Tipi di equazioni

Nello studio delle equazioni in un'incognita abbiamo riscontrato diversi tipi di equazioni, classificate secondo di caratteristiche ben precise: in base al grado o ancora in base alle espressioni matematiche che ne costituiscono i membri.

 

In questa lezione conclusiva forniremo una classificazione generale delle equazioni in un'incognita, evidenziando le proprietà che consentono di catalogarle. Inizieremo dall'analisi delle equazioni algebriche, per poi passare in rassegna le equazioni trascendenti.

 

Attenzione! Nella catalogazione sono presenti delle zone grigie, o meglio equazioni che non possono essere ricondotte indiscutibilmente a una tipologia ben precisa e sulle quali dibattono gli stessi insegnanti. La controversia è generata dalle definizioni che discriminano i tipi di equazioni: esse infatti non sono univoche e variano a seconda dei contesti e delle necessità didattiche dei docenti.

 
 
 

Equazioni algebriche

 

Partiamo dalla definizione di equazione algebrica: un'equazione algebrica è un'equazione che presenta esclusivamente polinomi e/o frazioni algebriche, o ancora loro potenze con esponenti interi o fratti.

 

Nel dettaglio, un'equazione algebrica è caratterizzata dalla presenza delle quattro operazioni elementari tra polinomi cui si aggiunge l'elevamento a potenza con esponente intero oppure fratto. Se si palesano altre espressioni matematiche oltre a quelle indicate, l'equazione non è algebrica.

 

Sono esempi di equazioni algebriche

 

\frac{x^2}{2}+2x=0 \ \ \ , \ \ \ \frac{x^3+2x}{x+3}=x^2\\ \\ \\ x (1+x)^{-3}=0 \ \ \ , \ \ \ \sqrt{\frac{x}{x+1}}=0

 

infatti i loro membri sono polinomi, frazioni algebriche o loro potenze intere o fratte.

 

Al contrario non sono equazioni algebriche

 

(a)\ \sin(x-1)=\cos(x-1) \ \ \ , \ \ \ (b)\ \arctan(x)=\frac{1}{2}\\ \\ \\  (c)\ \frac{5e^{2x}-e^{x}}{x-3}=0\ \ \ , \ \ \ (d)\ x^2\ln(x)=\ln(x)

 

perché non presentano esclusivamente le quattro operazioni tra polinomi né potenze con esponenti interi o fratti, ma emergono espressioni matematiche di diversa natura: in (a) l'incognita si trova all'interno degli argomenti di seno e coseno, in (b) compare all'interno dell'arcotangente, in (c) si manifesta all'esponente dell'esponenziale mentre in (d) è l'argomento dei logaritmi.

 

Esistono tre possibili sotto-classificazioni delle equazioni algebriche che possono essere estrapolate dalla definizione, del tutto indipendenti tra loro.

 

1) Equazioni algebriche razionali / Equazioni algebriche irrazionali

 

2) Equazioni algebriche intere / Equazioni algebriche fratte

 

3) Equazioni algebriche numeriche / Equazioni algebriche letterali

 

Equazioni algebriche razionali o irrazionali

 

Questa classificazione riguarda le operazioni tra i polinomi e/o le frazioni algebriche che costituiscono i membri dell'equazione:

 

- se nei membri dell'equazione appaiono potenze intere di polinomi o di frazioni algebriche, allora parleremo di equazione algebrica razionale (abbreviato: equazione razionale);

 

- se nei membri compaiono potenze di polinomi o di frazioni algebriche (non costanti) con esponente fratto, siamo in presenza di un'equazione algebrica irrazionale (detta anche equazione irrazionale).

 

Equazioni algebriche intere o fratte

 

La seconda possibile classificazione riguarda la posizione consentita dall'incognita:

 

equazioni algebriche intere → l'incognita non è presente in alcun denominatore;

 

equazioni algebriche fratte → l'incognita si manifesta in almeno un denominatore;

 

Equazioni algebriche numeriche o letterali

 

La terza classificazione si riferisce ai coefficienti che compaiono nell'equazione:

 

equazioni algebriche numeriche → tutti i coefficienti sono numerici e oltre all'incognita non appaiono altre lettere;

 

equazioni algebriche letterali → oltre all'incognita x sono presenti altre lettere che fungono da parametri;

 

Esempi di equazioni algebriche

 

Ribadiamo che ciascuna delle proprietà alla base delle tre classificazioni è indipendente dalle altre, per cui sono consentite tutte le 8 possibili combinazioni (per ricavare il numero totale potete aiutarvi con un opportuno diagramma ad albero). Vediamo alcuni esempi.

 

\frac{x^2+2x}{2}=0

 

è un'equazione razionale numerica intera, detta anche equazione polinomiale.

 

\frac{x-3}{x^2+3x}=\frac{1}{x}

 

è un'equazione razionale numerica fratta. Si noti in particolare che l'incognita occorre anche a denominatore.

 

\sqrt{\frac{x}{2}}+1=0

 

è un'equazione irrazionale numerica intera. Osserviamo tra le altre cose che il primo membro è costituito da un polinomio in cui compare una potenza con esponente fratto

 

\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

 

è un'equazione irrazionale numerica fratta.

