Equazioni parametriche di secondo grado

Le equazioni parametriche di secondo grado, dette anche equazioni letterali di grado 2, sono equazioni di secondo grado in cui oltre all'incognita sono presenti uno o più parametri. Assegnando uno specifico valore a ogni parametro si può ottenere un'equazione di grado 2, di grado 1 o senza incognite.

 

In questa lunga lezione spiegheremo il metodo per discutere, analizzare e risolvere le equazioni letterali di secondo grado. Nella prima parte ci soffermeremo sul procedimento per la discussione generale, mettendo in evidenza l'ordine delle operazioni da effettuare e il loro significato algebrico, proponendo tra l'altro alcuni esempi svolti.

 

Nella seconda parte vi proporremo una scaletta, del tutto facoltativa, per la risoluzione degli esercizi e dei problemi sulle equazioni parametriche di secondo grado con le richieste più ricorrenti. ;)

 
 
 

Introduzione alle equazioni parametriche di secondo grado

 

Se avete già letto la lezione sulle equazioni parametriche di primo grado saprete già qual è la differenza tra incognita e parametro, e avrete un'idea su come si effettua la discussione di un'equazione parametrica. Il procedimento si basa sulla regola secondo cui i parametri hanno la precedenza sulle incognite: bisogna analizzare il modo con cui i parametri alterano la tipologia di equazione, e di conseguenza il suo insieme delle soluzioni.

 

Tutta la logica di discussione dei parametri che abbiamo fatto per le equazioni letterali di primo grado continua a valere anche per le equazioni parametriche di secondo grado; l'unica differenza è che qui le cose si complicano leggermente. Poiché le equazioni di secondo grado sono più elaborate rispetto alle equazioni di primo grado, i possibili casi aumentano notevolmente in numero. Per rendere l'idea, assegnando un valore specifico a un parametro l'equazione potrebbe avere grado 2; assegnandone un altro, potrebbe tradursi in un grado 1; con un ulteriore valore del parametro, essa potrebbe addirittura ridursi a un'equazione senza incognite.

 

Com'è facilmente intuibile lo scopo di questi esercizi non è quello di imparare un metodo che funzioni in ogni possibile caso, perché i casi sono infiniti. L'obiettivo è piuttosto quello di imparare a ragionare correttamente in modo da poter gestire ogni possibile caso con il puro ragionamento. Così facendo si acquisisce un metodo logico che permette di analizzare e risolvere qualsiasi equazione parametrica, non solo di secondo grado.

 

Per tutti questi motivi, in questa lezione adotteremo un approccio nuovo. Vi proporremo infatti uno schema che ricopre le principali casistiche proposte negli esercizi, in modo da:

 

- darvi una panoramica che vi permetta di comprendere la logica delle equazioni parametriche di secondo grado;

 

- fornirvi un metodo pratico per la risoluzione degli esercizi sulle equazioni parametriche di secondo grado.

 

Per non appesantire troppo la spiegazione eviteremo il caso delle equazioni fratte di secondo grado, che è piuttosto irrilevante dal punto di vista didattico.

 

Come discutere e risolvere le equazioni parametriche di secondo grado

 

La risoluzione delle equazioni di secondo grado non presenta difficoltà, essendo legata alla famosissima formula che prevede il calcolo del discriminante (Delta). Se però abbiamo a che fare con un'equazione letterale di secondo grado, sono necessarie discussioni preliminari per capire come viene modificata l'equazione al variare dei possibili valori del parametro.

 

Ricordiamo la forma normale delle equazioni di secondo grado:

 

ax^2 + bx + c = 0

 

Nel caso delle equazioni parametriche di secondo grado la forma normale non cambia, solo che i coefficienti a,b,c possono dipendere da uno o più parametri reali.

 

L'analisi e la discussione prevedono di ragionare per casi e per esclusione, e di seguire un ordine preciso.

 

0) Analizziamo il coefficiente a del termine di secondo grado. Se è parametrico passiamo al punto 1), se non è parametrico passiamo al punto 2).

