Equazioni di secondo grado

Le equazioni di secondo grado ad un'incognita, dette anche equazioni di grado 2, sono equazioni in cui l'incognita compare con esponente di grado 2 ed eventualmente con esponenti di grado inferiore.

 

Dopo aver affrontato le equazioni di primo grado passiamo in modo del tutto naturale alla successiva tipologia di equazioni intere, ossia definite mediante polinomi. In questa lezione ci occupiamo delle equazioni di secondo grado, dandone la definizione e studiando tutti i principali metodi di risoluzione.

 

Come vedremo nel seguito, disponendo della forma normale è possibile ricorrere a una formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, nota anche come formula del delta (o formula del discriminante). Essa è utilizzabile in ogni caso, ciononostante vedremo come sia possibile introdurre una classificazione che ci permetterà di ricorrere a metodi risolutivi più immediati in alcuni casi particolari.

 

Nota: chi fosse interessato alle disequazioni di secondo grado può leggere la lezione dell'omonimo link. ;)

 
 
 

Come sono fatte le equazioni di secondo grado?

 

Possiamo dare una semplice e intuitiva definizione per le equazioni di secondo grado: diciamo che un'equazione ha grado 2 se uno dei due membri è un polinomio di grado 2 e l'altro membro è un polinomio di grado al più 2.

 

In modo analogo, possiamo dire che un'equazione di secondo grado è un'equazione polinomiale in cui l'incognita compare almeno una volta con esponente di grado 2 e tale che l'incognita compaia con grado massimo pari a 2. Sono esempi di equazioni di secondo grado:

 

x^2+5x+4=0\\ \\ x^2=4x\\ \\ x^2=1\\ \\ x-x^2=4+x-x^2

 

In base a ciò che abbiamo imparato nello studio delle equazioni di primo grado, sappiamo che un'equazione può assumere diverse forme equivalenti tra loro. Piuttosto che perdersi nelle molteplici forme che un'equazione di secondo grado può assumere, è molto più utile definire la forma normale delle equazioni di secondo grado:

 

ax^2+bx+c=0

 

dove:

 

a è detto coefficiente del termine di grado 2;

 

b è detto coefficiente del termine di grado 1;

 

c è detto coefficiente del termine di grado 0, o termine noto;

 

La forma normale individua un'equazione di secondo grado a patto che risulti

 

a\neq 0

 

in caso contrario (a=0) avremmo a che fare con un'equazione di primo grado se b\neq 0, o con un'equazione senza incognita se b=0.

 

Lo studio delle equazioni di secondo grado ha lo scopo di riuscire a risolvere qualsiasi equazione di secondo grado in forma normale o, eventualmente, qualsiasi equazione che sia stata ricondotta alla precedente forma normale. Con questo intendiamo che potrebbe capitarci un'equazione come

 

x^3+x^2=x^3

 

che all'apparenza sembrerebbe di terzo grado, ma che si riconduce facilmente a un'equazione di grado 2

 

x^2=0

 

Numero di soluzioni di un'equazione di secondo grado in forma normale

 

Vi ricordate lo schema per le equazioni di primo grado? In quel contesto abbiamo trattato tutti i possibili casi sul numero delle soluzioni, ivi compresi quelli che scaturivano dalle possibili riduzioni a equazioni senza incognite: equazioni impossibili ed equazioni indeterminate.

 

Qui usiamo un approccio un po' più formale: tralasciamo i possibili casi di riduzione a gradi inferiori, dovuti a eventuali cancellazioni dei termini contenenti l'incognita, e ci limitiamo ad analizzare il numero di soluzioni delle equazioni di secondo grado in forma normale.

 

Consideriamo quindi la forma normale delle equazioni di secondo grado

 

ax^2+bx+c=0\ \ \ \mbox{con}\ a\neq 0

 

Ci domandiamo quante possono essere le soluzioni dell'equazione considerando come insieme di esistenza delle soluzioni l'insieme dei numeri reali \mathbb{R}. In altri termini, a,b,c\in\mathbb{R} e le possibili soluzioni sono da ricercarsi in \mathbb{R}.

 

1) Due soluzioni. L'equazione di secondo grado è determinata e ammette due soluzioni reali.

 

S=\{x_1,x_2\},\ \ \ \mbox{con }x_1,x_2\in\mathbb{R}\ \ \mbox{e}\ \ x_1\neq x_2

 

2) Una soluzione. L'equazione di secondo grado è determinata e ammette una soluzione reale. Più precisamente si dice che l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti, o anche che ammette una soluzione reale con molteplicità algebrica 2.

 

S=\{x_1\},\ \ \ \mbox{con }x_1\in\mathbb{R}\ \ \ \ \ (x_1=x_2)

 

3) Nessuna soluzione. L'equazione di secondo grado è impossibile e non ammette alcuna soluzione reale.

