Regola di Cartesio

La regola di Cartesio permette di stabilire il segno delle soluzioni di un'equazione di secondo grado senza risolverla, mediante una specifica analisi del segno dei coefficienti. Il criterio di Cartesio permette inoltre di verificare se i segni delle soluzioni trovate sono corretti, nel caso avessimo già risolto l'equazione.

 

In questa lezione impareremo a utilizzare la regola di Cartesio applicandola dapprima a svariate equazioni di secondo grado, per poi passare alle equazioni di secondo grado parametriche.

 

Dedicheremo infine un paragrafo all'applicazione della regola di Cartesio per i polinomi di grado superiore a due, la cui lettura è riservata ai soli studenti di quinta superiore o universitari.

 

Come si applica la regola di Cartesio

 

Per cominciare enunciamo la regola di Cartesio. Consideriamo un'equazione di secondo grado:

 

ax^2+bx+c=0\ \ \ \mbox{con }a,b,c\in\mathbb{R},\ a\neq 0

 

e calcoliamone il discriminante

 

\Delta=b^2-4ac

 

Se il discriminante è maggiore o uguale zero, possiamo applicare la regola di Cartesio perché l'equazione ammette due soluzioni reali (distinte o coincidenti). In caso contrario, se il discriminante è negativo, l'equazione non ammette soluzioni reali ed è impossibile.

 

\Delta \geq 0

 

Studiamo in sequenza i segni di a,b,c:

 

- se a un segno segue lo stesso segno, si ha una permanenza;

 

- se a un segno segue il segno opposto si ha una variazione.

 

La regola di Cartesio stabilisce che:

 

- a una permanenza corrisponde una soluzione negativa;

 

- a una variazione corrisponde una soluzione positiva.

 

Inoltre, se siamo in presenza di una permanenza e di una variazione, e quindi a due soluzioni discordi (segno opposto):

 

- se la permanenza precede la variazione, la soluzione negativa sarà maggiore (in valore assoluto) rispetto a quella positiva;

 

- viceversa, se la variazione precede la permanenza, la soluzione positiva sarà maggiore rispetto alla radice negativa (in valore assoluto).

 

Esempi di applicazione della regola di Cartesio

 

Per quanto il criterio possa sembrare astratto e inutile, abbiate fiducia: avrete modo di apprezzarne l'utilità nel prosieguo dei vostri studi. ;) Vediamo subito alcuni esempi sulla regola di Cartesio in modo da fissare le idee.

 

 

Esempio 1

 

-x^2 - 5x + 6 = 0

 

Calcoliamo il delta dell'equazione:

 

\Delta=b^2-4ac=(-5)^2- [4 \cdot (-1) \cdot 6] = 25+24=49>0

 

Essendo il discriminante positivo, possiamo applicare la regola di Cartesio. Consideriamo i segni dei coefficienti:

 

a=-1 \ \mbox{negativo}\ \ \ ;\ \ \ b=-5 \ \mbox{negativo}\ \ \ ;\ \ \ c=6 \ \mbox{positivo}

 

Sulla prima coppia si passa dal segno (-) al segno (-) e dunque abbiamo una permanenza; sulla seconda coppia di passa dal segno (-) al segno (+), per cui abbiamo una variazione.

 

Essendo di fronte a una permanenza e a una variazione ci dobbiamo aspettare una soluzione negativa e una positiva; inoltre, poiché la permanenza precede la variazione, la soluzione maggiore in valore assoluto sarà quella negativa. Verifichiamolo: calcoliamo le soluzioni con la formula del discriminante

 

\\ x_1=\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-b - \sqrt{49}}{2a}=\frac{5-7}{-2}=\frac{-2}{-2}=1\\ \\ \\ x_2=\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-b + \sqrt{49}}{2a}=\frac{5+7}{-2}=\frac{12}{-2}=-6

 

Tutto ok: abbiamo una soluzione negativa ed una positiva, col valore assoluto della soluzione negativa maggiore del valore assoluto della soluzione positiva

 

|-6|=6>1

 

 

Esempio 2

 

x^2 + 3x + 2 = 0

 

Abbiamo capito che per iniziare dobbiamo calcolare il discriminante dell'equazione di secondo grado

