Identità

Un'identità in Matematica è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche uguali, e che dunque è verificata per qualsiasi valore dell'incognita nell'insieme di esistenza delle soluzioni. Le identità tra valori numerici sono sempre valide nell'insieme di esistenza delle soluzioni in cui sono definite.

 

Prima di proseguire lo studio delle equazioni e di addentrarci nei metodi che permettono di risolvere le varie tipologie, vogliamo definire un importante concetto matematico: la nozione di identità, intesa come uguaglianza tra due espressioni algebriche.

 

Sfortunatamente, quando si studiano le equazioni a partire dalla terza media e alle scuole superiori, le identità spesso non vengono spiegate a dovere. Poiché esse rivestono un ruolo importantissimo in Algebra, il risultato sono fraintendimenti continui ed errori banali in sede di verifica/esame, inconvenienti che noi ovviamente vorremmo evitarvi... ;) 

 
 
 

Il concetto di identità matematica

 

Che ne dite se partiamo subito da una definizione di identità, semplice e senza eccessivi formalismi? Diciamo che in Algebra una identità è una qualsiasi uguaglianza tra due espressioni algebriche uguali tra loro.

 

Qualche esempio:

 

x=x\\ \\ x^2+5x+1=x^2+5x+1\\ \\ 0=0\\ \\ 3=3

 

Come potete notare, abbiamo a che fare con un'identità (algebrica) quando ci troviamo di fronte a un'uguaglianza tra due membri identici. Il membro di destra e il membro di sinistra possono avere qualsiasi forma e coinvolgere qualsiasi operazione, purché siano uguali.

 

Identità intesa come equazione

 

Dalla precedente lezione (principi di equivalenza) sappiamo che un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche in cui compare un'incognita. Sappiamo inoltre che ogni equazione è caratterizzata da un insieme di esistenza delle soluzioni, vale a dire l'insieme in cui dobbiamo cercare i valori che risolvono l'equazione.

 

Ci domandiamo: ha senso considerare un'identità come un'equazione?

 

Nulla ci vieta di farlo. Se riguardiamo i primi due esempi, possiamo considerarli senza difficoltà come equazioni ad un'incognita (x). Per ciascuna di tali equazioni possiamo considerare un determinato insieme di esistenza delle soluzioni, e come abbiamo già anticipato possiamo considerare l'insieme dei numeri reali  \mathbb{R}, ossia sostanzialmente tutti i possibili numeri decimali (la scelta che adotteremo in tutte le lezioni del corso sulle equazioni).

 

In questi termini è facile intuire che un'identità come quelle dei primi due esempi sono verificate per qualsiasi valore dell'incognita x nell'insieme di esistenza delle soluzioni. Più brevemente, diremo che le identità sono sempre verificate. In modo del tutto analogo possiamo dire che:

 

- le identità sono equazioni risolte per ogni x nell'insieme di esistenza delle soluzioni;

 

- le identità sono equazioni indeterminate;

 

- l'insieme soluzione di un'identità coincide con l'insieme di esistenza delle soluzioni dell'identità.

 

Ovvio, no? Se riguardiamo i primi due esempi, quale che sia il valore che sostituiamo all'incognita otterremo sempre un'uguaglianza vera. Questa proprietà deriva direttamente dalla definizione di identità, che è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche identiche

 

x=1\ \ \ \to\ \ \ 1=1\\ \\ x=-\frac{3}{2}\ \ \ \to\ \ \ -\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}\\ \\ \\ x=1\ \ \ \to\ \ \ 1^2+5\cdot 1+1=1^2+5\cdot 1+1\\ \\ x=-\frac{3}{2}\ \ \ \to\ \ \ \left(-\frac{3}{2}\right)^2+5\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)^2+1=\left(-\frac{3}{2}\right)^2+5\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)^2+1

 

Anche qui, come nella precedente lezione, vi anticipiamo che certe identità intese come equazioni richiedono condizioni aggiuntive per far sì che esse abbiano senso dal punto di vista algebrico. Tali condizioni aggiuntive vengono dette condizioni di esistenza e hanno l'effetto di restringere l'insieme di esistenza delle soluzioni a un suo sottoinsieme.

