Equazioni non risolvibili algebricamente

Con l'espressione equazioni non risolvibili algebricamente (o equazioni non risolubili elementarmente) si intendono tutte quelle equazioni ad un'incognita che non possono essere risolte con i metodi algebrici elementari e che richiedono particolari strategie risolutive come il metodo grafico o i metodi iterativi.

 

Le equazioni non risolvibili algebricamente godono di una pessima fama sia tra gli studenti delle scuole superiori (capitano non di rado nei problemi della seconda prova di Matematica) sia tra gli universitari. L'avversione iniziale all'argomento è del tutto naturale ed è causata dalle più svariate problematiche che esamineremo nel corso della lezione.

 

La spiegazione si suddivide in due parti: nella prima chiariremo cosa sono le equazioni non risolubili elementarmente e forniremo il criterio necessario per riconoscerle. Nella seconda parte elencheremo i metodi e le tecniche con cui si studia questa tipologia di equazioni: il metodo grafico e i metodi iterativi. Concentreremo in particolare la nostra attenzione sul metodo grafico, mentre daremo qualche rapido cenno sui metodi iterativi (argomenti tipici dell'Analisi Numerica).

 

Nota: la corrispondente lezione dedicata alle disequazioni non risolvibili algebricamente è disponibile alla pagina del link.

 
 
 

Definizione di equazione trascendente non risolvibile algebricamente

 

Iniziamo dalla definizione di equazione non risolvibile algebricamente: è un'equazione che non può essere risolta con i metodi algebrici di base, o più precisamente che non può essere risolta in un numero finito di passaggi algebrici.

 

In altri termini, diciamo che un'equazione non può essere risolta algebricamente se non è possibile avvalersi dei metodi risolutivi che consentono di ricavare le eventuali soluzioni con un numero finito di passaggi algebrici. Non bisogna cadere in fraintendimenti causati dalla locuzione non risolvibile algebricamente: non significa che l'equazione non ammette soluzioni!

 

 

Criterio per individuare un'equazione non risolvibile algebricamente

 

Chiarita la definizione, è necessario stabilire un criterio che consenta di riconoscere le equazioni non risolvibili elementarmente da quelle che non lo sono. Non è certo un compito semplice, soprattutto per coloro non conoscono a dovere la teoria delle equazioni elementari.

 

La regola non è altro che una riformulazione della definizione stessa e può essere espressa nel modo seguente: un'equazione non è risolvibile algebricamente se e solo se non è riconducibile ad alcuna tipologia di equazioni di cui è noto il metodo risolutivo.

 

Evidentemente il criterio presenta difficoltà applicative che dipendono da diversi fattori: inesperienza, poca malizia matematica o ancora modeste abilità di calcolo. La sua utilità si manifesta esclusivamente se si ha piena padronanza della teoria delle equazioni elementari. Capite ora perché l'argomento è poco apprezzato dagli studenti? :P

 

 

Esempio 1

 

L'equazione esponenziale

 

x^x=e^{x}

 

il cui insieme di esistenza è individuato dalla condizione x>0 (cfr: y=x^x) sembrerebbe non rientrare in alcuna casistica nota, ma applicando il logaritmo ai due membri passiamo all'equazione equivalente

 

\ln(x^x)=\ln(e^{x})

 

Servendoci inoltre delle proprietà dei logaritmi, ricaviamo:

 

x\ln(x)=x \ \ \to \ \ x\ln(x)-x=0 \ \ \to \ \ x(\ln(x)-1)=0

 

Raccogliamo totalmente x e utilizziamo la legge di annullamento del prodotto, così da ottenere due equazioni

 

x=0 \ \ \ \vee \ \ \ \ln(x)-1=0

 

La soluzione x=0 non è accettabile perché appartiene all'insieme di esistenza, invece l'equazione logaritmica fornisce la soluzione x=e, accettabile perché soddisfa la condizione x>0.

 

Analizziamo con attenzione l'esempio. Siamo partiti da un'equazione che apparentemente non rientrava in alcuna casistica notevole, inducendoci a pensare che fosse un'equazione non risolvibile elementarmente. La rielaborazione algebrica ha però permesso di ricondurci a un'equazione facilmente risolvibile.

