Metodo di Cramer

Il metodo di Cramer per sistemi lineari è un procedimento per la risoluzione dei sistemi di equazioni lineari, e prevede di determinare le soluzioni dei sistemi lineari quadrati* (con tante equazioni quante incognite) mediante il calcolo del determinante associato.

 

Come ultimo metodo per risolvere i sistemi lineari introduciamo il metodo di Cramer: si tratta di una procedura apparentemente complicata con cui è possibile studiare la compatibilità dei sistemi lineari con tante equazioni quante incognite. Poiché questa lezione è pensata per studenti delle scuole superiori, ci concentreremo esclusivamente sui sistemi di due equazioni in due incognite e di tre equazioni in tre incognite; invitiamo comunque gli universitari a leggere in ottica di ripasso, e di procedere successivamente lo studio nella sezione di Algebra Lineare.

 

Per dovere di completezza, a fine lezione proporremo alcuni approfondimenti rivolti ai soli studenti universitari in cui spieghiamo *come usare il metodo di Cramer per sistemi lineari rettangolari (numero di equazioni diverso dal numero di incognite).

 
 
 

Metodo di Cramer per i sistemi lineari (quadrati)

 

Per introdurre il metodo di Cramer ci servirebbero alcune definizioni preliminari, tra cui quella di matrice (completa - incompleta) associata a un sistema lineare e di determinante di una matrice. Tali nozioni richiedono però molto lavoro teorico e, in termini didattici, è opportuno definirle in maniera rigorosa solamente nei corsi universitari.

 

D'altra parte il metodo di Cramer fornisce una procedura di risoluzione dei sistemi lineari estremamente comoda, così comoda che sarebbe un peccato non poterla apprendere e utilizzare già alle scuole superiori. Per questo motivo si adotta un semplice compromesso didattico: alle superiori ci si limita a considerare sistemi lineari 2x2 e 3x3.

 

Così facendo possiamo limitarci a dare definizioni specifiche per le matrici associate a un sistema lineare e specifiche formule di calcolo per il determinante di matrici 2x2 e 3x3, il che ci consentirà di aggirare l'intero impianto teorico e di fornire un metodo pronto all'uso per la risoluzione dei sistemi 2x2 e 3x3.

 

Metodo di Cramer per sistemi lineari di 2 equazioni in 2 incognite

 

Vediamo come applicare il metodo di Cramer per un sistema lineare di due equazioni in due incognite:

 

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y =c_2\end{cases}

 

Scriviamo i coefficienti delle incognite in una sorta di tabella, che chiameremo matrice dei coefficienti (o matrice incompleta)

 

(\spadesuit)\ \ \ \left[ \begin{matrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix}\right]

 

Consideriamo la quantità \mbox{D} definita dalla seguente formula: la chiameremo determinante della matrice 2x2

 

\mbox{D}=(a_1 \cdot b_2) - (a_2 \cdot b_1)

 

Per ricordare la formula di calcolo del determinante di una matrice 2x2 è sufficiente tenere a mente il seguente schemino:

 

 

Schema per il calcolo del determinante 2x2

 

 

A questo punto abbiamo due possibilità:

 

- se il determinante è uguale a zero, dobbiamo fermarci. Il metodo di Cramer non si può applicare e il sistema sarà indeterminato o impossibile. Per scoprirlo procederemo con uno degli altri 3 metodi (sostituzione, riduzione o confronto).

 

\mbox{D}=0\ \ \to\ \ \mbox{Indeterminato o impossibile}

 

- Se il determinante è diverso da zero, allora il sistema è determinato e possiamo proseguire con la regola di Cramer:

 

\mbox{D}\neq 0\ \ \to\ \ \mbox{Determinato}

 

Calcoliamo la seguente quantità, che chiameremo determinante dell'incognita x

 

\mbox{D}_x=\left| \begin{matrix}c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix}\right|=(c_1 \cdot b_2)-(c_2 \cdot b_1)

 

ottenuto da (\spadesuit) sostituendo i coefficienti della x con i termini noti delle equazioni del sistema.

 

Allo stesso modo calcoleremo il determinante dell'incognita y:

 

\mbox{D}_y=\left| \begin{matrix}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix}\right|=(a_1 \cdot c_2)-(a_2 \cdot c_1)

 

ottenuto da (\spadesuit) sostituendo i coefficienti della y con i termini noti delle equazioni del sistema.

 

Fatto ciò, il metodo di Cramer individua le soluzioni del sistema 2x2 mediante le seguenti formule

 

x=\frac{\mbox{D}_x}{\mbox{D}}\ \ \ ;\ \ \ y=\frac{\mbox{D}_y}{\mbox{D}}

 

 

Esempio (metodo di Cramer su un sistema lineare 2x2)

 

\begin{cases} 2x-y=4 \\ x+3y=9 \end{cases}

 

Iniziamo dal calcolo del determinante della matrice dei coefficienti

 

\mbox{D}=\left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{matrix}\right| = (2 \cdot 3)-[1 \cdot (-1)] = 6-(-1)=7

 

Essendo \mbox{D}=7 \neq 0 il sistema è determinato, ammette cioè un'unica soluzione che possiamo calcolare applicando il metodo di Cramer.