 

1)  Se il coefficiente a è parametrico, ne studiamo l'annullamento. Imponiamo

 

a=0

 

- Se il coefficiente del termine di secondo grado è nullo, l'equazione si abbassa di grado. Di conseguenza i valori del parametro per cui risulta a=0 abbassano il grado dell'equazione e, per quei valori del parametro, analizziamo a parte l'equazione ridotta.

 

- Se il coefficiente del termine di secondo grado non è nullo, l'equazione preserva il grado 2. Individuiamo quindi i valori del parametro per cui risulta a\neq 0 e passiamo al punto 2).

 

2) Studiamo la realtà delle soluzioni e per farlo analizziamo il segno del discriminante al variare del parametro. Nella pratica consideriamo la disequazione

 

\Delta\geq 0

 

- Se il delta è positivo, allora l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte. I valori del parametro per cui risulta \Delta>0 garantiscono che l'equazione abbia due soluzioni reali diverse tra loro.

 

- Se il delta è nullo, allora l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti. I valori del parametro per cui \Delta=0 fanno sì che ci sia una e una sola soluzione.

 

- Se il delta è negativo, allora l'equazione non ammette soluzioni reali ed è impossibile. I valori del parametro per cui \Delta<0 rendono l'equazione impossibile.

 

3) Solo dopo aver effettuato le precedenti verifiche è possibile risolvere l'equazione con l'usuale formula risolutiva e gli eventuali quesiti proposti dalle tracce degli esercizi.

 

Esempi sulle equazioni parametriche di secondo grado

 

Vediamo di comprendere meglio la teoria attraverso alcuni esempi svolti di equazioni letterali di secondo grado.

 

 

Esempio 1

 

Discutere e risolvere la seguente equazione parametrica di secondo grado

 

x^2+(k-1)x+1=0

 

Svolgimento: analizziamo i coefficienti

 

\overbrace{1}^{a}x^2+\overbrace{(k-1)}^{b}x+\overbrace{1}^{c}=0

 

Poichè il coefficiente del termine di secondo grado non è parametrico, abbiamo a che fare con un'equazione di secondo grado per qualsiasi valore del parametro k. Possiamo passare subito allo studio del segno del delta considerando la disequazione

 

\Delta \geq 0\\ \\ b^2-4ac\geq 0\\ \\ (k-1)^2-4\cdot 1\cdot 1\geq 0

 

Lo studio si traduce in una disequazione di secondo grado in k. Scriviamola in forma normale sviluppando dapprima il quadrato del binomio

 

k^2-2k+1-4\geq 0\\ \\ k^2-2k-3\geq 0

 

Consideriamo l'equazione di secondo grado associata e risolviamola

 

k^2-2k-3= 0\\ \\ k_{1,2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\begin{cases}\frac{2-4}{2}=-1\\ \\ \frac{2+4}{2}=3\end{cases}

 

Da qui ricaviamo velocemente le soluzioni della disequazione:

 

k\leq -1\ \vee\ k\geq 3

 

dove il simbolo matematico \vee ha il significato inclusivo di oppure. Di conseguenza:

 

- per k<-1\ \vee\ k>3 l'equazione parametrica di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte, che possiamo calcolare con l'usuale formula del delta. Notate tra l'altro che abbiamo già calcolato il discriminante:

 

x^2+(k-1)x+1=0\\ \\ x_{1,2}=\frac{-(k-1)\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot 1}=\frac{1-k\pm\sqrt{k^2-2k-3}}{2}

 

- Per k=-1\ \vee\ k=3 l'equazione letterale di secondo grado ammette due soluzioni reali e coincidenti, il cui calcolo è immediato perché sappiamo che \Delta=0

 

[k=-1]\ \ x^2+(k-1)x+1=0\\ \\ x^2-2k+1=0\\ \\ x_{1,2}=\frac{-(-2)\pm\sqrt{0}}{2\cdot 1}=1\\ \\ \\ \quad [k=3]\ \ x^2+(k-1)x+1=0\\ \\ \ \ \ \ \ x^2+2k+1=0\\ \\ \ \ \ \ \ x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{0}}{2\cdot 1}=-1

 

- Per -1<k<3 l'equazione parametrica di secondo grado è impossibile. Non ammette soluzioni reali.