 

Non preoccupatevene per il momento. Torneremo sull'argomento quando i tempi saranno maturi e ogniqualvolta sarà necessario. ;) In ogni caso, per avere un'idea, potete fare riferimento ai seguenti esempi:

 

x^{12}+1=x^{12}+1

 

È un'identità verificata \forall x\in\mathbb{R} (traduciamo i simboli matematici: per ogni x appartenente ad \mathbb{R}).

 

\frac{1}{x}=\frac{1}{x}

 

È un'identità verificata \forall x\in\mathbb{R},\ x\neq 0 (per ogni x appartenente ad \mathbb{R} e diverso da zero). In questo caso dobbiamo escludere x=0 dall'insieme di esistenza delle soluzioni perché non si può dividere per zero.

 

\sqrt{x}=\sqrt{x}

 

È un'identità verificata \forall x\in\mathbb{R},\ x\ge 0 (per ogni x appartenente ad \mathbb{R} e non negativo). Qui dobbiamo limitarci ai numeri reali positivi e a zero perché la radice quadrata è definita solamente per numeri non negativi.

 

Identità come equazioni senza incognite

 

Il discorso diventa molto interessante se consideriamo il terzo e il quarto esempio di identità che abbiamo scritto inizialmente:

 

0=0\\ \\ 3=3

 

È ovvio che tali uguaglianze siano vere: zero è uguale a zero, tre è uguale a tre, io sono io, tu sei tu. :)

 

È meno ovvio notare che, se inquadriamo tali uguaglianze in riferimento a un insieme di esistenza delle soluzioni, le identità prive di incognite possono essere considerate come equazioni. Più precisamente, come equazioni senza incognite.

 

Anche se sembra controintuitivo, possiamo considerare un'identità numerica del tipo

 

\mbox{numero}=\mbox{stesso numero}

 

come un'equazione con un insieme di esistenza delle soluzioni. Proprio perché l'identità non contiene al proprio interno l'incognita x, sarà verificata sempre e comunque, a prescindere dai possibili valori di x. In altri termini, è un'equazione che ammette come soluzioni tutti i possibili valori di x. Qui oltretutto non c'è alcun vincolo e possiamo considerare qualsiasi insieme di esistenza delle soluzioni: un'uguaglianza tra un numero e se stesso è un'equazione indeterminata.

 

Possiamo anche rovesciare il discorso: se consideriamo un'uguaglianza puramente numerica che non sia un'identità

 

\mbox{numero}=\mbox{numero diverso}

 

ad esempio

 

1=2

 

pur non dipendendo da un'incognita possiamo intenderla come un'equazione. Possiamo scegliere qualsiasi insieme di esistenza delle soluzioni ma la conclusione sarà sempre la stessa: non esiste alcun valore di x per cui l'uguaglianza è verificata. In altre parole: un'uguaglianza tra numeri diversi è un'equazione impossibile.

 

 

Utilità pratica delle equazioni senza incognite

 

Un'altra anticipazione per voi. Quando risolveremo le equazioni ci capiterà spessissimo di fare i calcoli e di ridurre le uguaglianze a equazioni senza incognite. Quando ci capiterà non cadremo dal pero e:

 

- guarderemo l'equazione senza incognita;

 

- terremo bene a mente l'insieme di esistenza delle soluzioni dell'equazione iniziale;

 

- concluderemo a seconda dei casi

 

\mbox{numero}=\mbox{stesso numero}\ \ \ \to\ \ \ \forall x\in\mbox{insieme di esistenza delle soluzioni}\\ \\ \mbox{numero}=\mbox{numero diverso}\ \ \ \to\ \ \ \not\exists x\in\mbox{insieme di esistenza delle soluzioni}

 

In altri termini: nel primo caso l'equazione è indeterminata, nel secondo l'equazione è impossibile. 

 

 


 

Nella lezione successiva apriremo i battenti con la prima tipologia di equazione e studieremo il metodo di risoluzione delle equazioni di primo grado. Come sempre, in caso di necessità vi invitiamo a usare la barra di ricerca interna per consultare tantissimi esercizi svolti e spiegati nel dettaglio dallo Staff. ;)

 

 

Arvedze, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente.......... Lezione successiva


Tags: definizione di identità algebrica - equazioni e identità.