 

 

Esempio 2

 

Consideriamo l'equazione

 

x^x=e^x-1 \ \ \ \mbox{con} \ x>0

 

Sebbene sia molto simile a quella dell'esempio 1, non siamo in grado di ricondurci a un'equazione risolvibile algebricamente: possiamo applicare tutte le proprietà che conosciamo, tuttavia sarà impossibile ricondurla a una forma notevole.

 

 

Altri esempi: equazioni trascendenti... e non solo

 

A questo punto potreste pensare che le equazioni non risolvibili algebricamente debbano necessariamente presentare termini bizzarri. Le cose nella pratica non stanno esattamente così.

 

Da un lato le principali equazioni candidate a non poter essere risolte algebricamente sono le equazioni trascendenti, ossia equazioni che contengono termini non polinomiali e non esprimibili sotto forma di potenze e radici. La definizione di equazione trascendente sarebbe ben più dettagliata e ne parleremo nell'ultima lezione, dedicata ai tipi di equazioni.

 

x=\log(x)\ \ \ ;\ \ \ x=e^x\\ \\ x=\sin(x)\ \ \ ;\ \ \ x=\arctan(x)

 

sono tutti esempi di equazioni che non possono essere risolte con un numero finito di passaggi algebrici. Di contro, non è affatto vero che un'equazione trascendente non sia necessariamente risolubile algebricamente, basti pensare a tutte le tipologie di equazioni che abbiamo studiato fino a qui!

 

Esistono inoltre equazioni razionali intere o fratte che possono essere risolte con un numero finito di passaggi algebrici, ma che di fatto richiedono metodi estremamente avanzati (e difficilmente accessibili per chi non studia Algebra alla facoltà di Matematica). Un esempio:

 

x^3+x+1=0

 

Tale equazione può essere risolta algebricamente, ma nella pratica ci converrà studiarla con i metodi per le equazioni non risolvibili algebricamente.

 

Infine, esistono equazioni razionali intere o fratte di grado superiore al quarto per le quali non esiste alcun metodo che permetta di individuare le soluzioni in un numero finito di passaggi algebrici. Anche tali equazioni rientrano nella famiglia di equazioni non risolvibili algebricamente. Un esempio:

 

x^6+5x^5+4x^4+3x^3+2x^2+x+1=0

 

Come si risolve un'equazione non risolvibile algebricamente?

 

È il momento di entrare nel cuore della lezione e giustificare innanzitutto il titolo del paragrafo: com'è possibile risolvere un'equazione trascendente non risolvibile algebricamente? Il verbo risolvere sembrerebbe inappropriato e andrebbe sostituito con un'espressione che descriva meglio il problema, ma il retaggio storico e l'abuso di linguaggio (accettato anche negli ambienti universitari) ci costringono a rielaborare il significato di "risolvere un'equazione".

 

In questo contesto, con risolvere un'equazione non risolvibile algebricamente si intende:

 

- determinare l'insieme di esistenza delle soluzioni, ossia l'insieme dei valori che l'incognita può assumere senza che i termini dell'equazione perdano di significato;

 

- individuare le eventuali soluzioni approssimate o, in alternativa, gli intervalli cui esse appartengono. In casi veramente particolari è possibile individuare le soluzioni esatte.

 

In generale dovremo rinunciare alle soluzioni esatte perché non disponiamo di alcun procedimento algebrico che consenta di ricavarle in un numero finito di passi. La domanda dovrebbe sorgere spontanea: quali sono allora le tecniche per scovare le soluzioni approssimate?

 

Esistono diverse strategie che possiamo suddividere tra metodo grafico, che approfondiremo nel prosieguo della lezione, e metodi iterativi, di cui forniremo una panoramica generale senza entrare nei dettagli tecnici, non qui e non ora perlomeno.

 

Metodo grafico per le equazioni non risolubili algebricamente

 

Il metodo grafico è la tecnica che permette di determinare le soluzioni approssimate di una data equazione. Sebbene sia il più semplice da usare, la rappresentazione grafica presenta delle difficoltà intrinseche:

 

- è necessario tracciare minuziosamente il grafico delle funzioni coinvolte;

 

- l'accuratezza delle soluzioni approssimate dipende dalla precisione con cui si traccia il grafico. In termini più espliciti una buona rappresentazione grafica conduce a una buona approssimazione della soluzione esatta;

 

- può succedere che la regione di piano nella quale abbiamo rappresentato il grafico non sia sufficientemente ampia per trarre tutte le informazioni necessarie all'analisi. Proprio per evitare questo inconveniente, il metodo grafico è spesso accompagnato da considerazioni di tipo analitico, atte a garantire che all'infuori della regione di piano rappresentata non vi siano soluzioni.