 

 

Esempio 2

 

Discutere e risolvere la seguente equazione letterale di secondo grado, dove k è un parametro reale.

 

k(k+1)x^2+x-k(k-1)=0

 

Svolgimento: individuiamo i coefficienti

 

\overbrace{k(k+1)}^{a}x^2+\overbrace{1}^{b}x+\overbrace{[-k(k-1)]}^{c}=0

 

Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è parametrico, ne studiamo l'annullamento

 

k(k + 1) = 0

 

Applicando la legge di annullamento del prodotto otteniamo i valori del parametro per cui esso si annulla:

 

k=0\ \vee\ k=- 1

 

Per tali valori di k l'equazione si abbassa di grado, divenendo un'equazione parametrica di primo grado:

 

[k=0]\ \ k(k+1)x^2+x-k(k-1)=0\\ \\ x=0\\ \\ \quad [k=-1]\ \ k(k+1)x^2+x-k(k-1)=0\\ \\ x-2=0 \ \to\ x=2

 

Consideriamo i valori del parametro per cui l'equazione letterale preserva il grado 2

 

k \neq 0\ \wedge\ k \neq - 1

 

dove il simbolo \wedge ha il significato di e. Studiamo il segno del discriminante in modo da analizzare la realtà delle soluzioni

 

\overbrace{k(k+1)}^{a}x^2+\overbrace{1}^{b}x+\overbrace{[-k(k-1)]}^{c}=0\\ \\ \Delta\geq 0\\ \\ b^2 - 4ac \geq 0\\ \\ 1 - 4\cdot k(k+1)\cdot [-k(k-1)]\geq 0

 

Con semplici calcoli ci riduciamo a

 

4k^4 - 4k^2 + 1\geq 0

 

che possiamo riscrivere, grazie alla regola per il quadrato di binomio, nella forma

 

(2k^2 - 1)^2 \geq 0

 

Da qui si vede che la disequazione di secondo grado è verificata per ogni k reale, infatti una quantità elevata al quadrato è necessariamente positiva o nulla (\geq 0). Ora distinguiamo i possibili casi, senza dimenticarci dei valori inizialmente esclusi.

 

- Se k \neq 0\ \wedge\ k \neq - 1 e se \Delta>0, ossia

 

2k^2-1\neq 0\ \to\ k\neq \pm\frac{1}{\sqrt{2}}

 

allora l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte

 

x_{1,2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{\Delta}}{2\cdot k(k+1)}=\frac{-1\pm\sqrt{(2k^2-1)^2}}{2k(k + 1)}=\\ \\ \\ =\frac{-1\pm |2k^2-1|}{2k(k+1)}=\frac{-1\pm(2k^2-1)}{2k(k+1)}

 

Due osservazioni rapide: notate che i valori esclusi per k (quelli che riducono l'equazione letterale al primo grado) annullerebbero il denominatore facendo perdere di significato la formula. In secondo luogo, osserviamo che nell'estrarre la radice quadrata abbiamo dovuto riportare il valore assoluto della base del quadrato (perché la radice quadrata è per definizione positiva o nulla); d'altra parte, la presenza del segno \pm ci permette di rimuovere il modulo perché include automaticamente entrambi i casi.

 

x_1=\frac{- 1 - 2k^2 + 1}{2k(k + 1)} = \frac{- k}{k + 1}\\ \\ \\ x_2= \frac{- 1 + 2k^2 - 1}{2k(k + 1)} = \frac{2(k^2 - 1)}{2k(k + 1)} =  \frac{k - 1}{k}

 

- Se k \neq 0\ \wedge\ k \neq - 1 e se \Delta=0, ossia

 

k=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}

 

l'equazione parametrica ammette due soluzioni reali e coincidenti: x=x_1=x_2.

 

Tabella per la discussione e la risoluzione delle equazioni parametriche di secondo grado

 

Ora che abbiamo visto come discutere e risolvere le equazioni letterali di secondo grado, potremmo fermarci qui. D'altro canto questa tipologia di esercizi ben si presta per proporre problemi di discussione molto variegati in sede di verifica e di esame.