 

\Delta=b^2-4ac=(3)^2- [4 \cdot 1 \cdot 2] = 9-8=1 \textgreater 0

 

Anche in questo caso possiamo applicare la regola di Cartesio. Abbiamo due permanenze, infatti i segni dei coefficienti sono tutti positivi:

 

a=1 \ \mbox{positivo}\ \ \ ;\ \ \ b=3 \ \mbox{positivo}\ \ \ ;\ \ \ c=2 \ \mbox{positivo}

 

Avendo due permanenze ci aspettiamo quindi due soluzioni negative. Provate a verificarlo. ;)

 

 

Esempio 3

 

x^2 - 4x + 4 = 0

 

Calcoliamo il Delta:

 

\Delta=b^2-4ac=(-4)^2- [4 \cdot 1 \cdot 4] = 16-16 = 0

 

A titolo di cronaca vi facciamo notare che, volendo, avremmo potuto applicare la formula del delta quarti.

 

Poiché il discriminante è nullo sappiamo già che l'equazione di secondo grado ammette due radici reali e coincidenti. Per la regola di Cartesio esse avranno segno positivo poiché siamo in presenza di due variazioni:

 

a=2 \ \mbox{positivo}\ \ \ ;\ \ \ b=-4 \ \mbox{negativo}\ \ \ ;\ \ \ c=4 \ \mbox{positivo}

 

Regola di Cartesio nelle equazioni parametriche

 

La prima applicazione pratica della regola di Cartesio riguarda lo studio del segno delle soluzioni di un'equazione di secondo grado parametrica. Il principio è sempre lo stesso, partiamo quindi subito con un esempio.

 

Proponiamoci di determinare il segno delle soluzioni dell'equazione parametrica:

 

(k + 1)x^2 + 2kx + (k-2) = 0

 

al variare del parametro reale k.

 

Determiniamo il discriminante con la formula del delta quarti

 

\frac{\Delta}{4} = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac = k^2 - (k+1)(k-2)=k+2

 

Vediamo ora per quali valori di k il discriminante è maggiore o uguale a zero:

 

\frac{\Delta}{4} \geq 0 \ \iff \ k+2 \geq 0 \ \iff \ k \geq -2

 

Possiamo quindi già concludere che per k<-2 l'equazione non ha radici reali. Ci limitiamo a studiare il segno dei coefficienti a,\ b,\ c per k\geq -2, con particolare riguardo alle permanenze e alle variazioni di segno.

 

\\ a \geq 0 \ \iff \ k+1 \geq 0 \ \iff \ k \geq -1\\ \\ b \geq 0 \ \iff \ 2k \geq 0 \ \iff \ k \geq 0\\ \\ c \geq 0 \ \iff \ k-2 \geq 0 \ \iff \ k \geq 2

 

Rappresentiamo il tutto su una semiretta orientata:

 

 

Regola di Cartesio nelle equazioni parametriche

 

 

Come potete notare il grafico dei segni ci permette di studiare con estrema facilità i segni dei coefficienti e le relative permanenze e variazioni al variare del parametro k. È sufficiente leggerlo verticalmente.

 

\bullet\ k=-2: \ \Delta=0

 

Abbiamo due radici reali e coincidenti di segno negativo, in quanto vi sono due permanenze (a,b,c sono tutti negativi).

 

\bullet \ -2 < k < -1

 

Due radici reali e distinte di segno negativo. I coefficienti di a,b,c sono infatti tutti negativi e siamo di fronte a due permanenze.

 

\bullet \ k=-1: \  a=0

 

Ricadiamo allora in un'equazione di primo grado che avrà un'unica soluzione di segno negativo, in quanto tra b,c vi è una permanenza di segno.

 

\bullet \ -1 < k < -0

 

Una variazione (a,b) e una permanenza (b,c). Avremo così una radice positiva ed una negativa.

 

\bullet \ k=0: \ b=0

 

In tale eventualità l'equazione si riduce ad un'equazione pura con due radici reali (ricordate che siamo sempre nel cado delta positivo) ed opposte.

 

\bullet \ 0 < k < 2

 

Qui abbiamo una permanenza (a,b) e una variazione (b,c); avremo allora una radice negativa e una positiva.

