Come risolvere le equazioni di primo grado

Il metodo di risoluzione delle equazioni di primo grado prevede di applicare i principi di equivalenza delle equazioni in modo da isolare l'incognita x a sinistra dell'uguale e un termine numerico a destra, che equivarrà all'unica soluzione. In caso contrario, un'equazione di primo grado si riduce a un'equazione senza incognite che può essere indeterminata o impossibile.

 

Nella precedente lezione abbiamo spiegato cosa sono le equazioni di primo grado, da quali proprietà sono caratterizzate e come fare per riconoscerle. Abbiamo inoltre visto una piccola anticipazione sul metodo che permette di risolverle, applicandolo in un semplice esempio.

 

Ora entriamo nel dettaglio del metodo risolutivo: vedremo quante soluzioni può avere un'equazione di primo grado, ne definiremo la forma normale e mostreremo come applicare i principi di equivalenza per ridurre le equazioni di primo grado alla forma normale o a un'equazione senza incognite. Infine, vi proporremo alcuni esercizi svolti e il metodo per la verifica delle soluzioni.

 

Nota: chi fosse interessato alla risoluzione delle disequazioni di primo grado può leggere la lezione dell'omonimo link.

 
 
 
 

Numero di soluzioni di un'equazione di primo grado

 

Per poter comprendere il metodo per risolvere le equazioni di primo grado è fondamentale sapere a cosa si può andare incontro. Tradotto: quante soluzioni può avere un'equazione di primo grado?

 

Ricordiamoci sempre dell'insieme di esistenza delle soluzioni, che è l'insieme numerico di tutti i possibili valori che può assumere l'incognita x e all'interno del quale dobbiamo cercare le eventuali soluzioni. A meno che non sia diversamente indicato, considereremo come insieme di esistenza delle soluzioni \mathbb{R}, vale a dire l'insieme dei numeri reali (tutti i possibili numeri decimali).

 

Ci sono tre possibilità:

 

1) una e una sola soluzione, ossia uno e un solo numero che, sostituito al posto dell'incognita x, rende vera l'uguaglianza (verifica l'equazione). In questo caso diremo che l'equazione di primo grado è determinata e indicheremo la soluzione esplicitamente, oppure indicheremo l'insieme soluzione per elencazione

 

x=\mbox{valore}\ \ \ \mbox{oppure}\ \ \ S=\{\mbox{valore}\}

 

2) Infinite soluzioni. L'equazione è verificata per qualsiasi valore, ossia sostituendo qualsiasi valore al posto dell'incognita x avremo sempre e comunque un'uguaglianza vera. In tal caso si dice che l'equazione di primo grado è indeterminata e scriveremo

 

\forall x\in\mathbb{R}\ \ \ \mbox{oppure}\ \ \ S=\mathbb{R}

 

I simboli matematici \forall,\ \in significano rispettivamente per ogni e appartenente.

 

3) Nessuna soluzione. Non esiste alcun valore che, sostituito al posto dell'incognita x, rende vera l'uguaglianza. In altri termini l'equazione non è verificata per alcun valore dell'incognita, e diremo che l'equazione di primo grado è impossibile e scriveremo

 

\not\exists x\in\mathbb{R}\ \ \ \mbox{oppure}\ \ \ S=\emptyset

 

dove i simboli \not\exists,\ \emptyset significano rispettivamente non esisteinsieme vuoto.

 

Come si risolvono le equazioni di primo grado

 

Tutto ruota intorno ai principi di equivalenza delle equazioni, che abbiamo già studiato in termini generali e che riscriviamo in una forma semplificata per le equazioni di primo grado

 

[Primo principio di equivalenza] possiamo sommare o sottrarre una stessa quantità numerica o letterale in cui compare x, a sinistra e a destra dell'uguale, e ottenere un'equazione equivalente.

 

[Secondo principio di equivalenza] possiamo moltiplicare o dividere per una stessa quantità numerica a sinistra e a destra dell'uguale e ottenere un'equazione equivalente.

 

I due principi di equivalenza ci permetteranno di procedere per passaggi successivi in modo da semplificare le espressioni algebriche presenti nell'equazione di primo grado fino ad isolare la x a sinistra dell'uguale e la soluzione numerica a destra. Il procedimento funziona grazie ai due principi: se ci limitiamo a svolgere solamente operazioni consentite, ad ogni passaggio otterremo un'equazione equivalente alla precedente, ossia un'equazione che presenta le medesime soluzioni.

