Equazioni irrazionali

Le equazioni irrazionali sono definite come equazioni in cui l'incognita compare sotto radice. Più precisamente, un'equazione è irrazionale se è individuata da operazioni tra polinomi di cui almeno uno tra essi, non costante, è elevato a una potenza con esponente fratto.

 

In questa lezione forniremo una classificazione generale e spiegheremo il metodo di risoluzione delle equazioni irrazionali, per ciascuna tipologia, in modo da fornire uno schema risolutivo il più completo possibile. Come vedremo l'indice di radice, le condizioni di esistenza e l'eventuale presenza di due o più radici giocheranno un ruolo fondamentale nella scelta della tecnica risolutiva.

 

Per completare la spiegazione proporremo un esempio svolto per ciascun tipo di equazione irrazionale, e infine faremo un piccolo accenno sulle equazioni irrazionali fratte.

 

Nota: la corrispondente lezione dedicata alle disequazioni irrazionali è disponibile alla pagina dell'omonimo link.

 

Cosa sono le equazioni irrazionali

 

La prima e più intuitiva definizione di equazione irrazionale prevede di definirla come una qualsiasi equazione in cui l'incognita compare come argomento di una radice, ma possiamo fare di meglio. Nella teoria delle equazioni si classificano come irrazionali le equazioni in cui compaiono le operazioni tra polinomi e in cui almeno uno dei polinomi non costanti è elevato a una potenza con esponente fratto. In accordo con la teoria dei radicali, ciò significa che l'incognita x deve comparire in almeno un polinomio sotto radice.

 

Possiamo definire la forma normale di un'equazione irrazionale come

 

\sqrt[n]{f(x)}=g(x)

 

dove f(x),g(x) sono polinomi a coefficienti reali.

 

Per questo tipo di equazioni siamo costretti a discutere due procedimenti diversi, a seconda che l'indice di radice n sia pari o dispari.

 

Equazioni irrazionali con radice di indice pari

 

Immaginiamo di dover risolvere l'equazione irrazionale con indice pari

 

\sqrt[n]{f(x)}=g(x)\ \ \ (n\mbox{ pari})

 

dove f(x),g(x) sono polinomi a coefficienti reali.

 

Il primo passo è piuttosto intuitivo: vogliamo liberarci della radice mediante un opportuno elevamento a potenza, ma dobbiamo procedere con cautela. Innanzitutto imporremo le condizioni di esistenza: poiché la radice ha indice pari, essa è ben definita soltanto se l'argomento è non negativo (maggiore o uguale a zero), il che si traduce nella risoluzione della disequazione

 

f(x)\geq 0 

 

Se state pensando che ciò sia sufficiente per eliminare la radice, mani in alto! C'è un ulteriore aspetto da prendere in considerazione. Poiché per definizione una radice con indice pari assume solamente valori positivi o nulli, se elevassimo entrambi i membri alla n rischieremmo di ampliare l'insieme di esistenza delle soluzioni. In parole povere rischieremmo di ottenere soluzioni non accettabili, perché le potenze con esponente pari non preservano il segno della base.

 

Per i precedenti motivi dobbiamo anche aggiungere la cosiddetta condizione di concordanza dei segni

 

g(x)\geq 0

 

Con queste premesse possiamo elevare entrambi i membri dell'equazione all'esponente n, cosicché lo schema risolutivo per le equazioni irrazionali con indice pari si può riassumere nel seguente sistema

 

\begin{cases}f(x)\geq 0\ \ \ \mbox{condizione di esistenza}\\ g(x)\geq 0\ \ \ \mbox{condizione di concordanza dei segni}\\ f(x)=[g(x)]^n\end{cases}

 

e non dovremo fare altro che risolvere l'equazione, per poi confrontare le soluzioni ottenute con il sistema di disequazioni tra la condizione di esistenza e quella di concordanza. In altri termini le soluzioni sono accettabili se e solo se soddisfano sia la condizione di esistenza che quella di concordanza.

 

Equazioni irrazionali con radice di indice dispari

 

Passiamo alla risoluzione di un'equazione irrazionale con indice dispari, del tipo

 

\sqrt[n]{f(x)}=g(x)\ \ \ (n\mbox{ dispari})

 

con f(x),g(x) polinomi a coefficienti reali.

