Equazioni lineari in seno e coseno

Le equazioni lineari in seno e coseno sono equazioni goniometriche in cui seno e coseno dipendono dalla medesima incognita, e che si presentano con una struttura tipica delle equazioni lineari.

 

Dopo aver studiato diverse tipologie di equazioni goniometriche passiamo a occuparci delle equazioni lineari in seno e coseno, un'importantissima classe di equazioni che ricorre in numerose applicazioni pratiche (dalla Geometria all'Analisi). Per questo motivo abbiamo ritenuto opportuno dedicare ad esse un'intera lezione, anche perché esistono numerosi metodi di risoluzione per le equazioni lineari in seno e coseno: il metodo parametrico, il metodo grafico e il metodo dell'angolo aggiunto.

 

Descriveremo in dettaglio ciascuna tecnica risolutiva proponendo opportuni esempi svolti. Nella pratica dipenderà da voi scegliere di volta in volta il metodo più conveniente e più confacente ai vostri gusti. :)

 
 
 

Definizione e risoluzione delle equazioni lineari in seno e coseno

 

Vi ricordate la lezione sui sistemi lineari? In quel frangente abbiamo fornito la definizione di equazione lineare a due incognite, vale a dire un'equazione nelle incognite x,y della forma

 

ax+by+c=0

 

dove l'aggettivo lineare si riferisce al fatto che la precedente equazione individua una retta nel piano cartesiano.

 

Le equazioni lineari in seno e coseno devono il proprio nome alla struttura che le contraddistingue:

 

a\sin(x)+b\cos(x)=c

 

dove a,b sono costanti diverse da zero (se una delle due fosse zero, avremmo una equazione goniometrica elementare). Pur essendo equazioni goniometriche in una sola incognita, la forma con cui si presentano ricorda molto quella delle classiche equazioni lineari a due incognite.

 

È superfluo ricordare (ma lo facciamo ugualmente ;) ) che per poter affrontare le equazioni goniometriche lineari è essenziale avere una buona dimestichezza con le definizioni e le proprietà di seno e coseno. Premesso ciò, esistono sostanzialmente tre metodi che consentono di determinare i valori dell'incognita x che soddisfano l'uguaglianza:

 

- equazioni lineari in seno e coseno con le formule parametriche;

 

- equazioni lineari in seno e coseno con il metodo del passaggio al sistema;

 

- equazioni lineari in seno e coseno con il metodo dell'angolo aggiunto.

 

I tre metodi comunque hanno un obiettivo comune, quello di ricondursi a una o più equazioni goniometriche elementari. :)

 

Equazioni lineari trigonometriche con formule parametriche

 

La prima tecnica che presentiamo è il metodo delle formule parametriche per le equazioni lineari in seno e coseno. Supponiamo di voler risolvere l'equazione 

 

a\sin(x)+b\cos(x)=c\ \ \ \mbox{con }a,b\neq 0 

 

Facciamo intervenire le formule parametriche per seno e coseno:

 

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)\implies \begin{matrix} \sin(x)=\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}\\ \\\cos(x)= \displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{matrix}

 

Prima di procedere con le sostituzioni dobbiamo tenere conto che tali formule sono soggette a condizioni di esistenza che restringerebbero l'insieme di esistenza delle soluzioni, e che d'altra parte l'equazione nella sua forma originaria non è soggetta ad alcuna CE. Poiché le CE che consentono di applicare le formule parametriche sono date da

 

\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\ \ \to\ \ x\neq \pi+2k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

dovremo verificare a mano se x=\pi è una soluzione dell'equazione lineare in seno e coseno. In caso negativo, procederemo senza indugi; in caso affermativo, appunteremo da parte le prime soluzioni dell'equazione estendendole per periodicità

 

x=\pi+2k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Sostituiamo le espressioni delle formule parametriche nell'equazione lineare in seno e coseno. Otteniamo un'equazione di secondo grado in t:

  

(b+c)t^2-2 a t -b+c=0

 

In base al discriminante associato avremo due soluzioni reali (distinte oppure coincidenti) oppure nessuna soluzione reale:

 

- se il discriminante associato è positivo, avremo due soluzioni

 

t=t_1 \ \vee \ t=t_2

 

e poiché t=\tan\left(\frac{x}{2}\right), effettuiamo la sostituzione inversa passando a equazioni goniometriche che siamo in grado di risolvere

 

\begin{matrix}t=t_1&\implies& \tan\left(\frac{x}{2}\right)=t_1\\ \\ t=t_2&\implies&\tan\left(\frac{x}{2}\right)= t_2\end{matrix} 

 

Alle soluzioni aggiungeremo, se necessario, quelle preventivamente determinate \left(x=\pi+2k\pi\right).

