Principi di equivalenza delle equazioni

Nella lezione introduttiva abbiamo spiegato cosa sono le equazioni in modo informale, cercando di descrivere il significato di un potente strumento matematico da un punto di vista non matematico. In questa lezione cambieremo registro: spiegheremo in modo rigoroso e preciso la definizione di equazione e introdurremo due importanti concetti fondamentali, i principi di equivalenza delle equazioni.

 

Procederemo con ordine. Innanzitutto descriveremo le equazioni nel dettaglio e le caratterizzeremo come uguaglianze tra espressioni algebriche. Introdurremo inoltre alcuni nomi che ci permetteranno di trattare le equazioni con estrema semplicità sia a livello teorico che pratico; infine arriveremo al cuore della lezione ed enunceremo il primo principio di equivalenza e il secondo principio di equivalenza, che ci consentiranno di studiare i vari tipi di equazioni e di imparare a risolverli.

 

Nota bene: questa lezione potrebbe sembrarvi astratta e fumosa, ma non lasciatevi ingannare. Vi suggeriamo di leggerla una prima volta senza eccessive pretese, e di tornare qui di tanto in tanto man mano che procederete nello studio. Vi assicuriamo che col passare del tempo avrete modo di apprezzarla sempre di più... ;)

 
 
 

Definizione di equazione

 

Abbiamo un'idea più o meno vaga di cosa sia un'equazione? Se sì, la definizione rigorosa non dovrebbe spaventarci più di tanto: chiamiamo equazione una qualsiasi uguaglianza tra due espressioni algebriche, della forma

 

\mbox{espressione-algebrica-}1=\mbox{espressione-algebrica-}2

 

Entrambe le espressioni algebriche possono contenere una o più lettere, ad esempio x,y,z,..., che chiameremo incognite.

 

In questa sezione di lezioni ci concentreremo principalmente sulle equazioni ad un'incognita, tali cioè che nelle due espressioni algebriche a sinistra e a destra dell'uguale compaia una sola incognita. In parole povere una sola lettera, eventualmente ripetuta.

 

Possiamo fare di meglio e scrivere una definizione di equazione ad un'incognita più precisa: diciamo che un'equazione ad un'incognita, che chiameremo x, è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche che possono presentare l'incognita x.

 

Sono esempi di equazioni ad un'incognita:

 

x+1=0\\ \\ x^2+5x=4x+2\\ \\ \frac{1}{x}=x\\ \\ \log(x^3)=\sqrt{x}\cdot e^x

 

Che significato hanno tali uguaglianze? Cosa rappresenta l'incognita x, e qual è il suo significato? Cosa possiamo e dobbiamo fare in presenza di un'equazione? 

 

Consideriamo un insieme numerico, ad esempio uno tra \mathbb{N} (numeri naturali), \mathbb{Z} (numeri relativi), \mathbb{Q} (numeri razionali) o \mathbb{R} (numeri reali). Fissiamone uno: \mathbb{R}, l'insieme dei numeri reali, quello che i meno esperti possono considerare come l'insieme di tutti i possibili numeri decimali.

 

Ora immaginiamo che l'incognita x possa assumere un qualsiasi valore reale, ossia che possa assumere il valore di qualsiasi numero decimale. Il significato di un'equazione in un'incognita è semplice: è un'uguaglianza che dipende da un'incognita x, che può assumere qualsiasi valore nell'insieme di esistenza delle soluzioni (il nostro \mathbb{R}). I valori che, sostituiti ad x, rendono vera l'uguaglianza prendono il nome di soluzioni dell'equazione.

 

Un esempio

 

x+1=0

 

L'incognita x può assumere qualsiasi valore nell'insieme di esistenza delle soluzioni, che se non diversamente precisato è da intendersi come l'insieme dei numeri reali \mathbb{R}. Tale equazione ammette come unica soluzione

 

x=-1

 

infatti se sostituiamo il valore -1 al posto di x, ricaviamo

 

-1+1=0

 

che è un'uguaglianza verificata.