 

Cionondimeno, il metodo possiede una qualità da non sottovalutare che consiste nella sua generalità. Il metodo grafico può essere infatti impiegato per risolvere qualsiasi tipologia di equazioni ed è dunque risolutivo sempre e comunque, tanto per equazioni trascendenti quanto per quelle algebriche risolvibili o non risolvibili algebricamente.

 

Consideriamo un'equazione espressa nella forma

 

F(x)=0

 

Passo 1. Determiniamo l'insieme di esistenza D, vale a dire l'insieme dei valori che l'incognita può assumere senza che l'equazione perda di significato.

 

Passo 2. Scriviamo l'equazione nella forma

 

f(x)=g(x)

 

avvalendoci dei principi di equivalenza, o ancora di altre proprietà algebriche che non modificano l'insieme delle soluzioni.

 

Poiché nella manipolazione algebrica c'è un ampio margine nella scelta per y=f(x),\ y=g(x), facciamo in modo che le espressioni analitiche individuino funzioni con grafici semplici da tracciare, così da poter applicare il metodo del grafico intuitivo. Qualora non fosse possibile, effettueremo due studi di funzione ridotto all'osso così da disporre dell'andamento qualitativo delle due funzioni.

 

Passo 3. Una volta rappresentati i grafici nel medesimo sistema di riferimento cartesiano, possono verificarsi tre casi:

 

(a) i due grafici si intersecano in un numero finito di punti. In tal caso le ascisse dei punti che soddisfano le condizioni di esistenza sono soluzioni dell'equazione, le altre sono invece da scartare. Se vi è un numero finito di soluzioni accettabili, l'equazione è determinata.

 

(b) I due grafici non si intersecano in alcun punto. In tal caso diremo che l'equazione è impossibile, perché l'insieme delle soluzioni è vuoto.

 

(c) I due grafici si intersecano in infiniti punti oppure si sovrappongono su un intervallo J contenuto in I. In entrambi i casi l'equazione è indeterminata.

 

Precisiamo che il terzo è un caso sporadico e lo abbiamo riportato per amore di completezza. ;)

 

 

Esempio 3

 

Consideriamo l'equazione trascendente

 

\ln(x+1)+\ln(x-1)-x+1=0

 

Essa non può essere ricondotta ad alcuna forma nota di equazioni elementari, pertanto procediamo con il metodo grafico determinando prima di tutto l'insieme di esistenza. Imponiamo che gli argomenti dei due logaritmi siano positivi, ottenendo così il sistema di disequazioni

 

\begin{cases}x+1>0 \\ x-1>0\end{cases}\ \to \ \begin{cases}x>-1\\ x>1\end{cases} \ \to \ x>1

 

da cui ricaviamo l'insieme di esistenza, espresso nelle notazioni degli intervalli, è D=(1,+\infty).

 

Serviamoci delle proprietà dei logaritmi per esprimere l'equazione nella forma

 

\ln((x+1)(x-1))-x+1=0 \ \ \to \ \ \ln(x^2-1)-x+1=0

 

e trasportiamo -x+1 al secondo membro

 

\ln(x^2-1)=x-1

 

In linea del tutto teorica potremmo tracciare il grafico delle funzioni y=\ln(x^2-1)\ \mbox{e}\ \ y=x-1, ma la funzione logaritmica richiederebbe un veloce studio di funzione. Se applichiamo l'esponenziale ai due membri invece ricaviamo l'equazione equivalente

 

e^{\ln(x^2-1)}=e^{x-1} \ \to \ x^2-1=e^{x-1}\ \ \ \mbox{con} \ x\in I

 

Così facendo ci riduciamo a funzioni graficamente ben più accessibili:

 

f(x)=x^2-1 \ \ \ ; \ \ \ g(x)=e^{x-1}

 

Il grafico di f(x) si ottiene osservando che y=x^2-1 è l'equazione della parabola di vertice V(-1,0), passante per i punti A_1(-1,0),\ A_2(1, 0) e con asse verticale.

