Metodo di riduzione

Il metodo di riduzione per sistemi lineari, o metodo di eliminazione, è un procedimento che permette di risolvere i sistemi di equazioni lineari. Basandosi sul principio di equivalenza, esso permette di sostituire un'equazione del sistema sommando o sottraendo ad essa un multiplo di un'altra equazione, in modo da eliminare una delle incognite.

 

Il metodo di riduzione per la risoluzione dei sistemi lineari è forse, tra i quattro metodi che si studiano alle scuole superiori, il più importante da un punto di vista teorico, perché introduce un principio fondamentale che utilizzeremo a più riprese nello studio dell'Algebra Lineare all'università (cfr: metodi di risoluzione dei sistemi lineari).

 

In questa lezione vi presenteremo dapprima il principio di equivalenza per i sistemi lineari, dopodiché lo enunceremo in un caso particolare su cui si basa il principio di riduzione. Fatto ciò passeremo alla descrizione del metodo e all'applicazione in alcuni esempi svolti, fermo restando che qui ci limiteremo a considerare i sistemi di due equazioni in due incognite e i sistemi di tre equazioni in tre incognite.

 

Principio di equivalenza dei sistemi lineari e metodo di riduzione

 

Qualche preliminare teorico necessario per presentare il metodo di riduzione. Innanzitutto diamo la definizione di combinazione lineare di due o più equazioni, che nel prosieguo degli studi si rivelerà utile come il pane.

 

Date due equazioni lineari

 

A=B\ \ \ ;\ \ \ C=D

 

con A,C i membri di sinistra e B,D i membri di destra, consideriamo due numeri reali diversi da zero

 

\alpha\neq 0,\ \beta\neq 0,\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}

 

Chiamiamo combinazione lineare delle due equazioni nei coefficienti \alpha,\beta l'equazione

 

\alpha A+\beta C=\alpha B+\beta D

 

In parole povere, una combinazione lineare di due equazioni è una nuova equazione ottenuta sommando membro a membro la prima equazione moltiplicata per il primo coefficiente e la seconda equazione moltiplicata per il secondo coefficiente.

 

La definizione può essere estesa in modo piuttosto ovvio al caso di N equazioni e di N coefficienti non nulli.

 

Il principio di equivalenza per sistemi lineari stabilisce che, sostituendo un'equazione del sistema con una qualsiasi combinazione lineare formata con l'equazione stessa e con altre equazioni del sistema, si ottiene un sistema lineare equivalente a quello di partenza. In altri termini, si ricava un sistema lineare con le stesse soluzioni di quello iniziale.

 

In simboli:

 

\begin{cases}...\\ A=B\\ C=D\\ ...\end{cases}\ \equiv\ \ \begin{cases}...\\ \alpha A+\beta C=\alpha B+\beta D\\ C=D\\ ...\end{cases}\ \equiv\ \ \begin{cases}...\\ A=B\\ \alpha A+\beta C=\alpha B+\beta D\\ ...\end{cases}

 

Metodo di riduzione per sistemi lineari

 

A pensarci bene il principio di equivalenza per i sistemi lineari può essere particolarmente utile nella loro risoluzione, perché può essere usato per eliminare le incognite a piacimento garantendoci di non alterare l'insieme delle soluzioni.

 

Nella fattispecie possiamo riscrivere l'enunciato in un caso particolare e piuttosto semplice: se sostituiamo un'equazione di un sistema lineare con la somma tra l'equazione stessa e un multiplo di un'altra equazione del sistema, otteniamo un sistema equivalente a quello di partenza. In simboli

 

\begin{cases}...\\ A=B\\ C=D\\ ...\end{cases}

 

possiamo considerare un numero reale \gamma\neq 0,\ \gamma\in \mathbb{R} e sostituire la prima equazione nel modo seguente

 

\begin{cases}...\\ A+\gamma C=B+\gamma D\\ C=D\\ ...\end{cases}

 

o, equivalentemente, sostituire la seconda equazione

 

\begin{cases}...\\ A=B\\ A+\gamma C=B+\gamma D\\ ...\end{cases}

 

È proprio questo il principio che regola il funzionamento del metodo di riduzione. :)

 

Entriamo nel dettaglio e, per fissare le idee, consideriamo un sistema di due equazioni in due incognite. Il metodo di riduzione prevede di eliminare, in un colpo solo, una delle due incognite in una delle due equazioni riducendola a un'equazione di primo grado a un'incognita.

 

1) Si moltiplica una delle due equazioni per un numero diverso da zero, in modo tale che i coefficienti di una stessa incognita siano uguali o opposti nelle due equazioni;

 

2) si sottraggono o sommano membro a membro le due equazioni, in modo che una delle due incognite venga eliminata;

 

3) si scrive un nuovo sistema (del tutto equivalente al primo) formato da una delle due equazioni iniziali (a nostra scelta) e dell'equazione in un'incognita ottenuta al punto 2);

 

4) si risolve il nuovo sistema.