 

 

Esempio (risoluzione di un'equazione di primo grado)

 

Risolviamo l'equazione

 

x+5=7-x

 

Svolgimento: vogliamo manipolare l'equazione in modo da avere la sola x a sinistra e un valore numerico a destra. Sfruttiamo il primo principio in modo da cancellare il +5 a sinistra: in altri termini, usiamo il primo principio di equivalenza come principio di cancellazione, e sottraiamo a entrambi i membri 5

 

x+5\overbrace{-5}^{}=7-x\overbrace{-5}^{}

 

Ricaviamo

 

x=7-x-5

 

e quindi, dalle solite regole del calcolo letterale e delle operazioni tra monomi

 

x=2-x

 

Facciamo lo stesso con il termine -x a destra dell'uguale: vogliamo eliminarlo, dunque sommiamo x a entrambi i membri

 

x\overbrace{+x}^{}=2-x\overbrace{+x}^{}

 

da cui

 

2x=2

 

Un ultimo passaggio: usiamo il secondo principio per eliminare il coefficiente 2 a sinistra dell'uguale. Dividiamo entrambi i membri per 2

 

\frac{2x}{\underbrace{2}^{}}=\frac{2}{\underbrace{2}^{}}

 

e ricaviamo la soluzione dell'equazione

 

x=1

 

Se sostituiamo tale valore al posto dell'incognita nella forma iniziale dell'equazione, abbiamo una conferma sul risultato

 

\overbrace{x}^{1}+5=7-\overbrace{x}^{1}\ \ \ \to\ \ \ 1+5=7-1\ \ \ \to\ \ \ 6=6\ \mbox{vero}!

 

Forma normale delle equazioni di primo grado e possibili riduzioni

 

I due principi di equivalenza ci permettono di effettuare cancellazioni grazie a cui è possibile risolvere le equazioni di primo grado. Niente di difficile, davvero. Oltretutto le possibilità negli esercizi non sono infinite, perché sappiamo che ci sono solamente tre possibilità: una e una sola soluzione (equazione determinata), infinite soluzioni (equazione indeterminata), nessuna soluzione (equazione impossibile).

 

Esiste in particolare uno schema pratico che ci permette di trarre le giuste conclusioni quando risolviamo un'equazione di primo grado. Dopo aver fatto i calcoli alla ricerca della soluzione, possiamo trovarci di fronte a tre casi.

 

1) Otteniamo la cosiddetta forma normale delle equazioni di primo grado. Indicando con a,b due numeri, la forma normale è data da

 

ax=b\ \ \ \mbox{con }a\neq 0

 

dove il coefficiente a è diverso da zero ed è detto coefficiente del termine di primo grado, mentre il termine b è detto termine noto. In questo caso l'equazione è determinata e ammette come unica soluzione

 

x=\frac{b}{a}

 

2) Facendo i conti nel tentativo di isolare la x a sinistra dell'uguale, ci ritroviamo in una situazione strana: l'incognita scompare! Ricadiamo cioè in un'equazione senza incognita, In cui abbiamo un numero a sinistra e un numero a destra. Niente paura!

 

2.A) Se l'equazione senza incognita della forma

 

\mbox{numero}=\mbox{stesso numero} 

 

allora l'equazione di primo grado si riduce a un'identità, il che significa che è verificata per qualsiasi valore dell'incognita x. In tal caso l'equazione è indeterminata e scriveremo che è risolta per ogni x nell'insieme di esistenza delle soluzioni

 

\forall x \in\mathbb{R}

 

2.B) Se l'equazione senza incognita è del tipo

 

\mbox{numero}=\mbox{numero diverso} 

 

allora l'equazione di primo grado è impossibile, perché a prescindere dai valori che può assumere l'incognita x si traduce sempre in un'uguaglianza falsa.

 

Esempi sulle equazioni di primo grado

 

Vediamo un esempio per ciascuno dei tre possibili casi, in cui procediamo applicando i principi di equivalenza alla ricerca dell'insieme soluzione. Non ci dilunghiamo troppo nella spiegazione dei passaggi, perché tanto il procedimento è sempre lo stesso e ci interessa piuttosto fornirvi una panoramica delle possibilità pratiche.

 

Vi assicuriamo comunque che nelle nostre schede di esercizi svolti sulle equazioni di primo grado potete leggere esempi dettagliati in ogni singolo passaggio e di ogni livello di difficoltà. ;)

 

 

1) \frac{x}{2}+\frac{2}{3}=x-1

 

 

\frac{x}{2}+\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=x-1-\frac{2}{3}\\ \\ \\ \frac{x}{2}=x-1-\frac{2}{3}\\ \\ \\ \frac{x}{2}=x+\frac{-3-2}{3}\\ \\ \\ \frac{x}{2}=x-\frac{5}{3}\\ \\ \\ \frac{1}{2}x-x=x-\frac{5}{3}-x\\ \\ \\ \frac{1-2}{2}x=-\frac{5}{3}\\ \\ \\ -\frac{1}{2}x=-\frac{5}{3}\\ \\ \\ (-2)\cdot \left(-\frac{1}{2}x\right)=(-2)\cdot \left(-\frac{5}{3}\right)\\ \\ \\ x=\frac{10}{3}\ \ \ \leftarrow\mbox{equazione determinata, unica soluzione}

 

 

2) 4-5x=-5x+4

 

 

4-5x-4=-5x+4-4\\ \\ -5x=-5x\\ \\ -5x+5x=-5x+5x\\ \\ 0=0\ \ \ \leftarrow\mbox{equazione indeterminata, infinite soluzioni}

 

 

3) \frac{x+5}{4}=\frac{x}{4}

 

 

\frac{x+5}{4}\cdot 4=\frac{x}{4}\cdot 4\\ \\ x+5=x\\ \\ x+5-5=x-5\\ \\ x=x-5\\ \\ x-x=x-5-x\\ \\ 0=-5\ \ \ \leftarrow\mbox{equazione impossibile, nessuna soluzione}

 

Verifica della soluzione di un'equazione di primo grado

 

Dopo aver risolto un esercizio e aver concluso che l'equazione proposta è determinata, e che dunque ammette una e una sola soluzione, possiamo fare una semplice verifica del risultato e sostituire il valore ottenuto al posto dell'incognita, nella forma iniziale dell'equazione di primo grado.