 

A questo proposito abbiamo pensato di raccogliere, come spunto di approfondimento, le principali richieste degli esercizi sulle equazioni parametriche e i relativi metodi per esaudirle, con tutte le formule risolutive del caso. ;)

 

Prima di passare a esaminare i vari casi, vi suggeriamo di:

 

- tenere a mente le relazioni che legano le soluzioni (o radici) x_1,x_2 di un'equazione di secondo grado:

 

ax^2+bx+c=0\ \to\ \mbox{soluzioni }x_1,\ x_2

 

x_1+x_2=-\frac{b}{a}\ \ \ ;\ \ \ x_1 x_2=\frac{c}{a}

 

- fare sempre attenzione ai casi particolari racchiusi implicitamente nelle richieste.

 

Con queste premesse possiamo esaminare la varie richieste che si possono affrontare in questo genere di esercizi. I possibili casi che si possono trovare sono i seguenti.

 

A) Trovare i valori del parametro k affinché:

 

A.1) le radici siano reali:

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta\geq 0

 

A.2) Le radici siano reali e distinte:

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta>0

 

A.3) Le radici siano coincidenti, ossia x_1=x_2:

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta=0

 

A.4) Le radici non siano reali:

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta<0

 

B) L'equazione sia di primo grado:

 

a=0

 

C) L'equazione sia spuria:

 

\begin{cases}a\neq 0\\ b\neq 0\\ c=0\end{cases}

 

D) L'equazione sia pura:

 

\begin{cases}a\neq 0\\ b=0\\ c\neq 0\end{cases}

 

E) L'equazione sia monomia:

 

\begin{cases}a\neq 0\\ b=0\\ c=0\end{cases}

 

F) La somma delle radici sia uguale a r, o in modo del tutto analogo x_1+x_2=r.

 

Condizioni preliminari: radici distinte o coincidenti

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta\geq 0

 

dopodiché imporremo

 

-\frac{b}{a}=r

 

G) Il prodotto delle radici sia uguale a r, o equivalentemente x_1 x_2=r.

 

Richiediamo preliminarmente che le soluzioni sia distinte o coincidenti

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta\geq 0

 

e successivamente

 

\frac{c}{a}=r

 

H) Almeno una delle due radici sia uguale a r, cioè x_1=r oppure x_2=r.

 

In tal caso imporremo

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta\geq 0

 

e successivamente sostituiremo nell'equazione r al posto dell'incognita x, per poi risolvere l'equazione trattando il parametro k come un'incognita.

 

I) Una radice sia uguale a r e una radice sia uguale a s, ossia x_1=r\neq s=x_2.

 

Dapprima imporremo

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta>0

 

dopodiché risolveremo il sistema

 

\begin{cases}r+s=-\frac{b}{a} \\ \\ r s =\frac{c}{a}\end{cases}

 

L) Le radici siano opposte, vale a dire 0\neq x_1=-x_2\neq 0.

 

Imporremo

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta>0

 

e successivamente

 

x_1+x_2=0

 

ossia

 

-\frac{b}{a}=0

 

M) Una radice sia l'inversa dell'altra, cioè una radice sia la reciproca dell'altra: x_1=\frac{1}{x_2}.

 

In tal caso le radici non devono essere necessariamente distinte, infatti è ammesso il caso particolare x_1=x_2=1. L'ambito in cui ragionare è fornito dalle condizioni

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta\geq 0

 

Scriviamo la condizione di reciprocità

 

x_1=\frac{1}{x_2}

 

e calcoliamo il minimo comune multiplo

 

x_1=\frac{1}{x_2}\ \ \to\ \ \frac{x_1 x_2-1}{x_2}=0

 

e quindi, essendo necessariamente x_2\neq 0

 

x_1 x_2=1

 

ossia

 

\frac{c}{a}=1

 

N) La differenza delle radici sia uguale a r, ossia x_2-x_1=r.