 

Metodo di riduzione per sistemi lineari di due equazioni in due incognite

 

Con una manciata di esempi svolti sarà tutto molto più chiaro. ;)

 

\begin{cases} 2x+3y=6\\ x+4y =8 \end{cases}

 

Vogliamo cercare di rendere uguali i coefficienti di una stessa incognita. Fissiamo la nostra attenzione sulla x. Nella prima equazione il suo coefficiente è 2, nella seconda equazione il suo coefficiente è 1.

 

Moltiplichiamo entrambi i membri della seconda equazione per 2 in modo da rendere i due coefficienti della x uguali:

 

\begin{cases} 2x+3y=6\\ 2(x+4y)=2\cdot 8\ \ \to\ \ 2x+8y=16\end{cases}

 

Sottraiamo membro a membro la prima equazione alla seconda:

 

2x+8y-(2x+3y)=16-(6)

 

In questo modo otteniamo un'equazione ridotta alla sola incognita y:

 

2x+8y-(2x+3y)=16-(6)\\ \\ \to\ \ 2x+8y-2x-3y=16-6\\ \\ \to\ \ 5y=10

 

Scriviamo infine il nuovo sistema formato dall'equazione appena ottenuta e da una delle due equazioni di partenza (ad esempio la prima):

 

\begin{cases} 2x+3y=6\\ 5y=10\end{cases}

 

e facciamo i calcoli

 

\begin{cases} 2x+3y=6\\ y=2\end{cases}

 

Sostituendo il valore di y nella prima equazione, otteniamo:

 

\begin{cases} 2x + 3 \cdot 2 = 6 \ \ \to\ \ 2x=0\ \ \to\ \ x=0\\ y=2\end{cases}

 

da cui l'unica soluzione del sistema lineare

 

\begin{cases} x=0 \\ y=2\end{cases}

 

La soluzione del sistema è data dalla coppia di valori (x,y)=(0,2).

 

 

Un altro esempio

 

\begin{cases} 12x+3y=0\\ x-y =1\end{cases}

 

Quali coefficienti dovremo usare in questo caso per applicare il metodo di riduzione? Non c'è una regola fissa. L'unico criterio da seguire è quello della comodità, per cercare di ottenere numeri non troppo grandi e risparmiare calcoli.

 

Potremmo ad esempio moltiplicare la seconda equazione per 3, così da avere:

 

\begin{cases} 12x+3y=0\\ 3x-3y =3\end{cases}

 

In questo modo i coefficienti delle y nelle due equazioni sono opposti. Sommando le due equazioni membro a membro avremo:

 

12x+3y+(3x-3y)=0+(3)

 

da cui l'equazione ridotta

 

15x=3

 

Riscriviamo quindi un nuovo sistema formato dall'equazione appena ottenuta e da una delle due equazioni iniziali (scegliamo la seconda perché ha un aspetto più semplice):

 

\begin{cases} x-y=1 \\ 15x=3\end{cases}

 

Dalla seconda equazione possiamo ricavare il valore della x

 

\begin{cases} x-y=1 \\ x=\frac{1}{5}\end{cases}

 

e sostituirlo nell'altra equazione

 

\begin{cases} y=\frac{1}{5}-1\ \ \to\ \ y= -\frac{4}{5} \\ x=\frac{1}{5}\end{cases}

 

La soluzione del sistema lineare è quindi (x,y)=\left(\frac{1}{5}, \ -\frac{4}{5}\right).

 

 

Un ulteriore esempio sul metodo di riduzione

 

Vediamo un terzo e ultimo esempio in cui applichiamo il metodo di riduzione con il minor numero possibile di passaggi. Non solo: applicheremo il principio di equivalenza dei sistemi lineari nel caso più generale.

 

\begin{cases} 6x+2y=13 \\ 4x-5y=-4 \end{cases}

 

Per eliminare l'incognita x possiamo moltiplicare la prima equazione per 2

 

2\cdot 6x=12x

 

e la seconda per 3

 

3\cdot 4x=12 x

 

Sostituiamo la seconda equazione con la differenza tra 2 volte la prima equazione e 3 volte la seconda:

 

\begin{cases} 6x+2y=13 \\ 2(6x+2y)-3(4x-5y)=2(13)-3(-4) \end{cases}

 

e facciamo i conti 

 

\begin{cases} 12x+4y=26 \\ 12x+4y-12x+15y=26+12\ \ \to\ \ 19y=38\ \ \to\ \ y=2 \end{cases}

 

Per concludere sostituiamo il valore di y nella prima equazione

 

\begin{cases} 12x+4\cdot 2=26\ \ \to\ \ 12x=18\ \ \to\ \ x=\frac{3}{2} \\ y=2 \end{cases}

 

e abbiamo finito:

 

\begin{cases} y=2 \\ x=\frac{3}{2} \end{cases}

 

Metodo di riduzione per sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite

 

Nei sistemi 3x3 il procedimento non cambia: bisogna sempre tenere a mente il principio di equivalenza dei sistemi lineari, e sostituire le equazioni in modo da eliminare le incognite. La combinazione lineare può essere sostituita in luogo di una qualsiasi delle equazioni da cui è stata costruita.