 

- Se il discriminante associato è nullo, avremo una soluzione

 

t=\overline{t}

 

da cui l'equazione goniometrica

 

\begin{matrix}t=\overline{t}&\implies& \tan\left(\frac{x}{2}\right)=\overline{t}

 

e, se necessario, aggiungeremo le soluzioni preventivamente determinate \left(x=\pi+2k\pi\right).

 

- Se il discriminante è negativo, l'equazione di secondo grado è impossibile. L'equazione lineare in seno e coseno è impossibile se nemmeno x=\pi+2k\pi sono soluzioni dell'equazione nella forma iniziale, in caso contrario esse saranno le uniche soluzioni.

 

Esempio di equazione lineare con le formule parametriche

 

Risolviamo l'equazione goniometrica lineare 

 

\sin(x)+\cos(x)=1

 

Stabiliamo se x=\pi è soluzione della equazione: 

 

\sin(\pi)+\cos(\pi)=0-1\neq 1 

 

pertanto x=\pi non è una soluzione dell'equazione lineare in seno e coseno. Utilizziamo le formule parametriche:

  

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)\implies \begin{matrix} \sin(x)=\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}\\ \\\cos(x)= \displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{matrix}

 

e riscriviamo l'equazione nella forma

 

\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}= 1

 

Vi facciamo notare che questa equazione non richiede alcuna CE, perché ogni denominatore è dato dalla somma tra una quantità positiva e un quadrato (che è per definizione non negativo), dunque i denominatori sono certamente positivi. Dopo aver calcolato il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

 

2t+1-t^2=1+t^2 

 

scriviamo l'equazione in forma canonica:

 

-2t^2+2t=0\ \ \ \to\ \ \ t= 0 \ \vee \ t=1

 

Associamo alle equazioni t=0 \ \vee \ t=1 le equazioni goniometriche elementari: 

 

t=0\ \ \to\ \ \tan\left(\frac{x}{2}\right)=0\ \ \to\ \ \frac{x}{2}=k\pi\ \ \to\ \ x=2k\pi \\ \\ \\ t=1\ \ \to\ \ \tan\left(\frac{x}{2}\right)=1\ \ \to\ \ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi\ \ \to\ \ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi 

 

In sintesi:

 

x=2k\pi\ \vee\ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Questo metodo ha il pregio di essere molto semplice, ma la mole di calcoli a volte può risultare noiosa e indurre in errore. Bisogna inoltre armarsi di pazienza e di memoria, perché dobbiamo tenere a mente le formule parametriche.

 

Metodo del passaggio al sistema per le equazioni lineari in seno e coseno

 

Un'ulteriore tecnica che ci viene in aiuto è il metodo del passaggio al sistema per le equazioni lineari in seno e coseno.

 

a\sin(x)+b\cos(x)=c 

 

Tale procedimento viene suggerito dal nome stesso, o meglio dalla struttura di tali equazioni; prevede di considerare due incognite ausiliarie e di porre:

 

\begin{cases}Y=\sin(x)\\ X=\cos(x)\end{cases}

  

cosicché l'equazione si traduce in

 

aY+bX=c

 

L'idea è quella di ricondurre l'equazione originaria a un sistema di equazioni nelle incognite X,Y. Per poter determinare X,Y ci serve un'altra condizione, così da avere un sistema in due equazioni in due incognite. Idea: sappiamo che c'è una formula che lega sempre e comunque il seno e il coseno, vale a dire la relazione fondamentale della trigonometria

 

\cos^2(x)+\sin^2(x)=1

 

che si traduce in

 

X^2+Y^2=1 

 

Ora siamo nella condizione di poter scrivere un sistema di due equazioni in due incognite

 

\begin{cases}a Y+b X=c\\ \\ X^2+Y^2=1\end{cases} 

 

Problema. Noi sappiamo risolvere i sistemi lineari di equazioni, ma quello che abbiamo appena scritto non è un sistema lineare! Possiamo comunque cavarcela in due modi.

 

1) Possiamo risolvere il sistema per sostituzione: useremo la prima equazione per esprimere una delle due incognite (ad esempio Y) in termini dell'altra e sostituire l'espressione ottenuta nella seconda equazione. Così facendo la seconda equazione si tramuterà in un'equazione di secondo grado in un'incognita (sulla base della scelta ipotizzata, X) e si potranno presentare tre casi.