 

Dopo aver imposto la condizione

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta\geq 0

 

imporremo:

 

\frac{\sqrt{\Delta}}{a}=r\ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ \frac{\sqrt{\Delta}}{a}=-r

 

O) La somma dei quadrati delle radici sia r, o in modo del tutto equivalente x_1^2+x_2^2=r.

 

Innanzitutto richiederemo

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta\geq 0

 

Poi, ricordando che

 

(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2

 

si ha:

 

(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=x_1^2+x_2^2

 

e quindi basta risolvere

 

\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{c}{a}\right)=r

 

P) La somma dei cubi delle radici sia r, ossia x_1^3+x_2^3=r.

 

Vogliamo che esistano due soluzioni, distinte o coincidenti:

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta\geq 0

 

Basta ricordare la formula per il cubo di un binomio

 

(x_1+x_2)^3=x_1^3+3x_1^2x_2+3x_1x_2^2+x_2^3

 

e quindi

 

(x_1+x_2)^3-3x_1^2x_2-3x_1x_2^2=x_1^3+x_2^3

 

da cui

 

(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=x_1^3+x_2^3

 

basta allora risolvere l'equazione

 

\left(-\frac{b}{a}\right)^3-3\left(\frac{c}{a}\right)\left(-\frac{b}{a}\right)=r

 

Q) La somma dei reciproci delle radici sia uguale a r, cioè \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=r.

 

Devono esistere due soluzioni, distinte o eventualmente coincidenti

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta\geq 0

 

e devono essere entrambe non nulle, altrimenti non sarebbe possibile considerarne i reciproci

 

x_1x_2\neq 0

 

che si traduce in

 

\frac{c}{a}\neq 0

 

A questo punto possiamo osservare che

 

\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=r

 

si può riscrivere nella forma

 

\frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}=r

 

e quindi

 

\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=r

 

R) La somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia uguale a r, o equivalentemente \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=r.

 

Analogamente al caso precedente, richiederemo dapprima

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta\geq 0

 

e

 

\frac{c}{a}\neq 0

 

Possiamo quindi considerare

 

\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=r

 

da cui, calcolando il minimo comune multiplo:

 

\frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2 x_2^2}=r

 

Il numeratore è la somma dei quadrati delle radici, a noi già noto

 

x_2^2+x_1^2=\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{c}{a}\right)

 

il denominatore è invece

 

(x_1 x_2)^2 = \left(\frac{c}{a}\right)^2

 

In sintesi:

 

\frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{c}{a}\right)}{\left(\frac{c}{a}\right)^2}=r

 

S) x_1 = r x_2

 

Le due radici possono essere distinte o coincidenti:

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta\geq 0

 

Si considera il sistema:

 

\begin{cases}x_1=r x_2 \\ \\ x_1+x_2=-\frac{b}{a} \\ \\ x_1 x_2=\frac{c}{a} \end{cases}

 

e si sostituisce il r x_2 al posto di x_1 nella seconda e nella terza equazione, ottenendo

 

\begin{cases}x_1=r x_2 \\ \\ r x_2+x_2=-\frac{b}{a} \\ \\ r x_2^2=\frac{c}{a} \end{cases}

 

Si ricava x_2 dalla seconda equazione, lo si sostituisce nella terza e quest'ultima ci fornirà i valori di k richiesti.

 

T) Una radice sia il doppio dell'altra, o in modo analogo che una radice sia la metà dell'altra, o ancora che una radice sia un terzo dell'altra, e così via...

 

Sono tutti casi particolari del precedente: x_1=r x_2.

 

U) Le radici siano concordi, ossia x_1x_2>0.

 

Vogliamo che esistano due radici, distinte o coincidenti

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta\geq 0

 

e che il loro prodotto sia positivo (in accordo con la regola dei segni)

 

\frac{c}{a}>0

 

V) Le radici siano discordi, ossia x_1x_2<0

 

Come nel caso precedente, solo che qui le radici devono essere necessariamente distinte

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta>0

 

\frac{c}{a}<0

 

Z) Le radici siano entrambe positive.

