Equazioni binomie (equazioni di grado superiore al secondo)

Le equazioni binomie sono equazioni che, in accordo con la definizione di binomio, sono costituite da un polinomio formato da due termini. In termini didattici le equazioni binomie si riferiscono a un particolare tipo di equazioni di grado superiore al secondo e al loro specifico metodo di risoluzione.

 

Le equazioni binomie sono la prima tipologia di equazioni di grado superiore al secondo di cui ci occupiamo. Se avete letto e digerito la precedente lezione, saprete già che lo studio delle equazioni di grado maggiore o uguale al terzo è piuttosto impervio. Per questo motivo si comincia con alcuni specifici tipi di equazioni di grado maggiore di 2, il primo dei quali è dato dalle equazioni binomie.

 

Per cominciare daremo la definizione di equazione binomia in termini generali e, successivamente, la definizione didattica nel contesto delle equazioni di grado superiore al secondo. A seguire descriveremo dettagliatamente il metodo di risoluzione per poi applicarlo in alcuni esempi svolti.

 

Nota: per chi fosse interessato alle disequazioni di grado superiore al secondo - click!

 
 
 

Cosa sono le equazioni binomie

 

Come lascia presupporre il nome, le equazioni binomie sono per definizione equazioni costituite da due termini. Più precisamente possiamo dire che un'equazione binomia in forma normale è del tipo

 

P(x)=0

 

dove P(x) è un binomio a coefficienti reali, dunque un polinomio a coefficienti reali composto da due termini.

 

In realtà la definizione di equazione binomia più comunemente accettata è più specifica: chiamiamo equazione binomia in forma normale una qualsiasi equazione della forma

 

ax^n+b=0\\ \\ \mbox{con }\ a\neq 0,\ \ b\neq 0\\ \\ \mbox{e}\ \ n\geq 1

 

Vi facciamo notare che l'esponente della potenza x^n deve essere maggiore o uguale a 1, dunque:

 

- per n=1 otteniamo un'equazione di primo grado;

 

- per n=2 otteniamo un particolare tipo di equazione di secondo grado;

 

- per n\geq 3 otteniamo un'equazione di grado superiore al secondo.

 

Volendo è possibile includere come caso degenere di equazione binomia quello che si ottiene con b=0

 

ax^n=0\\ \\ \mbox{con }\ a\neq 0\\ \\ \mbox{e}\ \ n\geq 1

 

e lo consideriamo degenere perché, in tale eventualità, l'equazione non è più binomia. Essa ammette come soluzione x=0 con molteplicità algebrica n.

 

 

Equazioni binomie come equazioni di grado superiore al secondo

 

Nonostante le equazioni binomie includano anche equazioni di primo e di secondo grado, ci interessano in particolare come tipologia di equazioni di grado superiore al secondo. Come vedremo nel prosieguo della lezione, per tali equazioni esiste un metodo di risoluzione generale che ci permetterà di individuare le soluzioni mediante semplici formule risolutive.

 

Metodo di risoluzione delle equazioni binomie

 

Il procedimento di risoluzione delle equazioni binomie è immediato e presenta un unico aspetto delicato: dobbiamo prestare attenzione alla parità-disparità dell'esponente cui è elevata l'incognita. Procediamo per casi.

 

 

Equazione binomia con esponente dispari

 

Se n è dispari, dunque se l'equazione è soggetta alle condizioni

 

ax^n+b=0\\ \\ \mbox{con }\ a\neq 0,\ \ b\neq 0\\ \\ \mbox{e con }\ n\geq 1,\ \ n\mbox{ dispari}

 

L'equazione binomia ammette sempre una e una sola soluzione reale data da

 

x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}

 

che possiamo riscrivere nella forma

 

x=-\sqrt[n]{\frac{b}{a}}

 

Dallo studio dei radicali sappiamo infatti che è possibile estrarre la radice di indice dispari di qualunque numero reale, indipendentemente dal segno della quantità -\frac{b}{a}.

 

 

Equazione binomia con esponente pari

 

Se n è pari dobbiamo prestare particolare attenzione. Sappiamo che non è possibile estrarre la radice di indice pari di numeri negativi (basti pensare alla radice quadrata). Dobbiamo quindi individuare i casi in cui il radicando è negativo, perché altrimenti avremmo a che fare con i numeri complessi di cui non ci occupiamo in questa sezione di lezioni. 

 

ax^n+b=0\\ \\ \mbox{con }\ a\neq 0,\ \ b\neq 0\\ \\ \mbox{e con }\ n\geq 1,\ \ n\mbox{ pari}

 

Dobbiamo distinguere due sottocasi.

 

1) Se i coefficienti a e b sono discordi, cioè se hanno segno diverso, allora l’equazione binomia ammette due soluzioni:

 

x=\pm\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}

 

Infatti in questo caso la quantità -\frac{b}{a}} sarà positiva, dunque è lecito estrarne la radice. In particolare osserviamo che le due soluzioni saranno certamente distinte (perché deve essere b\neq 0 per ipotesi) e opposte.

 

Da notare che il simbolo \pm si rende necessario perché entrambe le soluzioni sono valide, infatti elevando la radice n-esima all'esponente n pari otteniamo sempre il segno +

 

\left(\pm\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}\right)^n\ \ \ \overbrace{=}^{n\mbox{ pari}}\ \ \ -\frac{b}{a}

 

2) Se invece a e b sono concordi, cioè se hanno segno uguale, l'equazione binomia non ha soluzioni infatti la quantità -\frac{b}{a}} risulta negativa, quindi non possiamo estrarne la radice n-esima.

 

Possiamo rappresentare le varie possibilità con un opportuno diagramma ad albero:

 

 

Risoluzione delle equazioni binomie

Schema per la risoluzione delle equazioni binomie.