 

Il grafico di g(x) si ricava traslando di un'unità verso destra quello della funzione esponenziale y=e^{x}.

 

Equazioni non risolvibili algebricamente

Osserviamo che i due grafici si intersecano in tre punti. Attenzione al simbolo di approssimazione

 

A\ \ \ \mbox{di ascissa}\ x_A\simeq -1\ \ \ \mbox{N.A.}\\ \\ B\ \ \ \mbox{di ascissa}\ x_B\simeq 1,8\ \ \ \mbox{accettabile}\\ \\ C\ \ \ \mbox{di ascissa}\ x_C\simeq 3,2\ \ \ \mbox{accettabile}

 

L'ascissa di ciascun punto si candida come soluzione approssimata, ma solo x_B\ \mbox{e} \ x_C sono accettabili perché rispettano la condizione di esistenza, al contrario x_A va scartata.

 

 

Attenzione alle notazioni: negli esercizi e nei problemi che coinvolgono soluzioni approssimate, ci limiteremo ad indicarne le approssimazioni una sola volta. Se dovremo effettuare conti espliciti, faremo riferimento alle approssimazioni (nell'esempio 1,8 e 3,2); se ci capiterà di dover menzionare le soluzioni esatte, faremo affidamento alla notazione simbolica (nell'esempio x_B,x_C).

 

 

Osservazioni sul metodo grafico

 

In generale una qualsiasi equazione f(x)=g(x) può essere interpretata come la risolvente del sistema in due incognite

 

\begin{cases}y=f(x)\\ y=g(x)\end{cases}

 

e lo si può dimostrare con logica analoga a quella del metodo del confronto già studiato per i sistemi lineari.

 

Dal punto di vista geometrico, le soluzioni del sistema rappresentano le coordinate (x_0,y_0) dei punti di intersezione delle due curve individuate dalle equazioni y=f(x)\ \mbox{e} \ y=g(x). L'ascissa x_0 (e non l'ordinata) di ciascun punto è in particolare soluzione della risolvente.

 

A ben vedere il metodo grafico per equazioni non risolvibili algebricamente non è altro che il metodo grafico per sistemi di equazioni. ;)

 

Cenni ai metodi Iterativi per le equazioni irrisolvibili con metodi elementari

 

Oltre a quello grafico, esiste una serie di metodi che consentono di determinare le eventuali soluzioni approssimate di un'equazione, detti metodi iterativi. Appartengono a questa classe il metodo di bisezione, il metodo di Newton, il metodo delle secanti e il metodo della falsa posizione.

 

Sebbene la trattazione teorica sia differente per ciascuno di essi, i vari metodi iterativi hanno caratteristiche comuni: partendo dalle condizioni iniziali (o condizioni di starting), generano una successione di numeri reali (x_k)_{k\in\mathbb{N}} che converge alla soluzione esatta dell'equazione al tendere di k all'infinito. Inoltre il valore del k-esimo termine della successione dipende da uno o più termini calcolati in precedenza.

 

In questa sede non riportiamo alcun approfondimento sui metodi iterativi. I motivi alla base di questa scelta sono essenzialmente due: in primo luogo non vogliamo appesantire troppo la lezione (diventerebbe estremamente lunga!); in secondo luogo, l'esposizione puntuale dei metodi iterativi richiede concetti e soprattutto teoremi propri dell'Analisi Numerica, che non trovano posto nell'Algebra di base.

 

 


 

Siamo giunti al termine della lezione, ma prima di salutarvi consigliamo di dare un'occhiata ai nostri esercizi svolti sulle equazioni irrisolvibili con i metodi algebrici. A tal proposito vi informiamo che la scheda di esercizi correlati (esercizi sul numero di soluzioni delle equazioni) non rientra nella categoria di esercizi sulle equazioni, bensì in quella di esercizi sullo studio di funzione.

 

Se siete in fase di ripasso e avete la necessità di controllare i risultati dei vostri problemi potete servirvi del tool sulla risoluzione di equazioni o eventualmente di quello per il grafico di funzioni online.

 

 

Buona studio!

Salvatore Zungri (A.K.A. Ifrit)

 

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