 

Le soluzioni possono essere distinte o coincidenti

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta\geq 0

 

Per garantire che siano entrambe positive richiediamo che il loro prodotto e la loro somma siano positivi

 

\begin{cases}x_1x_2>0\\ x_1+x_2>0\end{cases}

 

ossia

 

\begin{cases}\frac{c}{a}>0\\ \\ -\frac{b}{a}>0 \end{cases}

 

α) Le radici siano entrambe negative.

 

In modo analogo rispetto al caso precedente

 

a\neq 0\ \ \ ,\ \ \ \Delta\geq 0

 

\begin{cases}\frac{c}{a}>0\\ \\ -\frac{b}{a}<0 \end{cases}

 

Esempio: studio di un'equazione parametrica di secondo grado

 

Per concludere in bellezza vediamo un esempio: determinare per quali valori del parametro k risultano reciproche le soluzioni della seguente equazione

 

k^2x^2 - k(2k + 1)x + 2k^2 + k - 6 = 0

 

Svolgimento: siamo nel caso M). Evidenziamo i coefficienti dell'equazione letterale di secondo grado

 

\overbrace{k^2}^{a}x^2 +\overbrace{[-k(2k + 1)]}^{b}x+\overbrace{2k^2 + k - 6}^{c}= 0

 

Il primo coefficiente si annulla per

 

k^2=0\ \to\ k=0

 

e per tale valore del parametro l'equazione è impossibile, infatti risulta

 

-6= 0

 

Nell'ipotesi a\neq 0, ossia k\neq 0, studiamo il segno del discriminante.

 

\Delta = b^2-4ac=\\ \\ =[-k(2k + 1)]^2 - 4\cdot k^2\cdot (2k^2 + k - 6)

 

Imponiamo la condizione di realtà delle radici:

 

\Delta\geq 0\\ \\ k^2(2k+1)^2-4k^2(2k^2 + k - 6)\geq 0

 

Poiché k\neq 0, possiamo cancellare il fattore comune k^2 perché è certamente positivo nelle nostre ipotesi

 

4k^2 + 4k + 1 - 8k^2 - 4k + 24 = - 4k^2 + 25 \geq 0

 

ossia

 

4k^2 - 25 \leq 0

 

La disequazione è verificata per

 

-\frac{5}{2} \leq k \leq\frac{5}{2}

 

In accordo con lo schema risolutivo, le soluzioni sono reciproche quando risulta

 

x_1 = \frac{1}{x_2}

 

ossia quando risulta

 

x_1x_2 = 1

 

Il prodotto delle soluzioni è dato dal rapporto tra terzo e primo coefficiente:

 

\frac{c}{a}=1

 

ossia

 

\frac{2k^2 + k - 6}{k^2} = 1

 

che equivale all'equazione di secondo grado in k

 

k^2 + k - 6 = 0

 

Effettuiamo una scomposizione con la regola del trinomio particolare

 

(k + 3)(k - 2) = 0

 

L'equazione ha soluzioni

 

k_1 = - 3\ \vee k_2\ = 2

 

e se le accettassimo entrambe commetteremmo un errore gravissimo. Dobbiamo ricordare che per la realtà delle soluzioni i valori del parametro sono limitati dalla condizione:

 

-\frac{5}{2} \leq k \leq\frac{5}{2}

 

La prima soluzione non è accettabile perché per tale valore del parametro il discriminante è negativo e le soluzioni non sono reali. Il problema è quindi risolto per k = 2. A voi il compito di verificare che tale valore del parametro soddisfa effettivamente la richiesta dell'esercizio, e di calcolare le corrispondenti soluzioni. ;)

 

 


 

Nella lezione successiva studieremo un utile criterio che permette di conoscere il segno delle soluzioni delle equazioni di secondo grado senza risolverle: la regola di Cartesio. Se volete esercitarvi vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna per reperire tutti gli esercizi svolti di vostro interesse; inoltre, nel caso vogliate aiutarvi nella risoluzione, potete servirvi del tool per risolvere le equazioni di secondo grado online. ;)

 

 

إاى اللقاء, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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