Equazioni di primo grado

Le equazioni di primo grado ad un'incognita, dette anche equazioni di grado 1 in un'incognita, sono equazioni in cui l'incognita è elevata a esponente 1 e può essere solamente moltiplicata o sommata con termini numerici qualsiasi. In modo equivalente un'equazione di primo grado è un'uguaglianza tra un polinomio di grado 1 e un polinomio di grado 0, 1 o nullo.

 

Il primo tipo di equazioni che si studia in Matematica è dato dalle equazioni di primo grado ad una incognitaLa lezione si divide in due parti: qui chiariremo un po' di questioni preliminari (definizione, nomi e come capire se un'equazione è di primo grado oppure no). Nella seconda parte entreremo nel vivo della faccenda e spiegheremo come risolvere le equazioni di primo grado.

 

Nota: se volete leggere la lezione sulle disequazioni di primo grado - click! ;)

 

Definizione e forma delle equazioni di primo grado

 

Partiamo dalla definizione di equazione di primo grado ad un'incognita e cerchiamo di capire cos'è e come si presenta: abbiamo detto che un'equazione di primo grado in una incognita è un'equazione in cui l'incognita, solitamente indicata con la lettera x, è elevata a esponente 1 e può essere solamente moltiplicata o sommata con termini numerici qualsiasi.

 

Più semplicemente, consideriamo un'uguaglianza tra due polinomi

 

\mbox{Polinomio-a-sinistra}=\mbox{Polinomio-a-destra}

 

come ad esempio

 

x+2=1

 

L'uguaglianza è un'equazione di primo grado solamente se uno tra i due polinomi ha grado 1 e se l'altro ha grado 0, 1 oppure è il polinomio nullo. Sembra complicato? Non lo è: tra un istante chiariremo ogni possibile dubbio, ma prima semplifichiamo il lavoro introducendo alcuni nomi. ;)

 

 

Nomi dei personaggi che definiscono le equazioni di primo grado

 

Ripassiamo velocemente i termini che abbiamo presentato nella lezione sui principi di equivalenza. Per semplificare il linguaggio chiameremo membro di sinistra ciò che sta a sinistra dell'uguale e membro di destra ciò che sta a destra dell'uguale.

 

Chiameremo incognita, indicata solitamente con la lettera x, il termine letterale di cui dobbiamo individuare i valori per cui l'uguaglianza è verificata.

 

Chiameremo soluzioni dell'equazione i valori che, sostituiti al posto dell'incognita, rendono vera l'uguaglianza.

 

Diremo infine insieme di esistenza delle soluzioni l'insieme numerico in cui dobbiamo cercare le soluzioni. Nello studio delle equazioni in terza media e alle scuole superiori, a meno che non sia diversamente indicato, si considera come insieme di esistenza delle soluzioni l'insieme \mathbb{R} dei numeri reali, ossia sostanzialmente l'insieme di tutti i possibili numeri decimali.

 

Risolvere un'equazione significa effettuare tutti i passaggi algebrici che ci permettono di capire: (1) se l'equazione ammette soluzioni e, in caso affermativo, (2) di determinarle.

 

Due piccole osservazioni prima di continuare: innanzitutto vi suggeriamo di imparare bene i precedenti nomi, perché ricorreranno in ogni tipo di equazione. In secondo luogo, è bene sapere che solitamente l'incognita viene indicata con la lettera x, ma nulla vieta di indicarla in altri modi: y,\ z,\ a, \mbox{paperino}...

 

 

Come riconoscere le equazioni di primo grado ad un'incognita

 

Riprendiamo ciò che abbiamo scritto in precedenza:

 

\mbox{Polinomio-a-sinistra}=\mbox{Polinomio-a-destra}

 

o, se preferite

 

\mbox{una espressione con }x = \mbox{un'altra espressione con }x

 

L'uguaglianza è un'equazione di primo grado solamente:

 

(A) se uno tra i due polinomi ha grado 1

 

(B) e se l'altro ha grado 0, 1 oppure è il polinomio nullo.