 

- L'equazione ammette due soluzioni reali e distinte X_1,X_2. Sostituiamo i due valori nella prima equazione e otteniamo due soluzioni per l'altra incognita Y_1,Y_2. Il sistema ammette due coppie di soluzioni (X_1,Y_1),\ (X_2,Y_2).

 

Non ci resta che effettuare le sostituzioni inverse

 

\begin{cases}\sin(x)=Y_1\\ \cos(x)=X_1\end{cases}\ \ \vee\ \ \begin{cases}\sin(x)=Y_2\\ \cos(x)=X_2\end{cases}

 

e individuare da una parte i valori dell'incognita x che soddisfano le equazioni goniometriche elementari del primo sistema, dall'altro i valori di x che soddisfano le equazioni goniometriche elementari del secondo sistema. Le soluzioni dell'equazione goniometrica lineare sono date dall'unione di tali soluzioni (ricordatevi che il simbolo \vee ha il significato di oppure nella sua accezione inclusiva).

 

- L'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti \overline{X}. Sostituiamo il valore nella prima equazione e otteniamo una soluzione per l'altra incognita \overline{Y}. Il sistema ammette una coppia di soluzioni (\overline{X},\overline{Y}).

 

Effettuiamo le sostituzioni inverse

 

\begin{cases}\sin(x)=\overline{Y}\\ \cos(x)=\overline{X}\end{cases}

 

e determinare i valori dell'incognita x che soddisfano le equazioni goniometriche elementari del sistema. Esse saranno le soluzioni dell'equazione goniometrica lineare.

 

- L'equazione non ammette soluzioni reali. In tal caso nemmeno il sistema ammette soluzioni e possiamo concludere che l'equazione goniometrica è impossibile.

 

 

2) Una tecnica alternativa per risolvere il sistema in X,Y prevede di ricorrere al metodo grafico: risolvere il sistema equivale a determinare i punti di intersezione (X,Y) tra i luoghi geometrici associati alle due equazioni.

 

X^2+Y^2=1 rappresenta la circonferenza goniometrica, ovvero una circonferenza centrata nell'origine degli assi e con raggio 1

 

aX+bY=c è l'equazione di una retta.

 

Se vi ricordate come disegnare una retta nel piano cartesiano, e se vi ricordate quali sono le possibili posizioni di una retta rispetto a una circonferenza, non avrete difficoltà nell'applicazione del metodo grafico e intuirete subito che sono date tre possibilità.

 

- Retta e circonferenza si intersecano in due punti distinti (retta secante).

 

- Retta e circonferenza si intersecano in un unico punto (retta tangente).

 

- Retta e circonferenza non hanno punti di intersezione (retta esterna).

 

 

Equazioni lineari con metodo grafico

 

 

A titolo di esempio, supponiamo di trovarci nel primo caso e di aver determinato le soluzioni (X_1,Y_1) e (X_2, Y_2). A ciascuna coppia di soluzioni associamo il sistema di equazioni elementari in seno e coseno: 

 

\begin{cases}X=X_1\\ Y=Y_1\end{cases}\ \ \to\ \ \begin{cases}\cos(x)=X_1\\ \sin(x)= Y_1\end{cases}

 

Similmente per l'altra coppia:

 

\begin{cases}X=X_2\\ Y=Y_2\end{cases}\ \ \to\ \ \begin{cases}\cos(x)=X_2\\ \sin(x)= Y_2\end{cases}

 

Otterremo due sistemi di equazioni goniometriche elementari. Le soluzioni dell'equazione lineare in seno e coseno sono date dall'unione delle soluzioni dei due sistemi.

 

Nel caso di un solo punto di intersezione avremo a che fare con un unico sistema di equazioni goniometriche elementari; se infine non ci fossero punti di intersezione, concluderemo che l'equazione lineare in seno e coseno è impossibile.