 

Un'equazione del genere è nettamente più immediata rispetto al caso pari. Poiché infatti le radici con indice dispari ammettono radicandi con segni qualsiasi, non è richiesta alcuna condizione di esistenza; inoltre, poiché una radice con indice dispari assume un valor con lo stesso segno del radicando, essa può assumere valori di segno qualsiasi e non è richiesta alcuna condizione di concordanza dei segni. Un modo equivalente per capirlo prevede di osservare che le potenze con esponente dispari preservano il segno della base.

 

Morale della favola: non dovremo fare altro che elevare entrambi i membri all'esponente n e risolvere l'equazione

 

f(x)=[g(x)]^n

 

e accettare tutte le soluzioni.

 

Equazioni irrazionali con più radici

 

Fin qui abbiamo visto il metodo per risolvere le equazioni irrazionali con indice pari o dispari in forma normale. Noi però sappiamo che l'Algebra non è tutta rose e fiori, dunque l'equazione potrebbe non presentarsi sin da subito in forma normale e dovremmo innanzitutto ridurla.

 

I possibili casi sono veramente tanti e dobbiamo inevitabilmente procedere per passi. Al di là della presenza di eventuali termini fratti, di cui per ora non ci occupiamo, il grosso del lavoro si limita a capire come gestire le equazioni irrazionali con più radici.

 

In presenza di un'equazione irrazionale con due radici, può capitare...

 

1) Che le due radici abbiano lo stesso indice.

 

Imponiamo sin da subito le condizioni di esistenza - una per ogni radice con indice pari. Successivamente cercheremo di ridurci alla forma normale isolando le due radici, in modo che una si trovi al membro di sinistra da sola e l'altra si trovi al membro di destra.

 

Prima di elevare entrambi i membri al comune indice di radice è fondamentale aver separato le due radici, altrimenti nello sviluppo delle potenze (quadrato di binomio, cubo di binomio, ...) i prodotti misti produrrebbero nuove radici! Si tratta di un trucco che possiamo apprezzare dal seguente esempio, in cui tralasciamo completamente le condizioni di esistenza e di concordanza:

 

\\ \sqrt{x}+\sqrt{x+1}=0\ \ \ \overbrace{\to}^{\mbox{alla } 2^a}\ \ \ x+(x+1)+2\sqrt{x}\sqrt{x+1}=0\\ \\ \sqrt{x}=-\sqrt{x+1}\ \ \ \overbrace{\to}^{\mbox{alla } 2^a}\ \ \ x=x+1

 

Non è finita, perché prima di elevare entrambi i membri all'indice n dovremo imporre le condizioni di concordanza:

 

- se l'indice è dispari, nessun problema: non è richiesta alcuna CCS;

 

- se l'indice è pari è richiesto un passaggio in più. Isoleremo una delle due radici a sinistra e tutto il resto a destra; imporremo la condizione di concordanza dei segni sul membro di sinistra, il che ahinoi potrebbe tradursi in una disequazione irrazionale da risolvere a parte. Eleveremo entrambi i membri al quadrato ed eventualmente ripeteremo il procedimento da capo, in modo da ricondurci alla forma normale delle equazioni irrazionali.

 

Un esempio sul caso più impegnativo

 

\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=1

 

Condizioni di esistenza: x\geq 0,\ x+1\geq 0.

 

\sqrt{x+1}=1-\sqrt{x}

 

Condizione di concordanza dei segni: 1-\sqrt{x}\geq 0

 

x+1=1-2\sqrt{x}+x

 

Reiteriamo il procedimento. La CE relativa alla radice è già inclusa nelle precedenti

 

\sqrt{x}=0

 

Non serve alcuna condizione di concordanza dei segni, perché il membro di destra ha segno costante ed è accettabile (0\geq 0).

 

x=0

 

che è accettabile perché consentita dalle CE e dalle CCS imposte nello svolgimento.