 

Poiché il simbolo di uguaglianza è simmetrico, non importa quale tra (A) e (B) si trovi a sinistra dell'uguale e quale a destra. Se vi ricordate cos'è il grado di un polinomio, allora intuirete immediatamente perché le seguenti uguaglianze sono esempi di equazioni di primo grado:

 

x+5=0\ \ \ ;\ \ \ 0=x+2\\ \\ x+19=4\ \ \ ;\ \ \ 2=24+x\\ \\ x+5=7+x\ \ \ ;\ \ \ x=x+4

 

Non è necessario che i polinomi che compaiono siano ridotti entrambi in forma normale: l'importante è che uno dei due polinomi abbia grado 1 e l'altro abbia grado 0, oppure 1, oppure sia il polinomio nullo

 

4x-3x+17-12=0\ \ \ ;\ \ \ 0=2x-x+8-6\\ \\ 2x-x+15+4=2+2\ \ \ ;\ \ \ 2=2-x+2x+22\\ \\ 2x+5-x=7+x\ \ \ ;\ \ \ x=3x+4-2x

 

Le equazioni di primo grado si caratterizzano per il fatto che l'incognita x compare solo con esponente 1 e che essa può essere sommata o moltiplicata per termini numerici. Questa frase in realtà nasconde alcune insidie per i meno esperti, per cui vogliamo evitare qualsiasi possibile fraintendimento.

 

Attenzione - 1

 

Dicendo che l'incognita x può essere sommata o moltiplicata per termini numerici, intendiamo che essa può anche essere sottratta o divisa per termini numerici. Una sottrazione non è nient'altro che una somma con un numero negativo (somma algebrica), una divisione non è altro che la moltiplicazione per un reciproco.

 

A tal proposito un esempio di equazione di primo grado è dato da

 

2-x=\frac{x}{3}

 

che soddisfa appieno la definizione, infatti è

 

2+ (-1)\cdot x=x\cdot \frac{1}{3}

 

Attenzione - 2

 

I termini numerici possono avere ogni possibile forma e coinvolgere ogni possibile operazione, purché l'incognita sia coinvolta solamente in operazioni consentite.

 

Una carrellata di esempi di equazioni di primo grado che dipaneranno ogni dubbio:

 

x=1\ \ \ ;\ \ \ x+5=3\ \ \ ;\ \ \ x+2=2-x\\ \\ \\ \frac{x}{2}+5x=2^{12}x+9\ \ \ ;\ \ \ \pi-x=4x+\frac{13}{5^4-1}x\\ \\ \\ \log(2)x+\sqrt[6]{4}=e^3x+(512-\sqrt{2})x

 

Non fatevi trarre in inganno dai termini numerici: l'unico vincolo della definizione riguarda il modo con cui compare l'incognita. Essa deve manifestarsi con esponente 1, dunque x^1=x, e può essere sommata o moltiplicata con termini numerici. I termini numerici possono essere scritti nelle più svariate forme, esattamente come nei precedenti esempi.

 

Attenzione - 3

 

Non troveremo, ad esempio, frazioni aventi la x a denominatore. Qualcuno potrebbe darci un'equazione del tipo:

 

(4x+3)-\frac{2}{7}x=\frac{1}{7}(3-x)

 

Questa è una equazione di primo grado ad una incognita; se invece qualche giocherellone ci dicesse: che tipo di equazione è

 

\frac{2}{3}(x+1)+\frac{1}{x}=4\ ?

 

Ebbene, questa non è una equazione di primo grado ad una incognita. Ci sono dei termini in cui si divide per x, il che fa sì che l'incognita non compaia con grado 1, infatti dalle proprietà delle potenze \frac{1}{x}=x^{-1}.

 

Più avanti avremo modo di scoprire che l'ultimo esempio consiste in un'equazione fratta di primo grado.

 
 

Come si risolve un'equazione di primo grado?

 

Nella lezione come si risolvono le equazioni di primo grado spiegheremo dettagliatamente quante soluzioni può ammettere un'equazione di primo grado e, in caso affermativo, come determinarle.