 

Osservazione (nome dell'incognita)

 

Noi abbiamo chiamato l'incognita con la lettera x, ma nulla ci vieta di indicarla con una qualsiasi altra lettera, come ad esempio a,b,c,x,y,z, se non addirittura con un nome. \mbox{Paperino}, perché no? La scelta della lettera x è frutto di ragioni storiche ed è dettata da una comoda convenzione universale.

 

Osservazione (a proposito dell'insieme di esistenza delle soluzioni)

 

Nulla vieta di considerare come insieme di esistenza delle soluzioni un insieme diverso da \mathbb{R}, e in effetti è ciò che si fa negli studi di Algebra più avanzati. Cionondimeno in terza media, alle scuole superiori e all'università, se non diversamente indicato si intende implicitamente che l'insieme di esistenza delle soluzioni sia \mathbb{R}.

 

Possibili soluzioni di un'equazione ad una incognita

 

Cosa significa risolvere un'equazione? Niente di complicato. Risolvere un'equazione vuol dire individuarne tutti i possibili valori appartenenti all'insieme di esistenza delle soluzioni. In gergo: individuare l'insieme delle soluzioni dell'equazione, detto anche insieme soluzione dell'equazione, che chiaramente è un sottoinsieme dell'insieme di esistenza delle soluzioni.

 

Per farlo si procede con metodi che nella pratica dipendono dal tipo di equazione considerata (e che studieremo uno ad uno nelle lezioni successive), e che si basano su due principi comuni di cui parleremo tra un attimo.

 

A questo punto potrebbe sorgere spontanea una domanda: quante soluzioni può ammettere un'equazione ad un'incognita? Ci sono sostanzialmente tre possibilità.

 

1) nessuna soluzione nell'insieme di esistenza delle soluzioni → si dice che l'equazione è impossibile (nell'insieme di esistenza delle soluzioni). In questo caso l'insieme delle soluzioni è l'insieme vuoto e si scrive

 

\not\exists x\in\mathbb{R}\ \ \ \mbox{oppure}\ \ \ S=\emptyset

 

dove i simboli matematici \not\exists e \in si leggono rispettivamente come non esisteappartenente.

 

2) Un numero finito di soluzioni nell'insieme di esistenza delle soluzioni → si dice che l'equazione è determinata (nell'insieme di esistenza delle soluzioni). In tal caso l'insieme delle soluzioni ha cardinalità finita (un numero finito di elementi) e ne possiamo scrivere esplicitamente gli elementi, oppure indicarlo per elencazione

 

x=\mbox{valore}\ \ \ \mbox{oppure}\ \ \ S=\{\mbox{valore}\}

 

3) Un numero infinito di soluzioni nell'insieme di esistenza delle soluzioni → si dice che l'equazione è indeterminata (nell'insieme di esistenza). In tale eventualità l'insieme delle soluzioni ha un numero infinito di elementi e coincide con l'insieme di esistenza delle soluzioni; lo potremo indicare in linguaggio simbolico o per caratteristica

 

\forall x\in\mathbb{R}\ \ \ \mbox{oppure}\ \ \ S=\mathbb{R}

 

dove i simboli matematici \forall e \in si leggono rispettivamente come per ogni e appartenente.

 

Come vedremo nelle lezioni a seguire, nel caso 2) lo specifico numero di soluzioni dipende dal tipo di equazione considerata. In altre parole ci sono tipi di equazioni che, nel caso siano determinate, ammettono una ed una sola soluzione; altri tipi di equazioni, nel caso siano determinate, ammettono due soluzioni e due soltanto... e così via.