 

Riprendiamo l'esempio 1) e verifichiamone il risultato:

 

\frac{\overbrace{x}^{\frac{10}{3}}}{2}+\frac{2}{3}=\overbrace{x}^{\frac{10}{3}}-1

 

ossia

 

\frac{\frac{10}{3}}{2}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}-1

 

Al primo membro applichiamo la regola per le frazioni di frazioni e facciamo i calcoli

 

\frac{10}{3\cdot 2}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}-1\\ \\ \\ \frac{10}{6}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}-1

 

Via con i minimi comuni denominatori

 

\frac{10+2\cdot 2}{6}=\frac{10-3}{3}\\ \\ \\ \frac{14}{6}=\frac{7}{3}

 

Se semplifichiamo la frazione a sinistra, ricaviamo

 

\frac{7}{3}=\frac{7}{3}

 

ossia un'uguaglianza vera. x=\frac{10}{3} è effettivamente soluzione per l'equazione.

 

Attenzione: questo metodo di verifica ci dice con certezza se la soluzione individuata è corretta oppure no, ma non esclude in generale che esistano altre soluzioni. Potremmo infatti aver concluso erroneamente che l'equazione ammette una sola soluzione, mentre in realtà l'equazione potrebbe essere indeterminata.

 

Come avrete intuito, purtroppo l'unica cosa da fare per essere certi di non commettere errori è... Non commetterne nello svolgimento. :P

 

Portare a sinistra o a destra nelle equazioni di primo grado

 

Dopo che avrete fatto una manciata di esercizi vi renderete conto che esiste un altro metodo per applicare i principi di equivalenza, del tutto analogo a quello che già conosciamo ma ben più immediato.

 

Immaginiamo di dover risolvere la seguente equazione:

 

x+2=3x+4

 

Come procederemmo? Applicheremmo il primo principio di equivalenza e cancelleremmo i termini in modo da isolare la x a sinistra e un numero a destra

 

x+2-2=3x+4-2\\ \\ x=3x+2\\ \\ x-3x=3x+2-3x\\ \\ -2x=+2

 

A questo punto applicheremmo il secondo principio di equivalenza e divideremmo entrambi i membri per -2

 

\frac{-2x}{-2}=\frac{2}{-2}\ \ \ \to\ \ \ x=-1

 

Dopo aver fatto una vagonata di esercizi, vi renderete conto che il principio di cancellazione per somma o sottrazione e il principio di cancellazione per moltiplicazione o divisione avvengono in due passaggi. Non solo: con l'abitudine vi sarà chiaro che è possibile ridurre entrambi i principi ad un unico passaggio.

 

• Cancellazione per somma o sottrazione equivale a portare dall'altra parte cambiando di segno

 

• Cancellazione per moltiplicazione o divisione equivale a portare dall'altra parte reciprocamente

 

dove reciprocamente è da intendersi come: ciò che era a denominatore andrà a numeratore; ciò che era a numeratore, andrà a denominatore.

 

Riguardando il precedente esempio sarà tutto più chiaro:

 

x+2=3x+4

 

Vogliamo isolare la x a sinistra dell'uguale: portiamo i numeri da sinistra a destra cambiandoli di segno. Al posto di cancellare in due passaggi, spostiamo in uno

 

x=3x+4-2

 

Vogliamo isolare un numero a destra dell'uguale: portiamo i termini con l'incognita da destra a sinistra cambiandoli di segno. Al posto di cancellare in due passaggi, spostiamo in uno

 

x-3x=+4-2

 

Un semplice calcolo

 

-2x=2

 

Infine, vogliamo sbarazzarci del coefficiente della x: portiamo il coefficiente da sinistra sotto, a destra (al denominatore). Al posto di cancellare in due passaggi, spostiamo in uno

 

x=\frac{2}{-2}\ \ \ \to\ \ \ x=-1

 

 


 

Un consiglio: aiutatevi con gli esercizi svolti! Fate pratica e allenamento e la logica di risoluzione delle equazioni di primo grado vi apparirà per quello che è... Facilissima! ;)

 

Nelle lezioni successive studieremo i problemi con le equazioni, le equazioni fratte di primo grado e, più avanti, le equazioni parametriche di primo grado. Non perdetevi le schede correlate di esercizi risolti e sappiate che, in caso di necessità, qui su YM c'è un comodo tool che permette di risolvere le equazioni di primo grado online. Per tutto il resto c'è la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Totsiens, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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