Problemi con le equazioni
I problemi con le equazioni sono esercizi in cui si richiede di tradurre la traccia in un'opportuna equazione, la cui soluzione coincide con la soluzione del problema.
Dopo aver studiato le equazioni di primo grado vogliamo staccarci per un attimo dalla classificazione "in astratto" delle equazioni e vedere qualche esempio di applicazione pratica. Faremo di più: in questa semplice lezione vi parleremo dei problemi da risolvere con le equazioni, concentrandoci sul caso particolare di primo grado.
Questo genere di esercizi è oggetto di studio in terza media ma ha un'enorme importanza nell'intera carriera degli studenti (oseremmo dire: nella vita!). Vedremo infatti che le equazioni non sono un argomento astratto, bensì uno strumento che può permetterci di risolvere tantissimi tipi di problemi, che possono riguardare qualsiasi altra disciplina di studio nonché la vita di tutti i giorni, in ogni suo possibile aspetto. ;)
Introduzione ai problemi con le equazioni
Nella sezione di Algebra per le Medie abbiamo visto i vari metodi risolutivi dei problemi matematici con il metodo grafico. Vi ricordate ad esempio i problemi con i segmenti?
Dopo aver studiato le equazioni possiamo introdurre un nuovo metodo - il vero metodo! - per la risoluzione dei problemi aritmetici, algebrici o geometrici, ossia procedere alla risoluzione dei problemi utilizzando le equazioni. Questo approccio è molto utile perché è il più semplice possibile, e una volta imparato sarà l'unico e il solo che utilizzerete.
Se vi state domandando perché fino ad oggi avete dovuto imparare dei metodi non definitivi, ebbene sappiate che lo studio della Matematica richiede i propri tempi. Nei primi due anni di scuola media non si dispone di sufficienti prerequisiti per poter apprendere il vero metodo di risoluzione dei problemi aritmetici, algebrici e geometrici, ma ora che abbiamo iniziato a studiare le equazioni possiamo procedere. :)
Cosa sono i problemi con le equazioni?
Immaginate di dover risolvere un problema in cui, disponendo di alcuni dati, dovete determinare una quantità incognita. Ad esempio:
- Giorgio ha 11 matite, ossia 3 matite più un quarto delle matite di Andrea. Quante matite ha Andrea?
- Tre fratelli hanno ciascuno tre euro in più del fratello minore. Sapendo che in totale hanno 40 euro e 20 centesimi, quanti soldi ha il fratello più grande?
- La grandezza 
soddisfa la proporzione 
. Qual è il suo valore?
- Il doppio di un numero naturale diminuito della sua metà è uguale a 20. Qual è il numero?
- Comprando 5 mele si ottiene uno sconto del 15%, pari a 36 centesimi. Quanto costa una mela?
Quelli che abbiamo elencato sono esempi di problemi con le equazioni di primo grado, ed è l'unica tipologia di cui ci occuperemo in questa lezione.
Come risolvere i problemi con le equazioni
Il procedimento per risolvere un problema con le equazioni consiste di pochi, semplici passaggi. Volendolo sintetizzare, potremmo dire che tutto si riduce a:
- tradurre correttamente il testo nella corrispondente equazione;
- risolvere l'equazione.
Più dettagliatamente, le fasi per la risoluzione dei problemi con le equazioni prevedono di...
1) Leggere con attenzione il testo del problema
Anche più volte se necessario! Per cominciare col piede giusto dobbiamo identificare con esattezza i dati e comprendere la logica della traccia.
2) Scegliere l'incognita
Solitamente, soprattutto per i problemi più semplici, l'incognita va scelta in modo che corrisponda al dato richiesto dal problema. Per non peccare di originalità ;) in genere viene indicata con la lettera .
3) Tradurre il testo nell'equazione risolutiva
Vale a dire, scrivere un'equazione che traduca in linguaggio simbolico il testo del problema. A costo di rileggere la traccia più e più volte, dobbiamo assicurarci che ci sia una perfetta corrispondenza tra ciò che esprime il testo e il significato dell'equazione.
La traduzione ruota tutta intorno all'incognita e a come essa si collega con gli altri dati del problema.
4) Risolvere l'equazione come visto nella lezione sulle equazioni di primo grado.
5) Verifica conclusiva: discutere l'accettabilità della soluzione.
In altri termini: la soluzione che abbiamo determinato ha senso nei confronti del problema? Se ad esempio il problema chiede di trovare la lunghezza del lato di un pentagono, e otteniamo come soluzione un numero negativo, dal momento che la misura di un lato deve essere positiva la soluzione non sarà accettabile.
A tal proposito non dimenticatevi che non stiamo risolvendo un'equazione fine a se stessa, piuttosto la stiamo usando come strumento per risolvere un problema con un significato ben preciso.
Esempi sulla risoluzione dei problemi con le equazioni
Teniamo bene a mente lo schema per la risoluzione dei problemi con le equazioni e vediamo come risolvere gli esempi che abbiamo menzionato in precedenza. ;)
Esempio 1
Giorgio ha 11 matite, ossia 3 matite più un quarto delle matite di Andrea. Quante matite ha Andrea?
Svolgimento: scegliamo come incognita il numero di matite di Andrea, e traduciamo il testo in equazione. Analizziamolo pezzo per pezzo:
Giorgio ha 11 matite...
Il primo dato è il numero di matite di Giorgio.
... ossia 3 matite più un quarto delle matite di Andrea
"Ossia" ha il significato di "uguale a". La traccia ci suggerisce la seguente equazione risolutiva:
Risolvendola otteniamo senza sforzi la soluzione del problema:
La soluzione è accettabile perché è coerente col significato dell'incognita (numero di matite).