 

\frac{x-3}{a}=\frac{a}{a+1}

 

è un'equazione razionale letterale intera, perché l'incognita non si manifesta in alcun denominatore e inoltre è presente un parametro a.

 

\frac{x+a}{x+1}=a

 

è un'equazione razionale letterale fratta per via della presenza del parametro a, nonché dell'incognita a denominatore.

 

\frac{\sqrt{x-3}}{5}=\frac{1}{a^3}

 

è un'equazione irrazionale letterale intera.

 

\frac{x+a}{x+1}=\frac{a}{\sqrt{x^3-x+1}}

 

è un'equazione irrazionale letterale fratta.

 

Osserviamo che le definizioni di equazione algebrica intera/fratta sono tra loro antitetiche, così come lo sono le definizioni di equazione algebrica letterale/numerica e e di equazione algebrica razionale/irrazionale. Ne consegue dunque che non esistono equazioni intere fratte, né equazioni numeriche letterali, né equazioni razionali irrazionali.

 

Nel caso delle equazioni letterali è necessaria un'ulteriore precisazione. Non fatevi ingannare dalla presenza dei parametri a denominatore: per discriminare un'equazione letterale fratta da una letterale intera bisogna fare riferimento alla posizione dell'incognita e non a quella degli eventuali parametri.

 

Grado di un'equazione algebrica razionale numerica o letterale

 

Grazie ai principi di equivalenza, ogni equazione razionale numerica nell'incognita x può essere ricondotta a un'equazione polinomiale, vale a dire alla forma

 

P(x)=0

 

dove P(x) è un polinomio di grado n nella variabile x. In questa circostanza si definisce grado dell'equazione razionale numerica il grado rispetto all'incognita del polinomio P(x).

 

Equazioni di questo tipo vengono classificate anche in base al grado associato. Ad esempio:

 

equazioni di primo grado, dette anche equazioni lineari, la cui forma normale è

 

ax+b=0 \ \ \ \mbox{con}\ a\ne 0

 

- equazioni fratte di primo grado, caratterizzate dal fatto che sono equivalenti a determinate equazioni di primo grado, sotto opportune condizioni di esistenza.

 

- equazioni di secondo grado, la cui forma normale è

 

ax^2+bx+c=0 \ \ \ \mbox{con}\ a\ne 0

 

- equazioni fratte di secondo grado, la cui caratteristica principale consiste nella possibilità di ricondurle a equazioni di secondo grado, sempre sotto i vincoli dettati dalle condizioni di esistenza.

 

e così via...

 

Se l'equazione razionale fosse letterale, il grado associato potrebbe dipendere dai parametri. In questa circostanza si considera per convenzione come grado di un'equazione razionale letterale il massimo grado ottenibile al variare dei valori dei parametri. Nella pratica sarà necessario avviare lo studio dell'equazione parametrica e determinare il grado al variare dei valori che i parametri assumono.

 

Non si associa invece alcun grado alle equazioni irrazionali.

 

 

Esempi sul grado di un'equazione razionale

 

La forma normale dell'equazione

 

x^3+2x+1=x^3-2x^2

 

è

 

2x^2+2x+1=0

 

pertanto è un'equazione di secondo grado.

 

Di contro, se consideriamo l'equazione razionale letterale

 

ax^2+x+1=0

 

Essa è già espressa in forma normale e il suo grado dipende dal valore che attribuiamo al parametro a. Se a=0 infatti si annulla il coefficiente di x^2 e l'equazione si riduce a

 

x+1=0

 

pertanto è di primo grado. Se a\ne 0 invece il coefficiente di x^2 è non nullo, dunque l'equazione ha grado 2. Diremo quindi che l'equazione razionale letterale ha grado 2.

 

Equazioni trascendenti

 

Dopo aver snocciolato nel dettaglio le equazioni algebriche passiamo alla seconda, grande categoria, detta classe delle equazioni trascendenti.

 

La definizione di equazione trascendente è alquanto singolare perché si contrappone a quella di equazione algebrica. In una frase: un'equazione è trascendente se non è algebrica.

 

Una definizione del genere è comprensibilmente poco significativa nel momento in cui non si conoscono le definizioni pregresse, quindi cerchiamo di esplicitare il concetto. Un'equazione trascendente è un'equazione i cui membri sono espressioni matematiche di varia natura: oltre a eventuali espressioni polinomiali, deve esserci almeno una funzione trascendente come le funzioni esponenziali, logaritmiche, goniometriche....

 

In base alle funzioni che intervengono per definire i membri di un'equazione trascendente, possiamo ad esempio menzionare:

 

- le equazioni esponenziali, in cui l'incognita compare all'esponente;

 

- le equazioni logaritmiche, caratterizzate dalla presenza dell'incognita all'interno di uno o più logaritmi;

 

- le equazioni goniometriche, nelle quali l'incognita compare nell'argomento di qualche funzione goniometrica.

 

Se in un'equazione si presentano diverse tipologie di funzioni, viene propriamente detta equazione trascendente mista.