 

\not\exists x\in\mathbb{R}

 
 

Metodi di risoluzione e classificazione delle equazioni di secondo grado

 

Come vi abbiamo anticipato, esistono sostanzialmente un metodo generale che permette di risolvere qualsiasi equazione di secondo grado e una serie di metodi più immediati, applicabili però solamente in alcuni casi particolari. Vediamo quindi una panoramica completa sulla classificazione delle equazioni di secondo grado proponendo di volta in volta i metodi risolutivi ed esempi svolti per ciascun caso.

 

Il punto di partenza è sempre la forma normale delle equazioni di secondo grado:

 

ax^2+bx+c=0\ \ \ \mbox{con}\ a\neq 0

 

Equazioni di secondo grado complete e formula del delta

 

Diciamo equazione di secondo grado completa un'equazione di secondo grado in forma normale in cui tutti i coefficienti sono diversi da zero

 

ax^2+bx+c=0\ \ \ \mbox{con}\ a\neq 0,\ b\neq 0,\ c\neq 0

 

Il principale metodo per risolvere le equazioni di grado 2 complete, detto formula risolutiva delle equazioni di secondo grado o formula del delta, è piuttosto semplice. Esso prevede di considerare una quantità che è caratteristica delle equazioni di secondo grado, il cosiddetto discriminante

 

\Delta=b^2-4ac

 

che viene detto anche delta dell'equazione e che viene indicato con la lettera greca maiuscola \Delta.

 

Il discriminante ci permette di scrivere la formula risolutiva:

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

 

o, esplicitamente

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \to\ \begin{cases}x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \\ x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{cases}

 

Il simbolo ± va letto come più o meno ed è una scrittura sintetica per indicare che bisogna considerare due possibilità ugualmente valide: la prima si ottiene usando il segno + in luogo di ±, la seconda sostituendo ± con il segno -.

 

La formula risolutiva per le equazioni di secondo grado complete ha due aspetti estremamente interessanti:

 

A) può essere utilizzata sempre e comunque, anche per le equazioni di secondo grado non complete;

 

B) ci permette di capire qual è il numero delle soluzioni ancor prima di applicarla. Guardiamo con attenzione il secondo termine del numeratore:

 

\frac{...\pm\sqrt{\Delta}}{...}

 

Se analizziamo il segno del delta (positivo, negativo o nullo) possiamo capire velocemente che:

 

1) Se il discriminante è positivo (\Delta>0) allora avremo due soluzioni reali distinte, infatti ci troviamo a sommare/sottrarre la radice di un numero positivo.

 

Delta positivo → Equazione di secondo grado determinata con due soluzioni reali distinte

 

2) Se il discriminante è nullo (\Delta=0) allora avremo due soluzioni reali coincidenti, infatti ci ritroveremo a sommare/sottrarre la radice di zero, che è zero.

 

Delta nullo → Equazione di secondo grado determinata con due soluzioni reali coincidenti

 

3) Se il discriminante è negativo (\Delta<0) allora la formula risolutiva perde di significato e l'equazione non ammette soluzioni reali, perché non è possibile estrarre la radice quadrata di un numero negativo nell'insieme dei numeri reali.

 

Delta negativo → Equazione di secondo grado impossibile, nessuna soluzione reale

 

Nelle lezioni successive spiegheremo nel dettaglio come ricavare la formula del discriminante e perché il segno del delta individua il numero di soluzioni nelle equazioni di secondo grado; vedremo inoltre che in alcuni casi è possibile semplificare la formula del delta usando una versione detta ridotta e una ridottissima (delta quarti).

 

 

Esempi di equazioni di secondo grado complete

 

\bullet\ \ \ x^2-3x+2=0

 

Calcoliamo il delta:

 

\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1>0

 

Poiché il discriminante è positivo ci aspettiamo due soluzioni reali e distinte per l'equazione

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{3\pm 1}{2}=\begin{cases}\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1\\ \\ \frac{3+1}{2}=\frac{4}{2}=2\end{cases}

 

In conclusione le soluzioni sono x_1=1,\ x_2=2.

 

 

\bullet\ \ \ x^2-2x+1=0

 

Partiamo dal discriminante:

 

\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1=4-4=0

 

Avremo quindi due soluzioni reali e coincidenti:

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{0}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm 0}{2}=\frac{2}{2}=1

 

e l'unica soluzione reale (con molteplicità algebrica 2) è x=1.

 

 

\bullet\ \ \ x^2+x+1=0

 

Calcoliamo il delta dell'equazione

 

\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0

 

Poiché il delta è negativo, l'equazione è impossibile nell'insieme dei numeri reali.

