Cosa sono le equazioni?

Cominciamo con la domanda del titolo: che cos'è un'equazione? In Matematica un'equazione è un'uguaglianza tra due grandezze o quantità che possono essere delle più svariate tipologie. Poiché le equazioni sono uguaglianze sono probabilmente lo strumento più conosciuto nella Matematica, e i loro infiniti utilizzi sono impossibili da catalogare o riassumere in una lezione. Dovunque guarderemo nel mondo della Matematica, troveremo con ogni probabilità un'equazione!

 

Questo fatto però non viene mai sottolineato abbastanza alle scuole medie e superiori. Quando uno studente si avvicina per la prima volta alle equazioni, raramente sentirà dire: "Questo argomento ti permetterà di padroneggiare uno dei più potenti strumenti che userai nella tua vita. Gli esercizi possono essere noiosi, ma se imparerai a lavorare con le equazioni avrai appreso i tre quarti del funzionamento della logica e del pensiero razionale". Purtroppo a volte è molto più comodo dire "Questa è un'equazione. Si fa così, ok? Adesso fallo un milione di volte."

 

È naturale che gli studenti non apprezzino l'impostazione della scimmietta ben ammaestrata e che si annoino facendo una-cosa-che-non-si-sa-perché-devo-e-non-userò-mai-nella-vita, non percependone alcuna utilità. Se avete presente la classica domanda: "Che me ne faccio di questa roba nella vita, ad esempio quando vado al mercato?", sappiate che equivale a un apprendista muratore che chiede: "Che me ne faccio di un martello, ad esempio quando devo costruire un muro".

 

 

Purtroppo per capire l'utilità della Matematica, soprattutto nei suoi argomenti più elementari, bisogna arrivare a livelli di studio che poche persone raggiungeranno proprio a causa dell'interesse che non è stato loro trasmesso.

 

A partire da questa lezione introduttiva inizieremo a capire cos'è un'equazione e come si risolve. Cominciamo: abbiamo detto che un'equazione è un'uguaglianza, che si presenta nella forma

 

\mbox{qualcosa}=\mbox{qualcos'altro}

 

Scopo del gioco è lavorare sull'equazione per individuarne le soluzioni, e affermare: esistono e sono queste, non esistono, ce ne sono un sacco (=infinite).

 

Abbiamo già introdotto un importante concetto: esistenza di soluzioni vuol dire che l'uguaglianza è possibile. Non esistenza di soluzioni significa che l'uguaglianza non si verifica mai. Esistenza di infinite soluzioni vuol dire che l'uguaglianza si verifica per infiniti valori. Rispettivamente:

 

Io=Io calvo? Sì, se mi cadono i capelli. Soluzione/i: mi devono cadere i capelli.

 

Io=Alce? Non crediamo sia possibile! Soluzione/i: nessuna.

 

Io=Io? Certamente e indipendentemente dalle condizioni. Soluzione/i: l'uguaglianza non dipende dalle condizioni, infinite soluzioni.

 

Se interpretiamo le soluzioni (i valori che risolvono le equazioni) come condizioni, dovrebbe essere chiaro come si inserisce il concetto di equazione nella vita quotidiana. Nel contempo potremo anche usarle per capire se 20 euro per un cappuccino è un po' troppo, ma questo è un altro discorso. ;)

 

Cosa si può fare per risolvere un'equazione?

 

Tutto, con una sola regola: ogni azione, ogni operazione, ogni manipolazione deve mantenere l'uguaglianza. Tradotto: nell'equazione

 

\mbox{qualcosa}=\mbox{qualcos'altro}

 

possiamo fare ciò che vogliamo, ma a patto di farlo sia su qualcosa che su qualcos'altro. Se ad esempio a sinistra sommiamo Pluto, dovremo sommare Pluto anche a destra.

 

Ogni azione che svolgiamo su un'equazione deve essere finalizzata alla ricerca delle eventuali soluzioni.

 

Se calcolare una radice quadrata ci avvicina alla/e soluzione/i, calcoleremo una radice quadrata. Potremo anche sommare 1000000 a sinistra e a destra dell'uguale e l'uguaglianza continuerà ad essere valida, ma se non serve ci allontaneremo dalle eventuali soluzioni.

 

Per individuare le possibili soluzioni possiamo, ad esempio:

 

- sommare/sottrarre la stessa quantità a sinistra e a destra dell'uguale;

 

- moltiplicare per la stessa quantità (a patto che sia diverso da zero) a sinistra e a destra dell'uguale;

 

- dividere per la stessa quantità (purché non sia zero) a sinistra e a destra dell'uguale

 

- estrarre radici a sinistra e a destra dell'uguale;

 

elevare a potenza a sinistra e a destra dell'uguale;

 

- applicare un logaritmo in base arbitraria a sinistra e a destra dell'uguale;

 

e con gli esempi ci fermiamo qui perché l'elenco può procedere all'infinito. :)

 

Solo l'esperienza e l'esercizio permettono di capire al volo cosa è meglio fare e cosa no a seconda del tipo di equazione.

 

Perché non riesco a risolvere un'equazione?

 

Perché da qualche parte nello svolgimento non è stata rispettata la regola ciò che facciamo a destra lo dobbiamo fare anche a sinistra. Servono calma e attenzione. La nostra esperienza ci insegna che le persone, nel loro rapporto con le equazioni, si dividono nelle seguenti categorie

 

 

A cosa servono le equazioni

 

 

Prendendo confidenza e guardando ogni equazione nell'ottica giusta, farete meno fatica e avrete maggiori possibilità di arrivare al risultato. ;)

 

 


 

Nella lezione successiva riprenderemo quanto detto fin qui e tratteremo i principi di equivalenza delle equazioni. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys! 

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione successiva

 
 

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