 

Calcoliamo il determinante dell'incognita x sostituendo i termini noti al posto dei suoi coefficienti nella matrice incompleta:

 

\mbox{D}_x=\left| \begin{matrix} 4 & -1 \\ 9 & 3 \end{matrix}\right| = (4 \cdot 3)-[9 \cdot (-1)] = 12+9=21

 

Allo stesso modo calcoliamo il determinante dell'incognita y, sostituendo i termini noti nella matrice incompleta al posto dei suoi coefficienti:

 

\mbox{D}_y=\left| \begin{matrix} 2 & 4 \\ 1 & 9 \end{matrix}\right| = (2 \cdot 9)-(1 \cdot 4) = 18-4=14

 

Non ci resta che calcolare la soluzione con le formule di Cramer:

 

\\ x=\frac{\mbox{D}_x}{\mbox{D}}=\frac{21}{7}=3\\ \\ \\ y=\frac{\mbox{D}_y}{\mbox{D}}=\frac{14}{7}=2

 

e in definitiva la soluzione è (x,y)=(3,2).

 

Metodo di Cramer per sistemi di 3 equazioni in 3 incognite

 

La regola di Cramer per i sistemi di tre equazioni in tre incognite segue la medesima logica del caso 2x2 ma è leggermente più impegnativa, per ovvi motivi: ci sono più calcoli da fare. ;)

 

Consideriamo un sistema lineare 3x3 in forma normale

 

\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}

 

Per prima cosa scriviamo la matrice dei coefficienti associata al sistema:

 

(\bigstar) \ \left[\begin{matrix}a_1 & b_1 & c_1  \\ a_2 & b_2 & c_2 \\a_3 & b_3 & c_3\end{matrix}\right]

 

Per calcolarne il determinante D possiamo ricorrere alla regola di Sarrus, che al livello di studi delle scuole superiori può essere considerata come una vera e propria definizione

 

\mbox{D}=(a_1 \cdot b_2 \cdot c_3) + (b_1 \cdot c_2 \cdot a_3) + (c_1 \cdot a_2 \cdot b_3) - (c_1 \cdot b_2 \cdot a_3) - (b_1 \cdot a_2 \cdot c_3) - (a_1 \cdot c_2 \cdot b_3)

 

La formula non è semplicissima a prima vista, ma c'è un semplice trucco che permette di ricavarla in un attimo. Scriviamo la matrice senza le parentesi quadre e ricopiamola alla sua destra. Il determinante della matrice 3x3 è dato dalla somma dei prodotti degli elementi collegati dalle frecce rosse meno la somma dei prodotti degli elementi collegati dalle frecce blu, come mostrato in figura:

 

 

Determinante associato al sistema di tre equazioni in tre incognite

 

 

Dopo aver calcolato il determinante abbiamo due possibilità:

 

- se il determinante è uguale a zero, ci fermiamo. Il metodo di Cramer non è applicabile e il sistema è impossibile o indeterminato. Useremo quindi uno degli altri 3 metodi per i sistemi lineari (sostituzione, riduzione o confronto).

 

\mbox{D}=0\ \ \to\ \ \mbox{Indeterminato o impossibile}

 

- Se il determinante è diverso da zero, il sistema è determinato e possiamo usare la regola di Cramer

 

\mbox{D}\neq 0\ \ \to\ \ \mbox{Determinato}

 

In quest'ultima eventualità passeremo a calcolare i determinanti delle incognite x, y, z con logica del tutto analoga rispetto al caso 2x2.

 

Calcoliamo il determinante dell'incognita x\ (\mbox{D}_x) che si ottiene da (\bigstar) sostituendo al posto dei coefficienti a_1, \ a_2, \ a_3 dell'incognita x i termini noti d_1, \ d_2, \ d_3:

 

 

Determinante associato all'incognita x in un sistema lineare

 

 

Passiamo al determinante dell'incognita y\ (\mbox{D}_y), ottenuto da (\bigstar) sostituendo al posto dei coefficienti b_1, \ b_2, \ b_3 dell'incognita y i termini noti d_1, \ d_2, \ d_3:

 

 

Determinante associato all'incognita y in un sistema lineare

 

 

Infine, calcoliamo il determinante dell'incognita z\ (\mbox{D}_z) partendo da (\bigstar) e sostituendo i coefficienti c_1, \ c_2, \ c_3 dell'incognita z con i termini noti d_1, \ d_2, \ d_3:

 

 

Determinante associato all'incognita z in un sistema lineare

 

 

Fatto ciò, l'unica soluzione del sistema lineare è individuata dalle formule:

 

x=\frac{\mbox{D_x}}{\mbox{D}}\ \ \ ;\ \ \ \ y=\frac{\mbox{D_y}}{\mbox{D}}\ \ \ ;\ \ \ z=\frac{\mbox{D_z}}{\mbox{D}}

 

 

Esempio (metodo di Cramer su un sistema lineare 3x3)

 

\begin{cases}2x+y+z=1 \\ 4x-y+z=-5 \\ -x+y+2z=5 \end{cases} 

 

Calcoliamo dapprima il determinante \mbox{D} associato al sistema lineare:

 

\mbox{D}=\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{matrix}\right|

 

Usiamo la regola di Sarrus aiutandoci con lo schema grafico:

 

 

Esempio risoluzione sistema lineare con Cramer

 

 

\mbox{D}=(-4)+(-1)+(+4)-(+1)-(+8)-(+2)=-4-1+4-1-8-2=-12

 

Essendo \mbox{D}\neq 0 il sistema sarà determinato. Per trovare la soluzione con la regola di Cramer calcoliamo il valore dei determinanti associati alle tre incognite x,y,z.

 

 

Esempio sul calcolo del determinante associato ad un'incognita

 

 

\mbox{D}_x=(-2)+(5)+(-5)-(-5)-(-10)-(+1)=-2+5-5+5+10-1=12

 

Ottenuto sostituendo nella matrice di partenza la colonna dei coefficienti dell'incognita x con i termini noti (in arancione). Allo stesso modo:

 

\mbox{D}_y=\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & -5 & 1 \\ -1 & 5 & 2 \end{matrix}\right|=-24\\ \\ \\ \mbox{D}_z=\left| \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & -5 \\ -1 & 1 & 5 \end{matrix}\right|=-12

 

La soluzione del sistema è quindi:

 

x=\frac{\mbox{D}_x}{\mbox{D}}=\frac{12}{-12}=-1\\ \\ \\ y=\frac{\mbox{D}_y}{\mbox{D}}=\frac{-24}{-12}=2\\ \\ \\ z=\frac{\mbox{D}_z}{\mbox{D}}=\frac{-12}{-12}=1

 

ossia (x,y,z)=(-1,2,1).

 

Suggerimenti per usare al meglio il metodo di Cramer

 

A differenza degli altri tre metodi, la regola di Cramer è piuttosto meccanica e non presenta passaggi particolarmente delicati. Nei sistemi 2x2 è un metodo certamente conveniente anche alla luce del fatto che il calcolo dei determinanti è semplice; nei sistemi 3x3 le formule si complicano e conducono a calcoli di per sé non complicati, ma che aumentano vertiginosamente le probabilità di commettere errori di distrazione o di segno.

 

Da usare con prudenza.

 

Pro e contro del metodo di Cramer

 

PRO) Metodo teoricamente semplice e meccanico, delinea una strada ben precisa su cui è impossibile perdersi e che non richiede alcun particolare ragionamento. Permette inoltre di stabilire preventivamente se il sistema lineare è determinato oppure indeterminato/impossibile.

 

CONTRO) Espone al rischio di commettere errori di segno o di distrazione nel caso 3x3.

 

 

Altri metodi di risoluzione dei sistemi lineari

 

1) Metodo di sostituzione ✓

 

2) Metodo del confronto ✓

 

3) Metodo di riduzione ✓

 

4) Metodo di Cramer ✓

 

Approfondimento per universitari: metodo di Cramer per sistemi rettangolari

 

Chiudiamo questa intensa lezione con una parentesi dedicata agli studenti universitari. Innanzitutto vi invitiamo a prendere visione della lezione sul calcolo del determinante, dove spieghiamo come calcolare il determinante di una matrice quadrata di qualsiasi ordine.

 

Un'altra lettura interessante: quella sul teorema di Rouché Capelli, utile sia dal punto di vista teorico che nella risoluzione degli esercizi sui sistemi lineari parametrici.

 

Infine, visto che il metodo di Cramer viene utilizzato solamente nella risoluzione dei sistemi quadrati (n equazioni in n incognite), è bene sapere che esso è applicabile anche ai sistemi rettangolari di m equazioni in n incognite. Un esempio: metodo di Cramer su un sistema rettangolare.

 

 


 

È tutto. Vi aspettiamo nella lezione successiva, in cui vi presenteremo le equazioni di secondo grado a un'incognita. In caso di dubbi, o se siete in cerca di esercizi svolti, vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna per reperire tutto quello che vi serve qui su YM; per il resto potete fare affidamento al tool per risolvere i sistemi di equazioni online, in modo da verificare i risultati dei vostri esercizi. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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