Equazioni goniometriche di secondo grado in seno e coseno

In questa lezione ci occuperemo delle equazioni di secondo grado in seno e coseno, trattando il caso delle equazioni omogenee e quello più generale delle non omogenee.

 

Partendo dall'analisi dei coefficienti distingueremo diversi casi e proporremo per ciascuno di essi il relativo metodi di risoluzione. Successivamente tratteremo il caso generale delle equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno, e infine mostreremo come risolvere le equazioni non omogenee di secondo grado in seno e coseno riconducendole al caso omogeneo.

 

Naturalmente nel corso della spiegazione non mancheranno esempi ed esercizi svolti. :)

 
 
 

Come si risolvono le equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

 

Le equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno sono equazioni goniometriche che si presentano nella forma

 

a\sin^2(x)+b\sin(x)\cos(x)+c\cos^2(x)=0

 

con a,b,c coefficienti reali non tutti nulli. Intendendo seno e coseno dell'incognita x come incognite a loro volta, si capisce da dove nasce il nome: la struttura di tali equazioni replica infatti, al primo membro, quella di un polinomio omogeneo nelle indeterminate X,Y

 

aX^2+bXY+cY^2=0

 

Esse sono quindi equazioni omogenee perché, nella forma normale, il primo membro è riconducibile a un polinomio omogeneo (tutti i monomi hanno il medesimo grado complessivo, 2).

 

Vediamo come procedere quando ci troviamo di fronte ad un'equazione del tipo

 

a\sin^2(x)+b\sin(x)\cos(x)+c\cos^2(x)=0

 

Poiché annullando un coefficiente tra a,b,c continuiamo ad avere un'equazione omogenea, iniziamo per semplicità ad analizzare i casi particolari.

 

 

1) Se a=0 ci riconduciamo all'equazione

 

b\sin(x)\cos(x)+c\cos^2(x)=0\ \ \ \mbox{con }b,c\neq 0

 

Raccogliendo a fattor comune \cos(x) otteniamo

 

\cos(x)(b\sin(x)+c\cos(x))=0

 

A questo punto possiamo applicare la legge di annullamento del prodotto e scomporla nelle due equazioni:

 

\cos(x)=0

 

che è un'equazione goniomerica elementare e

 

b\sin(x)+c\cos(x)=0

 

che è un'equazione lineare in seno e coseno.

 

 

2) Il caso c=0 è analogo al precedente. Avremo infatti:

 

a\sin^2(x)+b\sin(x)\cos(x)=0\ \ \ \mbox{con }a,b\neq 0

 

Basterà allora raccogliere \sin(x) per ricadere nella forma

 

\sin(x)(a\sin(x)+b\cos(x))=0

 

da cui:

 

\sin(x)=0\\ \\ a\sin(x)+b\cos(x)=0

 

Ci siamo ancora una volta ricondotti a un'equazione elementare e a una lineare.

 

 

3) Se b=0 si ha

 

a\sin^2(x)+c\cos^2(x)=0\ \ \ \mbox{con }a,c\neq 0

 

e si procede come nel caso generale che vedremo tra poco. ;)

 

 

Caso generale - Equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

 

Il metodo di risoluzione per il caso generale si riferisce all'eventualità per cui a,b,c non sono nulli, ma è applicabile anche al caso particolare in a,c non sono nulli e b=0

 

a\sin^2(x)+b\sin(x)\cos(x)+c\cos^2(x)=0\\ \\ \mbox{con }a,b,c\neq 0\ \ \mbox{ oppure }\ \ a,c\neq 0,\ b=0

 

Si procede dividendo ambo i membri per \cos^2(x):

 

\frac{a\sin^2(x)+b\sin(x)\cos(x)+c\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=0

 

Da cui, dividendo termine a termine

 

a\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+b\frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)}+c\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=0

 

Dopo aver semplificato e ricordato com'è definita la tangente di un angolo, avremo:

 

a\tan^2(x)+b\tan(x)+c=0

 

che è un'equazione goniometrica riconducibile ad una elementare, in cui possiamo applicare il metodo di sostituzione.

 

Vi facciamo notare che il passaggio iniziale - dividere per \cos^2(x) - richiederebbe in linea di principio opportune condizioni di esistenza, e che è lecito solo se i valori di x per cui \cos(x)=0 non sono soluzioni dell'equazione omogenea di secondo grado. In caso contrario, così facendo ci troveremmo a restringere erroneamente l'insieme di esistenza delle soluzioni.

 

D'altro canto, se supponiamo

 

\cos(x)=0

 

per la relazione fondamentale della trigonometria risulta che

 

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\ \ \ \overbrace{\to}^{\cos(x)=0}\ \ \ \sin^2(x)=1

 

Sostituendo nell'equazione di partenza, avremo:

 

a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0

 

da cui a=0, che è un assurdo in quanto all'inizio abbiamo supposto che a sia non nullo.

