Equazioni di grado superiore al secondo

Le equazioni di grado superiore al secondo sono equazioni che, in forma normale, sono costituite da un polinomio di grado superiore al secondo posto uguale a zero. Esse ammettono metodi di risoluzione estremamente variegati e, in certi casi, non possono essere risolte.

 

Dopo aver gettato le basi nelle precedenti lezioni, ci restano ancora tanti tipi di equazioni da studiare. A partire da qui, e nelle tre lezioni successive, studieremo alcuni dei metodi risolutivi per le equazioni di terzo grado e più in generale per le equazioni di grado superiore al secondo.

 

Sottolineiamo il pronome alcuni nella precedente frase, riferendoci sostanzialmente a tutti i metodi che sono oggetto di studio alle superiori e che vengono utilizzati nei corsi base universitari, per i motivi che spiegheremo tra un istante.

 

Nota: per chi fosse interessato, la lezione sulle disequazioni di grado superiore al secondo è disponibile alla pagina del link.

 
 
 

Introduzione alle equazioni di grado superiore al secondo

 

A partire da questa lezione studieremo nel dettaglio le equazioni di grado superiore al secondo, ossia le equazioni che in forma normale sono del tipo

 

P(x)=0

 

dove P(x) è un qualsiasi polinomio di grado superiore al secondo a coefficienti reali. Più esplicitamente:

 

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0=0\\ \\ \mbox{con }\ n>2\ \ \ \mbox{e}\ \ \ a_0,a_1,a_2,...,a_n\in\mathbb{R}

 

Sono esempi di equazioni di grado superiore al secondo in forma normale:

 

x^3+x^2+x+1=0\\ \\ x^4+x-5=0\\ \\ 7x^5+9x^3-4x^2=0

 

Probabilmente vi starete domandando perché, fino a qui, abbiamo studiato le equazioni di primo grado e le equazioni di secondo grado separatamente, e perché passiamo allo studio delle equazioni di terzo grado, di quarto grado, di quinto grado...

 

È presto detto. Le equazioni di primo e di secondo grado ammettono una sotto-classificazione facile da individuare e relativi metodi di risoluzione piuttosto semplici. A partire dalle equazioni di terzo grado, e più in generale nel caso delle equazioni di grado superiore al secondo, le cose si complicano terribilmente.

 

Innanzitutto non è affatto semplice individuare una sotto-classificazione immediata per ciascun grado superiore al secondo e, di conseguenza, esiste una moltitudine di metodi risolutivi. In alcuni casi i metodi risolutivi sono piuttosto complicati (per citare un esempio, il metodo di Cardano per le equazioni di terzo grado); in altri non esiste nemmeno un metodo risolutivo, come accade per certe equazioni con grado superiore al quarto.

 

D'altra parte non è un caso che le equazioni di grado superiore al secondo siano oggetto di studio nei corsi di Algebra avanzati (facoltà universitaria di Matematica) e nei corsi avanzati che si occupano dei numeri complessi.

 

Come affrontare lo studio delle equazioni di grado superiore al secondo

 

A questo punto starete pensando che non affronteremo lo studio delle equazioni di terzo grado e/o di grado superiore al secondo, o che comunque non valga la pena di farlo. Al contrario, lo faremo. :)

 

Come si può facilmente immaginare le equazioni di grado superiore al secondo si manifestano in tantissimi problemi e applicazioni di natura pratica, non solamente in ambito algebrico e fortunatamente non solo nelle forme più impegnative. Lo studio della Matematica non è tutto bianco o nero. Procederemo passo dopo passo e, perlomeno nella sezione dedicata alle equazioni, copriremo solamente i casi più diffusi; per intenderci, quelli che riguardano lo studio della Matematica alle scuole superiori e al primo anno dei corsi universitari di ogni tipo.

 

Prima di tutto nelle lezioni successive considereremo tre specifiche tipologie di equazioni:

 

- le equazioni binomie (di grado superiore al secondo)

 

- le equazioni trinomie (di grado superiore al secondo)

 

- le equazioni scomponibili (di grado superiore al secondo)

 

e, per ciascuna di esse, studieremo il semplice metodo risolutivo associato.

 

Successivamente, nella parte conclusiva delle lezioni dedicate alle equazioni, introdurremo un metodo per risolvere le equazioni non risolvibili algebricamente. Oltre che per il suo scopo principale, vi mostreremo come utilizzare tale procedura anche per le equazioni di grado superiore al secondo che dispongono di un metodo risolutivo algebrico, e che però non è oggetto di studio ai livelli non avanzati (≤ facoltà di Matematica all'università).

 

Osservazione: uno dei principali utilizzi delle equazioni di grado superiore al secondo

 

Prima di passare all'azione vogliamo ribadire che le equazioni di grado superiore al secondo hanno una marea di applicazioni in ambito matematico e non matematico. Non vogliamo rovinarvi la sorpresa ma, per il momento, ci limitiamo a farvi notare che risolvere la forma normale di un'equazione di grado superiore al secondo

 

P(x)=0

 

equivale di fatto a cercare le radici (o zeri) del polinomio al primo membro. Un compito a noi noto sin dal biennio delle superiori, infatti è stato uno dei temi principali nello studio dei polinomi e sarà un obiettivo ricorrente nel prosieguo dei vostri studi. ;)

 

 


 

Per il momento non riportiamo alcun rimando alle schede di esercizi risolti: lo faremo dopo aver studiato i vari metodi di risoluzione nelle lezioni successive. Nel frattempo però vi rammentiamo che qui su YM è presente un comodo tool per risolvere le equazioni di grado superiore al secondo online, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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