 

Esempi di equazioni trascendenti

 

Vediamo alcuni esempi di equazioni trascendenti.

 

\sin(x)=1

 

è un'equazione trascendente goniometrica, per via della presenza dell'incognita all'interno del seno.

 

e^{x-3}=2^{x-3}

 

è un'equazione trascendente esponenziale, l'incognita infatti si manifesta all'esponente.

 

x+x^2=\ln(x)

 

è un'equazione trascendente mista. Oltre al logaritmo, è presente un polinomio di secondo grado.

 

Equazioni trascendenti intere, fratte, numeriche, letterali

 

Come accade per le equazioni algebriche, possiamo suddividere le equazioni trascendenti in:

 

equazioni trascendenti intere → l'incognita non compare in alcun denominatore;

 

equazioni trascendenti fratte → l'incognita si manifesta in almeno un denominatore;

 

- equazioni trascendenti numeriche → non compaiono altre lettere oltre all'incognita;

 

equazioni trascendenti letterali → compaiono altre lettere oltre all'incognita e fungono da parametri;

 

Attenzione! Le espressioni equazioni trascendenti intere e equazioni trascendenti fratte non sono formalmente corrette sebbene siano accettate nel linguaggio matematico, perlomeno in quello informale. La questione è piuttosto delicata perché un'espressione trascendente può mascherare un denominatore contenente l'incognita, di conseguenza non si può stabilire a priori se siamo in presenza di un'equazione fratta o meno.

 

Per fare un esempio

 

\tan(x)=0

 

sembrerebbe essere un'equazione intera. Per definizione, la tangente di x è il rapporto tra seno e coseno, pertanto la precedente si traduce in

 

\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=0

 

e da trascendente intera si è tramutata in una trascendente fratta.

 

Esempi di equazioni trascendenti numeriche, letterali, intere o fratte

 

\frac{e^{2x}+e^{x}}{2}=0

 

è un'equazione trascendente numerica intera. Osserviamo infatti che oltre all'incognita non sono presenti altre lettere che fungono da parametri, e ... no! e non è un parametro, bensì il numero di Nepero. ;)

 

\ln\left(\frac{x}{x+1}\right)=0

 

è un'equazione trascendente numerica fratta, infatti l'incognita è al denominatore dell'argomento logaritmico.

 

\sin(a x)=\frac{1}{2a}

 

è un'equazione trascendente letterale intera, infatti la lettera a funge da parametro.

 

\frac{ae^{x}+1}{e^{x}+a}=1

 

è un'equazione trascendente letterale fratta. Si può notare infatti che l'incognita x appare a denominatore e inoltre è presente un parametro a.

 

A proposito delle equazioni con radici o valori assoluti

 

Chiudiamo questa lezione con alcune precisazioni. Se avete letto con attenzione le tantissime definizioni, vi sarete accorti che mancano all'appello le equazioni con valore assoluto. Non ce ne siamo certo dimenticati! Equazioni di tale tipologia, insieme alle equazioni irrazionali, fanno parte della zona grigia cui facevamo riferimento nell'introduzione.

 

Le equazioni con valore assoluto, così come quelle irrazionali, possono essere sia algebriche che trascendenti in base alle espressioni matematiche che compaiono in esse: se è presente almeno una funzione trascendente allora le equazioni saranno trascendenti, algebriche in caso contrario.

 

Se intuitivamente qualcosa vi sembrasse strano in riferimento al valore assoluto, e alla possibilità che un'equazione con valori assoluti possa essere considerata irrazionale, vi basti osservare che

 

|x|=\sqrt{x^2} 

 

dunque il modulo è una delle operazioni implicitamente consentite dalla definizione di equazione algebrica irrazionale.

 

Sotto con gli esempi!

 

\left|\frac{x^2+2x}{x+3}\right|=x

 

è un'equazione algebrica perché non sono presenti espressioni trascendenti.

 

\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{x-3}{x-1}

 

è un'equazione algebrica perché priva di espressioni trascendenti.

 

|e^{x}-3|=1

 

è un'equazione trascendente per via della presenza dell'esponenziale.

 

|\ln(x-3)|=x

 

è un'equazione trascendente per via della presenza del logaritmo.

 

 


 

Abbiamo finalmente terminato questa lunghissima lezione sulla classificazione delle equazioni in un'incognita. Ci rendiamo conto che è difficile ricordare tutte le definizioni e che, a conti fatti, è più utile saper risolvere un'equazione che classificarla.

 

Nonostante ciò vi preghiamo di non sottovalutare né le definizioni né la classificazione generale, perché la visione di insieme in Matematica è fondamentale. È per questo motivo che abbiamo scelto di proporre la panoramica sui tipi di equazioni come ultima lezione; se l'avessimo collocata come incipit della sezione, sarebbe passata come una rassegna introduttiva e non come il vero punto d'arrivo della teoria.

 

Ricordatevi sempre che, in caso di necessità, potete avvalervi della barra di ricerca interna, oppure potete allenarvi con gli esercizi sulle equazioni, dettagliatamente risolti e commentati. ;)

 

 

Buono Studio!

Salvatore Zungri (A.K.A. Ifrit)

 

Lezione precedente


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