 

Per il momento ci limitiamo a darvi un piccolo antipasto sulla risoluzione delle equazioni di primo grado e un'anticipazione di come si utilizzano i principi di equivalenza per risolverle.

 

Da un passaggio al successivo possiamo modificare i termini ma non possiamo alterare l'uguaglianza. In accordo col primo principio di equivalenza possiamo ad esempio sommare +4 a sinistra e a destra, ma non possiamo sommare +4 a sinistra e +3 a destra.

 

Il metodo risolutivo prevede di portare tutte le x a sinistra dell'uguale e tutti i termini numerici a destra dell'uguale. Per riuscirci ci limiteremo a:

 

- sommare e/o sottrarre gli stessi opportuni numeri sia a sinistra che a destra dell'uguale;

 

- moltiplicare/dividere per gli stessi opportuni numeri sia a sinistra che a destra dell'uguale.

 

Consideriamo l'equazione che abbiamo citato in precedenza e vediamo come risolverla.

 

(4x+3)-\frac{2}{7}x=\frac{1}{7}(3-x)

 

Prima di tutto eliminiamo le parentesi sviluppando i calcoli, secondo le solite regole delle operazioni tra monomi

 

4x+3-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}-\frac{1}{7}x

 

Ora dobbiamo portare tutte le x a sinistra dell'uguale e tutti i numeri a destra dell'uguale.

 

Come facciamo? Abbiamo detto poco fà che possiamo svolgere qualsiasi operazione, a patto che sia la stessa a sinistra e a destra dell'uguale. Ragioniamo: se vogliamo portare a sinistra il -\frac{1}{7}x presente a destra, l'unico modo per farlo è sommare a entrambi i membri +\frac{1}{7}x

 

+\frac{1}{7}x+4x+3-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}-\frac{1}{7}x+\frac{1}{7}x

 

quindi:

 

+\frac{1}{7}x+4x+3-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}+0

 

A sinistra compare un +3 che vogliamo portare a destra. Cosa facciamo? Sottraiamo 3 da entrambi i membri!

 

-3+\frac{1}{7}x+4x+3-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}-3

 

e dunque passiamo a

 

+\frac{1}{7}x+4x-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}-3.

 

Non ci resta che sommare i termini della sola x a sinistra dell'uguale e sommare i numeri senza x a destra dell'uguale. Calcoliamo il minimo comune denominatore e otteniamo

 

\frac{+1+(4\cdot 7)-2}{7}x=\frac{3-(3\cdot 7)}{7}

 

ossia

 

+\frac{27}{7}x=-\frac{18}{7}

 

Vogliamo avere la sola x a sinistra dell'uguale. Per riuscirci dobbiamo eliminare il coefficiente \frac{27}{7} e a tal proposito possiamo servirci del secondo principio di equivalenza: notiamo che se moltiplichiamo per 7 a sinistra e a destra dell'uguale, otteniamo

 

7\cdot\frac{27}{7}x=7\cdot\frac{-18}{7}

 

semplifichiamo i 7:

 

27x=-18

 

e per eliminare il coefficiente 27 che moltiplica la x, cosa faremo mai? Dividiamo per 27:

 

\frac{27x}{27}=\frac{-18}{27}

 

Abbiamo individuato la soluzione: non ci resta che ridurre il risultato ai minimi termini

 

x=-\frac{18}{27}=-\frac{2}{3}

 

 


 

Nella lezione successiva entreremo nel dettaglio del metodo di risoluzione delle equazioni di primo grado, proponendo diversi esempi, analizzando tutti i possibili casi ed elencando le formule risolutive. Nel seguito avremo anche modo di studiare le equazioni fratte di primo grado e le equazioni parametriche di primo grado, ma procediamo con ordine... ;)

 

Nel frattempo se state ripassando potete dare un'occhiata alle schede correlate di esercizi svolti e all'occorrenza usare il tool per risolvere le equazioni di primo grado online. ;)

 

 

до свидания, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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