 

 

2) Che le due radici abbiano indici diversi, del tipo

 

\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[m]{g(x)}

 

Il procedimento e gli aspetti delicati su cui dobbiamo prestare attenzione sono pressoché gli stessi rispetto al punto 1). Analizzeremo caso per caso, ragionando su ogni singolo passaggio, domandandoci quali condizioni di esistenza e di concordanza sono richieste e cercando la via algebricamente più conveniente. L'unica differenza riguarda l'elevamento a potenza dei due membri: dovremo infatti elevarli al minimo comune multiplo degli indici delle radici, in modo da essere sicuri di eliminarle entrambe.

 

 

Riguardo al caso di equazioni irrazionali con più di due radici procederemo con la stessa logica di due radici: divide et impera. Vi consigliamo di non focalizzarvi sui singoli schemi risolutivi, bensì sul significato dei singoli passaggi. Il trucco è semplice: ricordare il significato delle condizioni di esistenza, quello delle condizioni di concordanza e cercare la via algebricamente più breve. ;)

 

Esempi sulle equazioni irrazionali

 

Abbiamo preferito proporre tutti gli esempi in un unico blocco in accordo con la filosofia del miglior metodo risolutivo per le equazioni irrazionali. Dobbiamo basarci sul ragionamento e non sulla memoria. :)

 

 

Esempio 1

 

\sqrt{x+2}=5 

 

È presente una sola radice con indice pari. Imponiamo la condizione di esistenza sul radicando:

 

x+2\geq 0\ \ \to\ \ x\geq -2

 

Dovremmo imporre la condizione di concordanza dei segni (il secondo membro deve essere maggiore o uguale a zero). Poiché è costante, la CCS è del tutto superflua

 

5\geq 0\ \ \to\ \ \forall x

 

Eleviamo al quadrato entrambi i membri

 

x+2=25\ \ \to\ \ x=23

 

che, per confronto con le CE, è accettabile.

 

 

Esempio 2

 

\sqrt[3]{x^2+5x}=-2

 

Equazione irrazionale con radice con indice dispari. Non dobbiamo imporre alcuna condizione di esistenza né di concordanza dei segni e possiamo elevare entrambi i membri al cubo

 

x^2+5x=-8\ \ \to\ \ x^2+5x+8=0

 

Otteniamo un'equazione di secondo grado

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{25-32}}{2}

 

Poiché il discriminate è negativo, l'equazione è impossibile.

 

 

Esempio 3

 

\sqrt[8]{x+1}=-1

 

Abbiamo un'equazione irrazionale con indice pari. A un occhio esperto risulta evidente che l'equazione è impossibile, perché stiamo confrontando un membro non negativo (la radice) con un membro negativo (-1). I meno esperti possono scoprirlo senza difficoltà con un paio di passaggi: imporranno le condizioni di esistenza

 

x+1\geq 0\ \ \to\ \ x\geq -1

 

e, alla condizione di concordanza dei segni, si accorgeranno che qualcosa non quadra

 

-1\geq 0\ \ \to\ \ \not\exists x\ \ \to\ \ \mbox{equazione impossibile}

 

 

Esempio 4

 

\sqrt{x^2+2x}=x-3

 

Equazione irrazionale con indice pari. Sotto con la condizione di esistenza, che si traduce in una disequazione di secondo grado

 

x^2+2x\geq 0\ \ \to\ \ x\leq -2\ \vee\ x\geq 0

 

e con la condizione di concordanza dei segni, che corrisponde a una disequazione di primo grado

 

x-3\geq 0\ \ \to\ \ x\geq 3

 

Il sistema tra le due condizioni fornisce l'insieme di esistenza delle soluzioni

 

\begin{cases}x\leq -2\ \vee\ x\geq 0\\ x\geq 3\end{cases}\ \ \to\ \ x\geq 3

 

Eleviamo entrambi i membri al quadrato

 

x^2+2x=(x-3)^2\\ \\ x^2+2x=x^2-6x+9\\ \\ 8x=9\ \to\ x=\frac{9}{8}

 

Poiché la soluzione non è accettabile, concludiamo che l'equazione è impossibile.