 

Esempi sulle equazioni binomie

 

Vediamo una breve carrellata di esercizi svolti sulle equazioni binomie, per ciascuno dei casi analizzati.

 

 

Esempi sulle equazioni binomie con n dispari

 

Ricordiamo che per questo tipo di equazioni non è necessario alcun controllo sui coefficienti, perché l'esponente n dell'incognita è dispari.

 

 

A) x^3-8=0

 

Riscriviamo l'equazione nella forma

 

x^3=8

 

ed estraiamo la radice cubica senza preoccuparci del segno, poiché l’esponente di x è dispari, dunque otteniamo

 

\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{8}

 

cioè x=2.

 

 

B) x^3+8=0

 

Scriviamo l'equazione come

 

x^3=-8

 

come già ribadito più volte, il segno dei coefficienti nel caso di grado dispari non ha nessuna importanza. Otteniamo

 

x=\sqrt[3]{-8}=-2

 

 

C) 3x^5-21=0

 

Il procedimento è identico ai primi due esempi. Anche se il primo coefficiente è diverso da 1, non cambia nulla:

 

x^5=\frac{21}{3}

 

Semplifichiamo la frazione

 

x^5=7

 

e, dato che l'esponente è dispari, possiamo estrarre la radice quinta a sinistra e a destra dell’uguale:

 

\sqrt[5]{x^5}=\sqrt[5]{7}\ \ \ \to\ \ \ x=\sqrt[5]{7}

 

 

Esempi sulle equazioni binomie con n pari

 

Quando l'esponente dell'incognita è pari, non potendo estrarre la radice di indice pari di numeri negativi, dobbiamo analizzare i segni dei coefficienti: se sono discordi allora l'equazione ammette due soluzioni distinte, se invece sono concordi (di segno uguale) l'equazione è impossibile.

 

 

A)  x^4-1=0

 

Il coefficiente del termine in x è 1, mentre il termine noto è -1. Essendo discordi avremo due soluzioni distinte:

 

x^4=1\ \ \ \to\ \ \ x=\pm\sqrt[4]{1}=\pm 1

 

 

B)  x^4+1=0

 

I coefficienti sono concordi: non dobbiamo nemmeno proseguire perché sappiamo già che l'equazione non ammette soluzioni. Anche se volessimo intestardirci e provare a risolvere l'equazione

 

x^4=-1

 

ci ritroveremmo con una potenza con esponente pari, non negativa per definizione, uguagliata a un numero negativo. Impossibile!

 

Osservazione: un modo del tutto equivalente di leggere l'equazione è il seguente. Poiché una potenza con esponente pari è per definizione positiva o nulla, sommando ad essa un numero positivo otterremo sicuramente un numero positivo, che dunque non può essere uguale a zero.

 

 

C)  5x^6+3=0

 

I coefficienti sono concordi. Come nel precedente esempio non dobbiamo nemmeno proseguire, e concludiamo che l'equazione è impossibile.

 

 

D) 21(x^3)^2-7=0

 

Per una nota proprietà delle potenze possiamo scrivere:

 

21x^6-7=0

 

I coefficienti sono discordi: sono 21 e -7, quindi procediamo nella risoluzione

 

x^6=\frac{7}{21}\ \ \ \to\ \ \ x^6=\frac{1}{3}

 

Estraiamo la radice sesta e abbiamo finito

 

x=\pm\sqrt[6]{\frac{1}{3}}

 

 

D) \pi^5x^6-2=0

 

\pi^5 è semplicemente pi greco elevato alla quinta, dunque è un numero reale. A noi non interessa alcun esponente se non quello dell'incognita, che è pari. Confrontiamo i coefficienti che sono \pi^5 e -2: essendo discordi, procediamo con la risoluzione.

 

x=\pm\sqrt[6]{\frac{2}{\pi^5}}

 

Equazioni binomie fratte

 

Negli esercizi può capitare di avere a che fare con equazione fratte di grado superiore al secondo che, in forma normale, si riducono a un rapporto con ax^n+b a numeratore e un termine contenente l'incognita x a denominatore. Le chiameremo per semplicità equazioni binomie fratte, anche se precisiamo che tale terminologia è del tutto improvvisata. ;)

 

In casi del genere dovremo semplicemente imporre le condizioni di esistenza sulla forma iniziale dell'equazione, in modo del tutto analogo rispetto alle equazioni fratte di secondo grado, e imporre che ogni denominatore sia diverso da zero.

 

Successivamente potremo fare i calcoli con le frazioni algebriche e ridurci ad un'equazione del tipo

 

\frac{\mbox{numeratore}}{\mbox{denominatore}}=0

 

cosicché dovremo solamente eliminare il denominatore e risolvere l'equazione binomia

 

\mbox{numeratore}=0

 

con il metodo spiegato in precedenza. Infine dovremo confrontare le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza.

 

 

Esempio

 

\frac{4x^3-7}{x+1}=0

 

Per cominciare, prendiamo nota delle condizioni di esistenza: poniamo

 

x+1\neq 0\ \ \to\ \ x\neq -1

 

A questo punto procediamo nella risoluzione con il metodo standard per le equazioni binomie, perché le CE ci permettono di cancellare il denominatore

 

4x^3-7=0\mbox{ cioè } x=\sqrt[3]{\frac{7}{4}}

 

e la soluzione è accettabile. :)

 

 


 

Nella lezione successiva affronteremo le equazioni trinomie e, a seguire, le equazioni scomponibili, in modo da chiudere la rassegna delle equazioni di grado superiore al secondo più abbordabili. Non perdetevi la scheda correlata di esercizi e, in caso di necessità, affidatevi al tool per risolvere le equazioni online per verificare i risultati degli esercizi che avete svolto. ;)

 

 

Adiaŭ, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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