 

\begin{cases}x+y-z=0\\ x-y+z=1 \\ x+2y+3z=6\end{cases}

 

Sostituiamo la seconda equazione con la differenza tra la seconda e la prima, in modo da eliminare la x

 

\begin{cases}x+y-z=0\\ x-y+z-(x+y-z)=1-0\ \ \to\ \ -2y+2z=1 \\ x+2y+3z=6\end{cases}

 

Sostituiamo la terza equazione con la differenza tra la terza e la prima, così da eliminare la x

 

\begin{cases}x+y-z=0\\ -2y+2z=1 \\ x+2y+3z-(x+y-z)=6-0\ \ \to\ \ y+4z=6\end{cases}

 

Ora ci concentriamo sul sistema lineare 2x2 formato dalla seconda e dalla terza equazione

 

\begin{cases}...\\ -2y+2z=1 \\ y+4z=6\end{cases}

 

Sostituiamo la seconda equazione con la somma tra la seconda + 2 volte la terza, con l'obiettivo di eliminare y

 

\begin{cases}...\\ -2y+2z+2(y+4z)=1+2\cdot 6\ \ \to\ \ z=\frac{13}{10} \\ y+4z=6\end{cases}

 

Per concludere sostituiamo il valore di z nella terza equazione per ottenere il valore di y, ed infine il valore di entrambe nella prima equazione:

 

\begin{cases}x+y-z=0\\ z=\frac{13}{10} \\ y+4\cdot \frac{13}{10}=6\ \ \to\ \ y=6-\frac{26}{5}=\frac{4}{5}\end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases}x+\frac{4}{5}-\frac{13}{10}=0\ \ \to\ \ x=\frac{1}{2}\\ z=\frac{13}{10} \\ y=\frac{4}{5}\end{cases}

 

Abbiamo terminato: l'unica soluzione del sistema lineare è \left(\frac{1}{2},\frac{4}{5},\frac{13}{10}\right).

 

Suggerimenti per usare al meglio il metodo di riduzione

 

In generale il metodo di riduzione non ha molti fans alle scuole superiori (il metodo di sostituzione ne riscuote molti di più), ma guadagna moltissimi adepti nel mondo universitario. Non è un caso: il procedimento per sostituzione è molto più intuitivo e quindi maggiormente apprezzato agli inizi, ma con l'esperienza si capisce che il metodo di riduzione è quello che permette di risparmiare il maggior numero di calcoli e soprattutto di risolvere qualsiasi sistema lineare, a prescindere dal numero di soluzioni e dal numero di incognite.

 

Come piccola anticipazione, sappiate che la riduzione è la strada maestra per il metodo di eliminazione gaussiana, una delle principali procedure pratiche che permettono di risolvere i sistemi lineari mxn all'università. ;)

 

Sulla falsariga delle precedenti lezioni vogliamo tirare le somme sugli aspetti più rilevanti del metodo:

 

1) la scelta dell'incognita su cui costruire la combinazione lineare e applicare la riduzione del sistema è libera. Noi, al solito, sceglieremo la via più breve e meno ripida. A tal proposito è bene prediligere le incognite con coefficienti piccoli e/o, se possibile, uguali.

 

2) Il metodo di riduzione non presenta particolari limitazioni: possiamo effettuare tutte le riduzioni che vogliamo, purché i moltiplicatori siano diversi da zero e fermo restando che il nostro scopo è giungere alle soluzioni nel modo più veloce. Possiamo costruire combinazioni lineari a nostro piacimento e sostituirle alle equazioni a partire dalle quali vengono generate, coinvolgendo anche più di due equazioni nella costruzione.

 

Pro e contro del metodo di riduzione

 

PRO) È un metodo potentissimo che ci lascia grandi margini di manovra, e ci consente di eliminare le incognite in modo veloce ed elegante.

 

CONTRO) Nessuno Richiede un po' di attenzione, ma solo per i primi tempi... ;)

 

 

Altri metodi di risoluzione dei sistemi lineari

 

1) Metodo di sostituzione ✓

 

2) Metodo del confronto ✓

 

3) Metodo di riduzione ✓

 

4) Metodo di Cramer

 

 


 

La lezione successiva è l'ultima dedicata alla risoluzione dei sistemi lineari: se volete fare un po' di allenamento, vi rimandiamo alla scheda correlata di esercizi risolti. Per il resto vi suggeriamo di usare il tool per risolvere i sistemi di equazioni online e, in caso di necessità, la barra di ricerca interna. ;)

 

 

বিদায়, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente .....Esercizi correlati.....Lezione successiva

 
 

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