 

In sintesi, non ci siamo posti il problema delle CE relative al passaggio della divisione per \cos^2(x) perché i valori di x per cui risulta \cos(x)=0 non sono mai soluzioni dell'equazione, nell'ipotesi a,c\neq 0. ;)

 

Esempio di equazione omogenea di secondo grado in seno e coseno

 

\sin^2(x)-(1+\sqrt{3})\sin(x)\cos(x)+\sqrt{3}\cos^2(x)=0

 

Abbiamo a che fare con un'equazione omogenea del secondo ordine in seno e coseno nel caso generale, ossia con a,b,c\neq 0

 

a=1,\ \ b=-(1+\sqrt{3}),\ \ c=\sqrt{3}

 

Possiamo tranquillamente dividere per \cos^2(x) e ricadere nell'equazione:

 

\tan^2(x)-(1+\sqrt{3})\tan(x)+\sqrt{3}=0

 

Introducendo l'incognita ausiliaria \tan(x)=y passiamo all'equazione di secondo grado

 

y^2-(1+\sqrt{3})y+\sqrt{3}=0

 

che ha come soluzioni

 

y=1 \ \vee \ y=\sqrt{3}

 

Tornando alla tangente:

 

\tan(x)=1\ \ \to\ \ x=\frac{\pi}{4}+k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}\ \ \ (\mbox{prima soluzione})\\ \\ \\ \tan(x)=\sqrt{3}\ \ \to\ \ x=\frac{\pi}{3}+k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}\ \ \ (\mbox{seconda soluzione})

 

Equazioni trigonometriche non omogenee in seno e coseno di secondo grado

 

Il caso più generale per le equazioni di secondo grado in seno e coseno è quello non omogeneo, in cui il "polinomio" del primo membro perde la propria omogeneità a causa del termine noto non nullo.

 

Se abbiamo un'equazione della forma

 

a\sin^2(x)+b\sin(x)\cos(x)+c\cos^2(x)=d

 

con d \neq 0, è facile ricondurci al caso delle omogenee sfruttando l'ormai nota identità fondamentale: 

 

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1

 

Possiamo infatti riscrivere l'equazione di partenza come

 

a\sin^2(x)+b\sin(x)\cos(x)+c\cos^2(x)=d\cdot 1

 

Grazie all'identità fondamentale:

 

a\sin^2(x)+b\sin(x)\cos(x)+c\cos^2(x)=d\underbrace{[\sin^2(x)+\cos^2(x)]}_{1}

 

Svolgiamo il prodotto e portiamo tutto a primo membro

 

a\sin^2(x)+b\sin(x)\cos(x)+c\cos^2(x)-d\sin^2(x)-d\cos^2(x)=0

 

non rimane che effettuare un paio di opportuni raccoglimenti

 

(a-d)\sin^2(x)+b\sin(x)\cos(x)+(c-d)\cos^2(x)=0

 

A seconda delle relazioni tra i coefficienti a,b,d ricadremo nel caso di equazioni trigonometriche in seno e coseno omogenee di secondo grado, ed eventualmente in uno dei relativi casi particolari.

 

Esempio di equazione non omogenea di secondo grado in seno e coseno

 

\sin^2(x)-3\sin(x)\cos(x)+6\cos^2(x)=2

 

Per l'osservazione precedente:

 

\sin^2(x)-3\sin(x)\cos(x)+6\cos^2(x)=2[\cos^2(x)+\sin^2(x)]

 

ossia

 

\sin^2(x)-3\sin(x)\cos(x)+6\cos^2(x)-2\cos^2(x)-2\sin^2(x)=0

 

Sommando i termini simili ricaviamo:

 

-\sin^2(x)-3\sin(x)\cos(x)+4\cos^2(x)=0\\ \\ \sin^2(x)+3\sin(x)\cos(x)-4\cos^2(x)=0

 

Procediamo ora come nel caso delle omogenee. Dividiamo quindi tutto per \cos^2(x) così da avere, dopo qualche conticino, l'equazione di secondo grado nella tangente:

 

\tan^2(x)+3\tan(x)-4=0

 

che ha come soluzioni:

 

\tan(x)=1\ \ \to\ \ x=\frac{\pi}{4}+k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}\ \ \ \mbox{(prima soluzione)}\\ \\ \\ \tan(x)=-4\ \ \to\ \ x=\pi-\arctan(4)+k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}\ \ \ \mbox{(seconda soluzione)}

 

 


 

Fine! Nella lezione successiva cambieremo registro e affronteremo lo studio delle equazioni in due incognite. Non perdetevi le schede correlate di esercizi svolti e proposti e ricordatevi che qui su YM ci sono tonnellate di risorse, come ad esempio il tool per risolvere le equazioni online. Per tutto il resto c'è la barra di ricerca interna... ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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