono essere diversi da zero)

 

- per n\geq 2 avremo a che fare con un'equazione di grado superiore al secondo

 

ax^4+bx^2+c=0\ \ \ \ \ (n=2)\\ \\ ax^6+bx^3+c=0\ \ \ \ \ (n=3)\\ \\ ax^8+bx^4+c=0\ \ \ \ \ (n=4)\\ \\ ...

 

La particolarità delle equazioni trinomie è che esse presentano una struttura ben precisa: se osserviamo la sequenza di esponenti dell'incognita

 

2n\ \ \ ;\ \ \ n\ \ \ ;\ \ \ 0

 

notiamo che, escludendo il termine noto, l'incognita compare due volte con esponenti che sono l'uno il doppio dell'altro: 2n\mbox{ e }n. Tale caratteristica fa sì che le equazioni trinomie siano sempre di grado pari; essa inoltre ci permetterà di ricondurre qualsiasi equazione trinomia a un'equazione di secondo grado, applicando il cosiddetto metodo di sostituzione.

 

Prima di occuparci del metodo di risoluzione, tre piccole osservazioni:

 

- nei casi degeneri a=0 oppure b=0 l'equazione trinomia si riduce a un'equazione binomia;

 

- ci concentreremo solamente sulle equazioni trinomie di grado superiore al secondo perché sappiamo già come affrontare il caso n=1. ;)

 

- oltre alle equazioni di secondo grado, ottenute con n=1, le equazioni trinomie includono un ulteriore caso notevole: la famiglia delle cosiddette equazioni biquadratiche, ossia quelle che ottengono con n=2 e che si presentano nella forma:

 

ax^4+bx^2+c=0

 

Metodo di risoluzione delle equazioni trinomie

 

Per calcolare le eventuali soluzioni reali di un'equazione trinomia basta effettuare una sostituzione dell'incognita, che in gergo viene talvolta chiamata con abuso di linguaggio cambiamento di variabile. Nella pratica sostituiremo x^n con un'altra incognita in modo da ridurre l'equazione al secondo grado.

 

Dovendo risolvere un'equazione trinomia del tipo

 

ax^{2n}+bx^n+c=0

 

basterà effettuare la seguente sostituzione

 

y=x^n

 

dove y è a sua volta un'incognita, perché è espressa in termini di x. Così facendo l'equazione si riduce a

 

ay^2+by+c=0

 

cioè a un'equazione di secondo grado nell'incognita y. A proposito: la scelta della lettera y è assolutamente arbitraria, avremmo potuto chiamare la nuova incognita z o w e nulla sarebbe cambiato.

 

Da qui in poi il procedimento risolutivo è tutto in discesa. Sappiamo infatti che un'equazione di secondo grado ammette soluzioni in base al segno del discriminante (delta). Procediamo per casi.

 

 

Equazioni trinomie con delta associato negativo

 

\Delta=b^2-4ac<0

 

L'equazione

 

ay^2+by+c=0

 

non ammette soluzioni reali e conseguentemente l'equazione trinomia

 

ax^{2n}+bx^n+c=0

 

è a sua volta impossibile.

 

 

Equazioni trinomie con delta associato nullo

 

\Delta=b^2-4ac= 0

 

L'equazione di secondo grado ha due soluzioni reali coincidenti, date da

 

y=-\frac{b}{2a}

 

Ricordandoci che y=x^n, ci troveremo a risolvere l'equazione binomia

 

x^n=-\frac{b}{2a}

 

che potrebbe essere impossibile, ammettere una sola soluzione reale o due soluzioni reali distinte.

 

Per non allungare e complicare la spiegazione evitiamo di ripetere i possibili sotto-casi che abbiamo già studiato. Se non ricordate come fare vi suggeriamo di ripassare la relativa lezione e lo schema riassuntivo per la risoluzione delle equazioni binomie.

 

 

Equazioni trinomie con delta associato positivo

 

\Delta=b^2-4ac>0

 

L'equazione ammette due soluzioni distinte del tipo

 

y_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

 

Torniamo all'incognita x. Essendo y=x^n dobbiamo risolvere due equazioni

 

 x^n=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \\ \\ x^n=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

 

vale a dire, due equazioni binomie. Dopo averle risolte accetteremo come soluzioni dell'equazione trinomia tutte le eventuali soluzioni che scaturiscono dalle due equazioni binomie.