Esempio 2
Tre fratelli hanno ciascuno tre euro in più del fratello minore. Sapendo che in totale hanno 40 euro e 20 centesimi, quanti soldi ha il fratello più grande?
Svolgimento: scegliamo come incognita la quantità di soldi del fratello più grande, e rileggiamo il testo.
Tre fratelli hanno ciascuno tre euro in più del fratello minore...
... Sapendo che in totale hanno 40 euro e 20 centesimi
Dall'analisi della traccia capiamo di dover impostare un'equazione in cui dobbiamo uguagliare la somma dei capitali dei tre fratelli, espressa in termini dell'incognita , alla quantità di denaro totale, che è 40 euro e 20 centesimi.
Per scrivere la somma dei soldi di ciascun fratello in funzione dei soldi del fratello maggiore, ci serviamo dell'informazione
Tre fratelli hanno ciascuno tre euro in più del fratello minore...
Soldi del fratello maggiore:
Soldi del fratello intermedio: 
Soldi del fratello minore: 
Il più è fatto, non ci resta che impostare l'equazione risolutiva
e risolverla
La soluzione è accettabile perché è coerente con il significato dell'incognita (quantità di denaro in euro).
Esempio 3
La grandezza soddisfa la proporzione . Qual è il suo valore?
Svolgimento: questo problema di primo grado è piuttosto semplice perché, a ben vedere, non richiede particolari traduzioni. Il testo ci fornisce una proporzione:
Dobbiamo semplicemente tradurla in un'equazione di primo grado usando la proprietà fondamentale (il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi)
e risolverla
Anche in questo caso la soluzione è accettabile, infatti nel testo si menziona una grandezza non meglio precisata.
Esempio 4
Il doppio di un numero naturale diminuito della sua metà è uguale a 20; qual è il numero?
Svolgimento: se indichiamo con il numero da trovare, il suo doppio è 
e la sua metà è 
.
L'equazione risolutiva si ottiene traducendo in simboli il testo del problema:
il doppio di un numero naturale 
diminuito 
della sua metà 
è uguale a 20 
L'equazione risolutiva è quindi:
Risolviamola. Svolgiamo i conti a primo membro calcolando il denominatore comune
Dal momento che 
non è un numero naturale (come invece richiesto dal problema) possiamo concludere che il problema non ha soluzioni.
Esempio 5
Comprando 5 mele si ottiene uno sconto del 15%, pari a 36 centesimi. Quanto costa una mela?
Svolgimento: essendo un po' contorto, questo esempio richiede estrema attenzione. Scegliamo come incognita il prezzo di una singola mela e ragioniamo sulle varie parti del testo:
Comprando 5 mele si ottiene uno sconto del 15%...
Lo sconto del 15% si riferisce al prezzo delle 5 mele. Il prezzo di 5 mele è 5 volte il prezzo di una mela, ossia 
Comprando 5 mele si ottiene uno sconto del 15%... 
Molto meglio esprimere la percentuale sotto forma di frazione, per poi ridurla ai minimi termini
... pari a 36 centesimi
Lo sconto del 15% sulle 5 mele ammonta a 36 centesimi, quindi l'equazione risolutiva è
e in conclusione il prezzo di una mela è pari a 48 centesimi. Un po' cara... ;)
Problemi con le equazioni di primo grado, ma non solo!
Negli esempi abbiamo proposto alcuni problemi che possono essere ricondotti a equazioni di primo grado. Nelle successive lezioni studieremo tanti altri tipi di equazioni, più o meno complicati, e i relativi metodi di risoluzione.
Ciò che ci preme sottolineare in questa lezione è che le equazioni non sono esercizi astratti che restano vincolati nel mondo della Matematica: esse sono veri e propri strumenti che ci permetteranno di risolvere tantissimi tipi di problemi, molti dei quali estremamente concreti.
Naturalmente non tutti i problemi si ricondurranno alla famiglia di equazioni di primo grado, ma vi assicuriamo che:
- se imparerete a risolvere le varie tipologie di equazioni che studierete,
- e se vi abituerete a tradurre correttamente le tracce dei problemi in equazioni;
allora sarete in grado di risolvere tantissimi problemi pratici in qualsiasi campo di studio :)
Un ultimo esempio
Tornando ai problemi di primo grado, che ne dite di un esempio un po' più leggero? Consideriamo il seguente indovinello: un mattone pesa un chilo più mezzo mattone: quanto pesa il mattone?
Svolgimento: l'unica difficoltà riguarda la traduzione del testo in un'equazione che sia coerente ad esso. Leggiamo attentamente la traccia:
un mattone pesa ...
Ciò significa che la restante parte della frase esprime il peso del mattone. Chiamiamolo 
, che rivestirà il ruolo di incognita.
... un chilo più mezzo mattone.
La traccia sta esprimendo il peso del mattone come somma di due parti: il primo addendo è 1 kg, il secondo è il peso di mezzo mattone. Traduciamo il tutto in un'equazione:
da cui ricaviamo facilmente
Le equazioni di primo grado ci hanno permesso di risolvere facilmente il celebre indovinello del mattone, che pesa in tutto 2 chilogrammi.
Nella lezione successiva ci occuperemo delle equazioni fratte di primo grado. Nel frattempo vi invitiamo a usare la barra di ricerca interna per consultare tantissimi esercizi svolti e spiegati nel dettaglio dallo Staff: tra le altre cose, avete a disposizione un'intera scheda di esercizi svolti sui problemi di primo grado. ;)
Arvedze, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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