 

 

Osservazione (equazioni lineari in seno e coseno come sistemi di equazioni)

 

Entrambi le tecniche di risoluzione del sistema sono piuttosto semplici e più che abbordabili. Per chi se lo stesse chiedendo, in una delle lezioni successive affronteremo il discorso sui sistemi di equazioni in un'ottica ben più generale. ;)

 

Esempio sul metodo del sistema e metodo grafico

 

Risolviamo la medesima equazione che abbiamo già trattato in precedenza:

 

\sin(x)+\cos(x)=1

 

Poniamo Y=\sin(x),\ X=\cos(x) e associamo all'equazione il sistema:

 

\begin{cases}Y+X=1\\ Y^2+X^2=1\end{cases}

 

Risolviamo il sistema per sostituzione:

 

\begin{cases}Y=1-X\\ (1-X)^2+X^2=1\ \ \to\ \ 1-2X+X^2+X^2=1\ \ \to\ \ 2X(X-1)=0\end{cases}

 

La seconda equazione ammette due soluzioni reali e distinte. Sostituiamole nella prima

 

\begin{cases}Y=1-X\ \ \to\ \ Y_1=1\ \vee\ Y_2=0\\ X_1=0\ \vee\ X_2=1\end{cases}

 

Otteniamo due coppie di soluzioni: (0,1),\ (1,0). Graficamente:

 

 

Metodo grafico per equazione lineare

 

 

Per la prima coppia di soluzioni:

 

\begin{cases}X=0\\ Y=1\end{cases}\ \ \to\ \ \begin{cases}\cos(x)=0\\ \sin(x)=1\end{cases}

 

Scriviamo le soluzioni delle rispettive equazioni e cerchiamo quelle comuni a entrambe

 

\begin{cases}\cos(x)=0\ \ \to\ \ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \vee\ x=\frac{3}{2}\pi+2k\pi \\ \\ \sin(x)=1\ \ \to\ \ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\end{cases}

 

dunque le soluzioni del primo sistema sono date da

 

x=\frac{\pi}{2}+ 2k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Per la seconda coppia di soluzioni: 

 

\begin{cases}X=1\\ Y=0\end{cases}\ \ \to\ \ \begin{cases}\cos(x)=1\\ \sin(x)=0\end{cases} 

 

Cerchiamo le soluzioni comuni a entrambe

 

\begin{cases}\cos(x)=1\ \ \to\ \ x=0+2k\pi\\ \\ \sin(x)=0\ \ \to\ \ x=0+2k\pi\ \vee\ x=\pi+2k\pi\end{cases}

 

Il secondo sistema d'equazioni goniometriche ha per soluzioni

 

x=2k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

In definitiva possiamo concludere che l'equazione lineare in seno e coseno ha come soluzioni:

 

x=2k\pi\ \vee\ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Metodo dell'angolo aggiunto (o dell'angolo ausiliario)

 

Il metodo dell'angolo ausiliario si basa essenzialmente sulle formule di addizione del seno. Esso permette di esprimere un'equazione goniometrica lineare come un'equazione goniometrica equivalente nel solo seno, quindi ci riconduciamo a una equazione elementare. Per riuscirci ci serviremo di un angolo che a volte viene chiamato angolo di fase, o angolo ausiliario.

 

Vediamo come funziona: vogliamo determinare le soluzioni dell'equazione: 

 

a\sin(x)+b\cos(x)=c

 

Dobbiamo determinare l'angolo ausiliario \alpha che risolve il sistema di equazioni elementari: 

 

\begin{cases}\sin(\alpha)=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \\ \cos(\alpha)=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}

 

Determinato l'angolo aggiunto, possiamo costruire l'equazione equivalente a quella di partenza

 

\sin(x+\alpha)= \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}

 

e siamo molto felici perché ci siamo ricondotti a una equazione elementare! :) 

 

Esempio sul metodo dell'angolo aggiunto

 

Consideriamo la solita equazione

 

\sin(x)+\cos(x)=1 

 

Impostiamo il sistema per determinare l'angolo aggiunto

 

\begin{cases}\sin(\alpha)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \cos(\alpha)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}

 

da cui si ricava, piuttosto facilmente, \alpha=\frac{\pi}{4}.

 

Costruiamo l'equazione nel seno: 

 

\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}

 

e risolviamola, ottenendo

 

x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \ \to\ \ x=2k\pi\\ \\ \\ x+\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi+2k\pi\ \ \to\ \ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

 

Pur ricorrendo a un metodo diverso, ancora una volta abbiamo determinato le medesime soluzioni

 

x=2k\pi\ \vee\ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

 

 


 

 

Tutte le equazioni lineari che si affrontano alle scuole superiori (e all'università) possono essere risolte con almeno uno dei metodi descritti in questa lezione, sta a voi scegliere quale! :) Per il resto vi invitiamo a fare un po' di allenamento con le schede correlate di esercizi svolti e proposti, e all'occorrenza di controllare i vostri risultati con il tool per risolvere le equazioni online. Per tutto il resto c'è la barra di ricerca interna! ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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