Formula del discriminante

La formula del discriminante, detta anche formula del delta, è una formula risolutiva per le equazioni di secondo grado in forma normale, che permette di stabilire la natura delle equazioni (determinate o impossibili) e di determinarne le eventuali soluzioni.

 

Ci occupiamo ora di mostrare come si ricava la formula del discriminante che permette di risolvere le equazioni di secondo grado ad un'incognita espresse in forma normale. Nella lezione sulle equazioni di secondo grado abbiamo visto come stabilire se un'equazione ammette soluzioni reali mediante il segno del discriminante e, in caso affermativo, di calcolarle. Non abbiamo però spiegato perché quella formula funziona né come si ricava.

 

In questa lezione mostreremo la dimostrazione della formula del delta e spiegheremo perché il suo segno permette di individuare il numero di soluzioni.

 
 
 

Come ricavare la formula del discriminante

 

Per dimostrare che la formula del discriminante permette di determinare le soluzioni delle equazioni di secondo grado in forma normale

 

ax^2+bx+c=0\ \ \ \mbox{con }a,b,c\in\mathbb{R},\ a\neq 0\\ \\ \\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

 

è essenziale ricordare come si sviluppa il quadrato di un binomio:

 

(M+N)^2=M^2+2MN+N^2

 

L'obiettivo prevede di riscrivere l'equazione in modo da sfruttare la formula del quadrato di un binomio, in particolare riconducendosi a una forma del tipo:

 

(2ax+b)^2=\mbox{qualcosa che chiameremo discriminante}

 

Iniziamo portando il termine noto  c a destra dell'uguale:

 

ax^2+bx=-c

 

Moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per 4a, ottenendo

 

4a(ax^2+bx)=-4ac

 

Sviluppiamo il prodotto al membro di sinistra

 

4a^2x^2+4abx=-4ac

 

Poiché il nostro scopo consiste nel ridurre il membro di sinistra allo sviluppo del quadrato di un binomio, esprimiamo i due addendi rispettivamente come un quadrato e un doppio prodotto

 

(2ax)^2+2\cdot(2ax)\cdot b=-4ac

 

A questo punto interviene la tecnica di completamento del quadrato. Cosa manca per ottenere il quadrato (2ax+b)^2 che cerchiamo? Basta sommare a entrambi i membri dell'uguaglianza un termine b^2, il che ci porta a un'equazione equivalente alla precedente in forza del secondo principio di equivalenza delle equazioni.

 

(2ax)^2+2\cdot(2ax)\cdot b+b^2=b^2-4ac

 

ossia

 

(2ax+b)^2=b^2-4ac

 

Il membro di destra ha assunto esattamente la forma del discriminante \Delta. Più precisamente, fingiamo di non sapere nulla al riguardo e decidiamo di attribuire all'espressione del secondo membro il nome discriminante, o delta

 

(2ax+b)^2=b^2-4ac\\ \\ \Delta:=b^2-4ac

 

dove il simbolo matematico := ha il significato di uguale per definizione.

 

Segno del discriminante e numero di soluzioni dell'equazione di secondo grado

 

Abbiamo tutto quel che ci serve per effettuare l'analisi sul segno del delta e sul numero di soluzioni dell'equazione di secondo grado.

 

Poiché quella che abbiamo scritto è un'equazione equivalente a quella iniziale, ossia hanno le stesse soluzioni, ci basta osservare che il membro di sinistra è un quadrato. In accordo con ciò che sappiamo sulle potenze, il quadrato di un numero reale (2ax+b) può essere una quantità positiva o nulla, ma non negativa, ed è in particolare nullo se e solo se la base è zero.

 

Dato che non sappiamo nulla a priori sul segno del delta \Delta=b^2-4ac, distinguiamo i possibili casi:

 

 

\bullet\ \Delta=b^2-4ac<0

 

L'equazione di secondo grado è impossibile: non esistono soluzioni reali, perché l'equazione equivale a chiedersi per quali valori di x la quantità non negativa (2ax+b)^2 è uguale alla quantità negativa b^2-4ac


 

\bullet\ \Delta=b^2-4ac=0

 

L'equazione di secondo grado è determinata e ammette un'unica soluzione reale (due soluzioni reali coincidenti). Abbiamo infatti

 

(2ax+b)^2=0

 

ossia

 

(2ax+b)(2ax+b)=0

 

e dunque l'equazione ha una soluzione con molteplicità algebrica 2

 

x=-\frac{b}{2a}


 

\bullet \ \Delta=b^2-4ac>0

 

In tal caso l'equazione di secondo grado è determinata e ammette due soluzioni reali distinte. Vediamo di capire perché e nel contempo ricaviamo la formula del discriminante per il calcolo delle due soluzioni:

 

(2ax+b)^2=b^2-4ac

 

Riscriviamola nella forma

 

(2ax+b)^2=\Delta

 

e portiamo tutto a sinistra dell'uguale

 

(2ax+b)^2-\Delta=0

 

Se applichiamo il prodotto notevole per la differenza di due quadrati, possiamo scrivere il membro di sinistra nella forma

 

[(2ax+b)+\sqrt{\Delta}][(2ax+b)-\sqrt{\Delta}]=0

 

e applicare la legge di annullamento del prodotto: il prodotto è nullo se almeno uno dei due fattori è nullo

 

(2ax+b)+\sqrt{\Delta}=0\ \ \to\ \ 2ax=-b-\sqrt{\Delta}\ \ \to\ \ x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ (2ax+b)-\sqrt{\Delta}=0\ \ \to\ \ 2ax=-b+\sqrt{\Delta}\ \ \to\ \ x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

 

Possiamo riassumere le due possibilità in forma compatta e abbiamo finito: la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado ad un'incognita è data da

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

 

Vi facciamo notare che, pur essendo stata ricavata nel caso del delta positivo, la formula può essere applicata per qualsiasi equazione di secondo grado in forma normale, e nella fattispecie anche nel caso di due soluzioni reali e coincidenti:

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \overbrace{=}^{\Delta=0}\ \frac{-b}{2a}

 

 


 

È tutto. Nella lezione successiva introdurremo due versioni semplificate della formula del discriminante, dette formula ridotta e formula ridottissima (delta quarti); per il resto vi raccomandiamo il nostro tool per risolvere le equazioni online, e di fare allenamento con le schede correlate di esercizi svolti e proposti. Per tutto il resto c'è la barra di ricerca interna. ;)

 

 

მშვიდობით, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

 

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