 

Equazioni di secondo grado monomie

 

Diciamo equazione di secondo grado monomia un'equazione di secondo grado in forma normale in cui i coefficienti dei termini di grado 1 e 0 sono nulli, ossia b=0=c

 

ax^2=0\ \ \ \mbox{con }a\neq 0

 

Il metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado monomie è immediato e non richiede calcoli: esse infatti ammettono sempre due soluzioni reali e coincidenti, entrambe nulle, quale che sia il valore di a\neq 0:

 

x=0

 

Se non ci fidiamo, nulla ci vieta di applicare la formula risolutiva per le equazioni complete:

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\cdot a\cdot 0}}{2\cdot a}=\frac{0\pm 0}{2a}=0

 

 

Esempio di equazione di secondo grado monomia

 

\bullet\ 5x^2=0

 

L'unica soluzione reale ha molteplicità algebrica 2 ed è ovviamente x=0.

 

Per approfondire: equazioni monomie.

 

Equazioni di secondo grado pure

 

Un'equazione di secondo grado pura è un'equazione di secondo grado in forma normale in cui il coefficiente del termine di grado 1 è nullo e il termine noto è diverso da zero: b=0,\ c\neq 0

 

ax^2+c=0\ \ \ \mbox{con }a\neq 0,\ c\neq 0

 

Risolvere un'equazione in questa forma è semplice, infatti possiamo procedere al calcolo diretto delle eventuali soluzioni.

 

x^2=\frac{-c}{a}

 

e sono date due possibilità:

 

- se a,c sono concordi, allora -\frac{c}{a} è negativo e l'equazione non ammette soluzioni reali (impossibile);

 

- se a,c sono discordi, allora -\frac{c}{a} è positivo e l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte (determinata), date da

 

x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}

 

A voi il compito di verificare che, applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado complete nel caso delle monomie, otteniamo esattamente le soluzioni appena scritte.

 

 

Domanda da un milione di dollari: perché, nell'estrarre la radice quadrata, dobbiamo aggiungere un segno \pm? Perché entrambe le possibilità risolvono l'equazione, infatti se eleviamo al quadrato entrambe le soluzioni otteniamo

 

\left(+\sqrt{\frac{-c}{a}}\right)^2=\frac{-c}{a}\\ \\ \left(-\sqrt{\frac{-c}{a}}\right)^2=\frac{-c}{a}

 

come richiesto dall'equazione monomia di secondo grado. Occhio a non trascurare questo piccolo, subdolo dettaglio, e a non fare confusione: un conto è estrarre la radice quadrata di un numero, intesa come operazione

 

\sqrt{9}=3\ \ \ \mbox{ e non } \ \ \ \sqrt{9}=\pm 3

 

un altro conto è risolvere un'equazione: in questo caso cerchiamo tutti i possibili valori che, sostituiti a x, rendono vera l'uguaglianza!

 

 

Esempi di equazioni pure

 

\bullet\ -2x^2+4=0

 

Applicando il procedimento, otteniamo

 

x^2=\frac{-4}{-2}=\frac{4}{2}=2

 

Il secondo membro è positivo, quindi l'equazione ammette due soluzioni distinte date da x_{1,2}=\pm\sqrt{2}.

 

 

\bullet\ 3x^2+7=0

 

Si ha

 

x^2=\frac{-7}{3}

 

dove \frac{-7}{3} è negativo, dunque l'equazione non ammette soluzioni reali.

 

Nel caso vogliate consultare altri esempi svolti, vi rimandiamo al nostro approfondimento sulle equazioni pure.

 

Equazioni di secondo grado spurie

 

Un'equazione di secondo grado spuria è un'equazione di secondo grado in forma normale in cui il termine noto è nullo mentre il coefficiente del termine di grado 1 non è nullo: b\neq 0,\ c=0

 

ax^2+bx=0\ \ \ \mbox{con }a\neq 0,\ b\neq 0

 

Anche in questo caso la risoluzione è immediata e ci permette di evitare la formula del discriminante. Possiamo infatti ricavare le soluzioni applicando la legge di annullamento del prodotto, secondo cui il prodotto di due fattori è zero se almeno uno dei due fattori è nullo.

 

Non dobbiamo fare altro che effettuare un raccoglimento a fattore comune

 

ax^2+bx=0\ \ \to\ \ x(ax+b)=0

 

e applicare la legge di annullamento al prodotto su x(ax+b), ossia porre separatamente ognuno dei due fattori uguale a zero:

 

x=0\\ \\ ax+b=0

 

Otteniamo così due soluzioni distinte: x_1=0,\ x_2=\frac{-b}{a}.