 

\bullet \ k=2: \ c=0

 

Ricadiamo in un'equazione spuria che avrà una soluzione uguale a zero e l'altra negativa, perché tra a,b c'è una permanenza.

 

\bullet \ k > 2

 

Due radici negative, infatti siamo in presenza di due permanenze.

 

 

Nota bene: i ragazzi della scuola superiore possono fermarsi qui con la lettura; gli studenti universitari ed i curiosi possono addentrarsi nello studio del seguente paragrafo.

 

Regola di Cartesio per polinomi di grado superiore a due

 

Nel caso di polinomi a coefficienti reali di grado maggiore di 2 la regola di Cartesio permette di stabilire solo il numero massimo di radici reali positive e negative, senza riuscire a fornirne il numero esatto.

 

L'enunciato generale della regola di Cartesio è il seguente:

 

- il massimo numero di radici reali positive di un polinomio p(x) a coefficienti reali è dato dal numero di variazioni di segno tra coefficienti consecutivi, trascurando eventuali coefficienti nulli;

 

- il massimo numero di radici reali negative di un polinomio p(x) a coefficienti reali è dato dal numero di variazioni di segno tra coefficienti consecutivi del polinomio p(-x), trascurando eventuali coefficienti nulli.

 

Inoltre il numero effettivo di radici positive o negative può essere diminuito, rispetto al massimo, solo di un numero pari.

 

 

Esempio di applicazione della regola di Cartesio a polinomi di grado superiore a due

 

p(x)=x^6-5x^3+2x^2+3

 

Tale polinomio presenta due variazioni di segno tra coefficienti consecutivi, pertanto possiamo affermare che avrà al massimo 2 radici reali positive. Inoltre il polinomio p(-x) ottenuto da p(x) sostituendo x con (-x) è

 

p(-x)=(-x)^6-5(-x)^3+2(-x)^2+3=x^6+5x^3+2x^2+3

 

che non presenta alcuna variazione di segno tra coefficienti consecutivi. Pertanto il polinomio p(x) non ha radici reali negative.

 

Per la regola di Cartesio (ricordando che il numero massimo di radici può essere diminuito di un numero pari) possiamo concludere che il polinomio p(x) avrà zero o due radici reali positive e nessuna radice reale negativa.

 

Caso particolare: regola di Cartesio per polinomi di grado superiore a due aventi tutte le radici reali

 

Se siamo di fronte ad un polinomio a coefficienti reali di grado n > 2 e sappiamo a priori che esso ha tutte e sole radici reali, la regola di Cartesio ci permette di stabilire con esattezza il numero delle radici positive, nulle e negative del polinomio.

 

Vediamo come procedere, non prima però di aver ribadito che il procedimento vale a patto di sapere a priori che il polinomio assegnato ha tutte e sole radici reali. Sia

 

p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0\ \ \ \mbox{con }a_0 \neq 0

 

un polinomio di grado n>2 a coefficienti reali avente n radici reali.

 

Se uno o più coefficienti tra gli a_i fossero nulli, metteremo al loro posto uno zero e li considereremo positivi.

 

A ogni variazione di segno tra un coefficiente e il successivo corrisponde una soluzione positiva, ad ogni permanenza una soluzione negativa.

 

Nel caso a_0=0 potremo raccogliere a fattor comune un certo x^q con 1 \le q \le n, quindi il polinomio p(x) si potrà scrivere nella forma

 

p(x)=x^q (\mbox{polinomio di grado n-q})

 

Sarà quindi immediato osservare che tale polinomio ha x=0 come radice di molteplicità q, mentre per conoscere il segno delle restanti n-q soluzioni reali di p(x) conteremo il numero di permanenze e variazioni del polinomio di grado n-q che risulta dal raccoglimento totale di x^q.

 

 


 

A partire dalla lezione successiva inizieremo a occuparci delle equazioni di grado superiore al secondo. Per consultare problemi ed esercizi svolti con la regola di Cartesio potete usare la barra di ricerca interna, ed eventualmente usare il tool per risolvere le equazioni online in modo da controllare l'esattezza dei vostri svolgimenti. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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