 

 

Riepiloghiamo il metodo risolutivo e ribadiamo che per risolvere le equazioni trinomie è fondamentale saper risolvere le binomie.

 

 

Equazioni trinomie

Schema per la risoluzione delle equazioni trinomie.

 

Esempi sulle equazioni trinomie

 

Passiamo ad analizzare una serie di esercizi svolti, in modo da avere una panoramica sul metodo di svolgimento completo nei possibili casi.

 

A) x^4+2x^2+1=0

 

L'equazione trinomia è in particolare biquadratica. Sostituiamo l'incognita ponendo y=x^2, in modo da ottenere l'equazione di secondo grado associata:

 

y^2+2y+1=0

 

Calcoliamo il Δ:

 

\Delta=4-4=0

 

L'equazione ammette due soluzioni coincidenti:

 

y_{1,2}=-1

 

Torniamo alla prima variabile, cosicché dobbiamo risolvere l'equazione binomia

 

x^2=-1

 

che non ammette soluzioni. In conclusione l'equazione trinomia non ammette soluzioni reali.

 

 

B) x^6+5x^3+6=0

 

Cambiamo la variabile ponendo y=x^3, in questo modo passiamo all'equazione di II grado associata:

 

y^2+5y+6=0

 

Calcoliamo il discriminante

 

\Delta=25-24=1

 

dunque l'equazione ammette due soluzioni distinte

 

y_{1,2}=\frac{-5\pm 1}{2}\ \ \ \to\ \ \ y_1=-3\ \ ;\ \ y_2=-2

 

Tornando alla prima variabile, ricaviamo le seguenti equazioni binomie:

 

x^3=-3\\ \\ x^3=-2

 

che sono entrambe risolubili, e che conducono alle due soluzioni:

 

x_1=\sqrt[3]{-3}\\ \\ x_2=\sqrt[3]{-2}

 

 

C) 2x^8+5x^4+7=0

 

Sostituiamo l'incognita ponendo y=x^4. Così facendo passeremo all'usuale equazione di 2° grado associata, che in questo caso è data da:

 

2y^2+5y+7=0

 

Il delta è

 

\Delta=25-56=-31<0

 

per cui l'equazione trinomia è impossibile.

 

 

D) 2x^{10}+3x^5-2=0

 

Procediamo per sostituzione ponendo y=x^5, ricavando l'equazione di secondo grado associata:

 

2y^2+3y-2=0

 

Ormai sappiamo come fare ;)

 

\Delta=9+16=25

 

Tale equazione ammette due soluzioni distinte:

 

y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}\ \ \ \to\ \ \ y_1=-2\ \ ;\ \ y_2=\frac{1}{2}

 

Riprendiamo la variabile di partenza: otteniamo le due equazione binomie

 

x^5=-2\\ \\ x^5=\frac{1}{2}

 

entrambe risolubili:

 

x_1=\sqrt[5]{-2}\\ \\ x_2=\sqrt[5]{\frac{1}{2}}

 

 

E) 3x^{12}+2x^6-5=0

 

Dopo aver cambiato variabile ponendo y=x^6, arriviamo a

 

3y^2+2y-5=0

 

calcoliamo il discriminante

 

\Delta=4+60=64

 

L'equazione ammette due soluzioni distinte:

 

y_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{6}\ \ \ \to\ \ \ y_1=-\frac{5}{3}\mbox{ e }y_2=1

 

Tornando alla variabile x ricaviamo due equazioni binomie

 

x^6=-\frac{5}{3}\\ \\ x^6=1

 

La prima equazione binomia non ammette soluzioni, infatti non possiamo estrarre la radice di indice pari di un numero negativo. Al contrario la seconda è risolubile e le sue due soluzioni sono:

 

x_1=\pm 1

 

Notiamo che se anche la prima equazione fosse stata risolubile avremmo ricavato quattro soluzioni per la trinomia di partenza.

 

Numero di soluzioni di un'equazione trinomia

 

Un approfondimento facoltativo, non necessario ma comunque utile per allenarsi al ragionamento. Tenendo conto delle ipotesi a,b,c\neq 0, in generale ci sono quattro possibilità riguardo al numero di soluzioni di un'equazione trinomia: impossibile, 1 soluzione, 2 soluzioni, 4 soluzioni.