 

Vi anticipiamo inoltre che alcune tipologie di equazioni richiederanno un passo in più nella loro risoluzione: oltre a calcolare le eventuali soluzioni, potremmo imbatterci in espressioni algebriche che ci costringeranno a imporre specifiche condizioni di esistenza delle soluzioni. Tali condizioni avranno l'effetto di restringere l'insieme di esistenza delle soluzioni iniziale a suo sottoinsieme. Non preoccupatevene per il momento, è una pura e semplice anticipazione che riprenderemo ogniqualvolta sarà necessario. ;)

 

Primo e secondo principio di equivalenza delle equazioni

 

Siamo pronti per gettare le fondamenta dei metodi di risoluzione delle equazioni, che studieremo nelle lezioni successive. L'idea di base per determinare le soluzioni di un'equazione prevede di procedere per passaggi successivi, in modo da semplificare le espressioni algebriche e ridursi a un'opportuna forma su cui poter applicare una specifica formula risolutiva. Ebbene, come facciamo a semplificare le espressioni algebriche che costituiscono un'equazione? Ci affideremo a due fondamentali principi di equivalenza.

 

Definizione (equazioni equivalenti)

 

Chiamiamo equazioni equivalenti due o più equazioni che ammettono lo stesso insieme soluzione.

 

Definizione (membro sinistro e membro destro)

 

Chiamiamo membro sinistro e membro destro rispettivamente l'espressione algebrica a sinistra e a destra dell'uguale.

 

Primo principio di equivalenza

 

Il primo principio di equivalenza stabilisce che, data un'equazione di qualsiasi tipo, se sommiamo o sottraiamo a entrambi i membri una medesima quantità senza alterare l'insieme di esistenza delle soluzioni, otteniamo una nuova equazione equivalente alla precedente.

 

Secondo principio di equivalenza

 

Il secondo principio di equivalenza stabilisce che, data un'equazione di qualsiasi tipo, se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri per una stessa quantità diversa da zero e in modo tale da non alterare l'insieme di esistenza delle soluzioni, otteniamo una nuova equazione equivalente alla precedente.

 

Esempi sui principi di equivalenza

 

A) Se consideriamo l'equazione

 

x+5=3

 

il suo insieme di esistenza delle soluzioni è \mathbb{R}. Se sottraiamo a sinistra e a destra 5, l'insieme di esistenza delle soluzioni non viene modificato e continua ad essere \mathbb{R}, per cui ricaviamo un'equazione equivalente alla precedente:

 

x+5-5=3-5

 

che possiamo riscrivere nella forma

 

x=-2

 

Ohibò! Questa è una nuova equazione ed evidentemente ammette come insieme soluzione S=\{-2\}, infatti

 

-2=-2

 

Il primo principio ci garantisce che -2 è anche soluzione dell'equazione assegnata inizialmente, ma se non ci fidiamo possiamo sostituire tale valore in luogo dell'incognita e vedere cosa succede:

 

\overbrace{x}^{-2}+5=3\ \ \ \to\ \ \ -2+5=3\ \ \ \to\ \ \ 3=3\ \mbox{vero}!

 

B) Consideriamo l'equazione

 

\frac{x}{2}=3

 

Moltiplichiamo entrambi i membri per 2, il che ci consente di passare a un'equazione equivalente

 

2\cdot \frac{x}{2}=2\cdot 3

 

ossia

 

x=6

 

che, come avrete certamente intuito, è l'unica soluzione dell'equazione proposta grazie al secondo principio di equivalenza.

 

L'unica parte che potrebbe sembrare oscura negli enunciati dei due principi di equivalenza e quella che recita: "senza alterare l'insieme di esistenza delle soluzioni". Non corriamo inutilmente: ne parleremo dettagliatamente al momento opportuno. ;)

 

 


 

Ribadiamo ciò che abbiamo scritto all'inizio: non considerate questa lezione come un'inutile pappardella teorica e tornate a leggerla man mano che proseguirete nello studio delle equazioni. Vi sveliamo un segreto: oltre ai classici errori di distrazione, la maggior parte delle difficoltà che si manifestano negli esercizi sono figlie di basi teoriche poco solide. Non fatevi nemmeno spaventare: la calma e la pazienza sono virtù irrinunciabili per padroneggiare (e apprezzare) la Matematica. :)

 

Nella lezione successiva parleremo del concetto di identità; nel frattempo, se volete giochicchiare, potete usare il tool per risolvere le equazioni online. ;)

 

 

Güle güle, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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