 

 

Esempio di equazione di secondo grado spuria

 

\bullet\ 3x^2+7x=0

 

Applicando il procedimento per le equazioni spurie, otteniamo

 

x(3x+7)=0

 

da cui le soluzioni

 

x=0\\ \\ 3x+7=0\ \ \to\ \ x=-\frac{7}{3}

 

Per approfondire con ulteriori esempi svolti: equazione spuria.

 

Metodo alternativo - Risolvere le equazioni di secondo grado per scomposizione

 

Esiste un metodo alternativo all'utilizzo della formula del delta per le equazioni di secondo grado, che può essere utilizzato sia per le equazioni complete che per quelle non complete, ma che ha una limitazione pratica.

 

Consideriamo la forma normale delle equazioni di secondo grado

 

ax^2+bx+c=0\ \ \ \mbox{con}\ a\neq 0

 

Se è possibile scomporre il polinomio di secondo grado come prodotto di due binomi di grado 1, e se siamo in grado di farlo con le tecniche di scomposizione che discendono dai prodotti notevoli, allora possiamo scomporre il polinomio nella seguente forma

 

ax^2+bx+c=a(x+A)(x+B)

 

A questo punto riscriviamo l'equazione nella forma equivalente

 

a(x+A)(x+B)=0\ \ \to\ \ (x+A)(x+B)=0

 

e applichiamo la legge di annullamento del prodotto per calcolare le soluzioni

 

x+A=0\ \ \ \to\ \ \ x=-A\\ \\ x+B=0\ \ \ \to\ \ \ x=-B

 

Questo metodo potrà essere utilizzato ovviamente solo per le equazioni di secondo grado determinate, dunque con due soluzioni reali distinte (x_1=-A\neq -B=x_2) o con due soluzioni reali coincidenti (A=B).

 

Per ottenere la scomposizione del polinomio di grado 2 possiamo usare qualsiasi tecnica atta allo scopo, e principalmente: differenza di quadrati, trinomio notevole con somma e prodotto, quadrato di binomio...

 

Questo metodo è utile per diversi motivi.

 

A) Talvolta ci capiterà di riconoscere al volo che il trinomio ax^2+bx+c può essere scomposto facilmente, e quindi potremo risparmiarci i calcoli della formula del discriminante.

 

B) Permette di capire, dal punto di vista teorico, perché nelle equazioni di secondo grado con delta uguale a zero si parla di due soluzioni reali e coincidenti, o anche di una soluzione reale con molteplicità algebrica 2. Se consideriamo ad esempio l'equazione di secondo grado

 

x^2+4x+4=0

 

vediamo subito che il primo membro è il quadrato di un binomio

 

(x+2)^2=0

 

che possiamo scrivere per esteso, nella forma

 

(x+2)(x+2)=0

 

In questo senso x=-2 è una duplice soluzione dell'equazione: è un singolo valore numerico che risolve l'equazione in due modi, annullando il primo fattore e annullando anche il secondo.

 

C) Il metodo può essere utilizzato al contrario per scomporre polinomi in cui i prodotti notevoli non ci sono d'aiuto. Se infatti immaginiamo di avere un polinomio di secondo grado

 

ax^2+bx+c

 

e di volerlo scomporre, possiamo considerare l'equazione di secondo grado associata

 

ax^2+bx+c=0

 

Se l'equazione risulta determinata, allora il polinomio a coefficienti reali può essere scomposto nel prodotto di due binomi:

 

- se \Delta=0 l'equazione ammette un'unica soluzione con molteplicità algebrica 2. Detta essa x=x_1, la scomposizione del polinomio è data da

 

ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2

 

- se \Delta>0 l'equazione ammette due soluzioni reali distinte x=x_1,\ x=x_2 e la scomposizione del polinomio è data da

 

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

 

In entrambi i casi, attenzione perché le scomposizioni richiedono di anteporre un segno meno alle soluzioni.

 

Per approfondire: scomposizione dei trinomi con le equazioni di secondo grado.

 

 


 

Ci fermiamo qui. Ci sarebbe molto altro da dire riguardo alle equazioni di secondo grado, ma non vogliamo bruciare le tappe. Vi anticipiamo solamente che, quando studieremo i numeri complessi, avremo modo di divertirci... ;) Ma per il momento avanziamo con ordine: le lezioni successive sono dedicate ad alcuni approfondimenti utili, dopodiché tratteremo le equazioni fratte di secondo grado e le equazioni parametriche di secondo grado.

 

Se volete fare un po' di allenamento potete servirvi delle schede correlate di esercizi svolti e di esercizi proposti, e nel caso non bastassero potete usare la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono tantissime risorse utili, tra cui ad esempio un comodo tool per risolvere le equazioni online, utile per controllare i risultati dei vostri esercizi. ;)

 

 

Orevwa, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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