 

Giustifichiamo la precedente affermazione ragionando caso per caso sul delta dell'equazione di secondo grado associato.

 

Se Δ<0, l'equazione associata è impossibile, dunque l'equazione trinomia è impossibile.

 

Se Δ=0, l'equazione associata ammette una sola soluzione \overline{y}\neq 0. Se la sostituzione y=x^n presenta un esponente dispari, avremo 1 sola soluzione per la trinomia; se invece fosse n pari, potremmo avere 0 soluzioni o 2 soluzioni per la trinomia, a seconda che sia \overline{y}<0 oppure \overline{y}>0.

 

Se Δ>0, l'equazione associata ammette due soluzioni distinte y_1\neq 0\neq y_2. Se la sostituzione y=x^n presenta un esponente dispari, avremo 1+1=2 soluzioni per la trinomia. Se invece n fosse pari, potremmo avere 0+0=0, oppure 0+2=2, oppure 2+0=2, o ancora 2+2=4 soluzioni per la trinomia. Le varie possibilità si ottengono considerando i rispettivi casi sui possibili segni di y_1,\ y_2.

 

Un'ultima osservazione sulla risoluzione delle equazioni trinomie

 

Può capitare di dover risolvere equazioni trinomie che non sembrano tali, ma che in realtà lo sono. Ci riferiamo alle equazioni del tipo:

 

a\left[f(x)\right]^{2n}+b\left[f(x)\right]^n+c=0

 

dove f(x) è un'espressione contente l'incognita x. Nessun problema, semplicemente invece della sostituzione y=x^n dovremo porre y=\left[f(x)\right]^n.

 

Grazie al seguente esempio dovrebbe risultare tutto più chiaro. Consideriamo:

 

(x-3)^{2}x^2+8x(x-3)-20=0

 

che possiamo riscrivere come

 

\left[x(x-3)\right]^2+8[x(x-3)]-20=0

 

Siamo di fronte a un'equazione trinomia particolare, con

 

f(x)=x(x-3)

 

Utilizzando il procedimento standard, cambiamo la variabile ponendo y=x(x-3) e passiamo all'equazione

 

y^{2}+8y-20=0

 

In questo specifico caso possiamo addirittura ridurre i calcoli usando la formula del delta quarti

 

\frac{\Delta}{4}=36

 

e di conseguenza le due soluzioni sono

 

y_{1,2}=-4\pm 6\ \ \ \to\ \ \ y_1=-10 \ \mbox{ e } \ y_2=2

 

Torniamo all'incognita di partenza:

 

\bullet \ (x-3)x=10\ \ \ \to\ \ \ x^2-3x-10=0

 

le cui soluzioni sono x_1=-2,\ x_2=5.

 

\bullet \ (x-3)x=2\ \ \ \to\ \ \ x^2-3x+2=0

 

le cui soluzioni sono x_3=1,\ x_4=2.

 

Le soluzioni della trinomia sono quindi x_1=-2,\ x_2=5,\ x_3=1,\ x_4=2.

 

Equazioni trinomie fratte

 

Può capitare a volte di imbattersi in quelle che chiameremo equazioni trinomie fratte, vale a dire equazioni che in forma normale si riducono a un rapporto tra ax^{2n}+bx^n+c a numeratore e una quantità contenente x a denominatore.

 

Per risolverle sarà sufficiente imporre le condizioni di esistenza sulla forma iniziale dell'equazione ponendo ogni denominatore diverso da zero, esattamente come per le equazioni fratte di secondo grado.

 

Fatto ciò procederemo con i calcoli in modo da ricondurci a un'unica frazione algebrica, per giungere alla forma

 

\frac{\mbox{numeratore}}{\mbox{denominatore}}=0

 

A questo punto le condizioni di esistenza imposte inizialmente ci permettono di cancellare il denominatore e di risolvere l'equazione trinomia

 

\mbox{numeratore}=0

 

 


 

Nella lezione successiva tratteremo l'ultima tipologia di equazioni di grado superiore al secondo più accessibili: le equazioni scomponibili. Non perdetevi la scheda di esercizi correlati e, in caso di necessità, servitevi pure del tool per risolvere le equazioni online per correggere i risultati dei vostri esercizi. ;)

 

 

ደህና ይሁኑ, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

 

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