Sistemi di equazioni con il metodo grafico

Il metodo grafico per sistemi di equazioni è una tecnica risolutiva che permette di risolvere un particolare tipo di sistemi di equazioni in due incognite, e di determinare le soluzioni come punti di intersezione dei luoghi geometrici associati alle equazioni.

Nella precedente lezione abbiamo fornito una panoramica sui sistemi di equazioni e, nel caso specifico dei sistemi di 2 o più equazioni in 2 incognite, abbiamo accennato al metodo grafico. Quello che stiamo per presentarvi è un procedimento che viene affrontato alle scuole superiori e che ci permetterà di risolvere buona parte dei sistemi, ma non tutti. Più precisamente, il metodo grafico potrà essere applicato con successo per i sistemi in cui le equazioni individuano uno dei luoghi geometrici tipici della Geometria Analitica.

Oltre a spiegare come risolvere un sistema di equazioni con il metodo grafico in astratto mostreremo diversi esempi svolti. Come vedrete tra un istante non c'è nulla di complicato. ;)

Nota bene: se siete alla ricerca del metodo grafico per risolvere un sistema di disequazioni vi rimandiamo alla seguente lettura: come rappresentare le soluzioni di una disequazione nel piano.

Risoluzione grafica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite

Entriamo nel vivo della questione partendo dal caso più semplice che può capitarci. Proponiamoci di risolvere graficamente un sistema lineare di due equazioni in due incognite, ossia un sistema di due equazioni di primo grado in due incognite.

Supponiamo di avere un sistema del tipo:

$\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1=0 \\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{cases}$

e di volerlo risolverlo con il metodo grafico. Ricordando che un'equazione della forma

è l'equazione di una retta, ci basterà disegnare le due rette individuate dalle singole equazioni e osservare il grafico:

- in presenza di due rette parallele il sistema è impossibile, dunque non ammette alcuna soluzione;

- se le due rette sono coincidenti il sistema è indeterminato, quindi ammette infinite soluzioni date da tutti e soli i punti della retta;

- se le due rette sono incidenti il sistema è determinato e ammette un'unica soluzione. La coppia di coordinate del punto di intersezione è l'unica soluzione del sistema.

Esempio di risoluzione grafica di un sistema lineare

Applichiamo il procedimento risolvendo graficamente il seguente sistema:

$\begin{cases}x+2y-3=0 \\ x-y=0 \end{cases}$

Cominciamo col disegnare la retta di equazione .

In accordo con il primo postulato di Euclide (per due punti distinti del piano passa una ed una sola retta) possiamo assegnare due valori a una delle due incognite ( oppure ), e ricavare i corrispondenti valori per l'altra.

Ad esempio, assegnando all'incognita il valore avremo, per sostituzione nell'equazione di partenza:

$x+0-3=0\ \ \to\ \ x=3$

Abbiamo quindi trovato un punto della retta: .

Allo stesso modo, assegnando a il valore otterremo e quindi il secondo punto cercato .

Non ci resta che riportare i punti nel piano cartesiano e tracciare la retta che li congiunge.

Rappresentazione grafica di una retta

Disegniamo la seconda retta, di equazione .

Possiamo procedere come nel caso precedente (assegnando due valori a una delle due incognite) oppure osservare che si tratta della bisettrice del primo e terzo quadrante. Ad ogni modo, la rappresentazione grafica del sistema è la seguente:

Risoluzione grafica sistema lineare

Poiché le due rette si intersecano nel punto il sistema è determinato e la soluzione è data da:

Metodo grafico per risolvere un sistema non lineare di due equazioni in due incognite

Purtroppo sarà impossibile esaminare tutti i casi che si possono manifestare. Una cosa però è certa: con un bel ripasso della Geometria Analitica non avremo problemi. :) In fin dei conti il ragionamento di fondo è quello visto per i sistemi lineari: individuare prima e rappresentare poi i luoghi geometrici delle equazioni che formano il sistema. L'unica limitazione riguarda il fatto che il metodo sarà applicabile solamente in presenza di equazioni riconducibili a luoghi geometrici che sappiamo rappresentare.