 

 

Esempio 5

 

\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^2+1}=x

 

Si tratta di un'equazione irrazionale con due radici con lo stesso indice (pari). Prima di tutto, le condizioni di esistenza

 

\begin{cases}x^2-1\geq 0\ \ \to\ \ x\leq -1\ \vee\ x\geq 1\\ x^2+1\geq 0\ \ \to\ \ \forall x\end{cases}

 

Riscriviamo l'equazione nella forma

 

\sqrt{x^2-1}=x+\sqrt{x^2+1}\ \ \ (\bullet)

 

Qui dobbiamo imporre la condizione di concordanza dei segni:

 

x+\sqrt{x^2+1}\geq 0

 

Lasciamo a voi il compito di risolvere tale disequazione irrazionale, e di controllare che è verificata per \forall x. Riepiloghiamo le condizioni imposte fin qui:

 

\begin{cases}x\leq -1\ \vee\ x\geq 1\\ \forall x\\ \forall x\end{cases}\ \to\ x\leq -1\ \vee\ x\geq 1\ \ \ (\spadesuit)

 

Eleviamo entrambi i membri al quadrato in (\bullet)

 

x^2-1=x^2+2x\sqrt{x^2+1}+(x^2+1)\\ \\ 2x\sqrt{x^2+1}=-x^2-2

 

Attenzione: prima di elevare al quadrato dobbiamo analizzare nuovamente la situazione. Le condizioni di esistenza sono già incluse in (\spadesuit), la quale oltretutto garantisce che sia x\neq 0. Ciò ci permette di dividere entrambi i membri per x

 

\sqrt{x^2+1}=-\frac{x^2+2}{2x}

 

La condizione di concordanza non è banale, dunque risolviamo la corrispondente disequazione fratta

 

-\frac{x^2+2}{2x}\geq 0\ \ \to\ \ x<0

 

Rimettiamo tutte condizioni a sistema

 

\begin{cases}x\leq -1\ \vee\ x\geq 1\ \ \ \ (\spadesuit)\\ x<0\end{cases}\ \to\ x\leq -1\ \ \ (\spadesuit\spadesuit)

 

Ora possiamo elevare al quadrato

 

x^2+1=\frac{x^4+4x^2+4}{4x^2}\\ \\ \\ \frac{4x^4+4x^2-x^4-4x^2-4}{4x^2}=0\\ \\ \\ 3x^4-4=0

 

Non ci resta che risolvere l'equazione trinomia di grado superiore al secondo, ottenendo le soluzioni

 

x_1=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}\ \ \ ;\ \ \ x_2=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}

 

La seconda non è certamente accettabile, in quanto è positiva. Per la prima possiamo toglierci il dubbio usando la calcolatrice

 

x_1=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}\simeq -1,07

 

per cui essa è accettabile.

 

 

Esempio 6

 

\sqrt{x}+\sqrt{x+2}=-3

 

Valgono considerazioni del tutto analoghe rispetto all'esempio 3. A sinistra abbiamo la somma tra due quantità non negative, dunque il membro di sinistra è una quantità non negativa; il membro di destra è negativo, per cui l'equazione è impossibile. A voi il compito di verificarlo facendo i conti. ;)

 

Equazioni irrazionali fratte

 

Se immaginate di includere le frazioni algebriche nelle precedenti casistiche, intuirete facilmente che le possibilità diventerebbero innumerevoli. Ciononostante non è necessario ripetere l'intero discorso nel caso delle equazioni irrazionali fratte, perché a ben vedere disponiamo già di tutti gli strumenti che ci consentiranno di risolverle.

 

Il segreto è analizzare i vari termini che costituiscono le equazioni e sfruttare all'occorrenza le proprietà dei radicali. In presenza di denominatori imporremo le relative condizioni di esistenza (denominatore diverso da zero); in presenza di radici metteremo in moto il procedimento risolutivo prestando attenzione agli indici di radici e alle condizioni di concordanza. Infine, ricaveremo la condizione globale mettendo a sistema tutte le condizioni precedentemente determinate, risolveremo algebricamente l'equazione e valuteremo l'accettabilità delle soluzioni.

 

 


 

Ci fermiamo qui. Avremmo potuto riportare molti altri esempi, ma preferiamo rimandarvi alla scheda di esercizi correlati e suggerirvi di usare la barra di ricerca interna per consultare tantissimi esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

La lezione successiva è dedicata alle equazioni con valore assoluto. Nel caso dobbiate controllare i vostri risultati, servitevi pure del tool per risolvere le equazioni online. ;)

 

Sbohem, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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