Esempio 1

$\begin{cases}x^2+y^2-2y=0 \\ x^2+y=0 \end{cases}$

La prima equazione del sistema individua una circonferenza avente come centro il punto e raggio . Per capirlo possiamo procedere con il metodo di completamento del quadrato in

$x^2+y^2-2y=0\ \ \to\ \ x^2+y^2-2y+1-1=0\ \ \to\ \ x^2+(y-1)^2=1$

Per la seconda equazione, una volta riscritta come , è immediato scorgere una parabola con vertice nell'origine, asse parallelo all'asse y e concavità rivolta verso il basso.

La rappresentazione grafica delle equazioni del sistema è data da:

Intersezione tra circonferenza e parabola

Concludiamo che il sistema è determinato e che ha un'unica soluzione: .

Esempio 2

$\begin{cases} xy=4 \\ 9x^2+16y^2-144=0 \end{cases}$

È chiaro che è indispensabile saper riconoscere le equazioni delle coniche, o no? ;) La prima equazione

individua un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti con vertici nei punti $(2,2),\ (-2,-2)$ , mentre

è l'equazione di un'ellisse. Per vederlo è sufficiente dividere ambo i membri per 144 e portare il termine noto a secondo membro, così da ottenere

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$

che è proprio l'equazione canonica di un'ellisse con vertici nei punti $(4,0), \ (-4,0), \ (0,3), \ (0,-3)$ .

Abbiamo tutte le informazioni utili per rappresentare il sistema graficamente.

Intersezione tra ellisse e iperbole

il che ci permette di scoprire che il sistema è determinato ed ammette 4 soluzioni. Ma se ora vi chiedessimo: quali sono? Sarebbe impossibile farlo senza procedere con i conti.

Nota bene: l'ultimo esempio mette in risalto un grosso handicap del metodo grafico. Abbiamo visto che è relativamente semplice stabilire se il sistema ammette o meno soluzioni e, nel caso fosse determinato, stabilirne il numero. Se però volessimo determinare le (eventuali) soluzioni, nella maggior parte dei casi sarebbe impossibile farlo ricorrendo alla sola rappresentazione grafica.

Non ci credete? Provate allora a risolvere graficamente il seguente sistema:

$\begin{cases}x+2y=0 \\ x-3y+3=0 \end{cases}$

Siete in grado di fornire il valore esatto della soluzione utilizzando il solo grafico? Crediamo proprio di no. ;)

A cosa serve il metodo grafico per la risoluzione di un sistema

Vista l'impossibilità, in generale, di trovare le eventuali soluzioni di un sistema con il metodo grafico, molti di voi staranno pensando che è essenzialmente inutile e che è più comodo utilizzare uno dei metodi algebrici (come il metodo di sostituzione descritto nella lezione precedente), ma non è così.

Innanzitutto bisogna sapere che le soluzioni di un sistema non sono sempre richieste. In alcuni esercizi più complessi e nelle applicazioni più avanzate capita di dover semplicemente stabilire se i luoghi geometrici associati al sistema abbiano o meno punti di intersezione. In casi del genere il metodo grafico sarà il nostro asso nella manica e ci permetterà di evitare una gran mole di conti.

In secondo luogo vi consigliamo di procedere col metodo grafico come verifica del metodo algebrico; l'errore di distrazione è sempre in agguato e la rappresentazione grafica delle equazioni del sistema permette di stabilire se le soluzioni ottenute sono attendibili o meno.

Supponiamo di aver risolto un sistema lineare e di aver trovato come unica soluzione. Poi però, rappresentando graficamente le rette, ci rendiamo conto che il punto di intersezione si trova nel quarto quadrante... Evidentemente c'è qualcosa che non va!

Qui abbiamo finito. Se volete mettervi alla prova con gli esercizi svolti, vi raccomandiamo la barra di ricerca interna; qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. Non solo: c'è anche un comodo tool che permette di risolvere i sistemi di equazioni online. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

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