Metodo del confronto

Il metodo del confronto per sistemi lineari è un metodo che permette di risolvere i sistemi di equazioni lineari, e che prevede di isolare in due o più equazioni la stessa incognita, per poi uguagliare le espressioni ottenute.

 

Il secondo metodo di risoluzione dei sistemi lineari che ci accingiamo a studiare è il metodo del confronto. Esattamente come nella lezione precedente, spiegheremo il procedimento in generale per poi mostrare come applicarlo nel caso dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite e di tre equazioni in tre incognite, mediante opportuni esempi svolti.

 

Oltre ad analizzare nel dettaglio i pro e i contro del metodo del confronto, vedremo che esso non è altro che una particolare applicazione del metodo di sostituzione. La lezione si rivolge principalmente agli studenti delle scuole superiori; consigliamo agli universitari che sono qui per ripassare, dopo aver terminato la lettura, di passare alla sezione di Algebra Lineare dove ci occupiamo del caso dei sistemi mxn.

 
 
 

Metodo del confronto per sistemi lineari

 

Il metodo del confronto può essere utilizzato per qualsiasi tipo di sistema lineare e, in generale, si basa sui seguenti passaggi:

 

- riscrivere tutte le equazioni isolando la stessa incognita (\bullet) a sinistra dell'uguale;

 

- sostituire l'espressione dell'incognita di una delle equazioni, diciamo (\mbox{E}), in tutte le altre;

 

- tralasciare momentaneamente l'equazione (\mbox{E}) e passare alla risoluzione del sistema lineare rimanente, che avrà un'equazione e un'incognita in meno, reiterando il procedimento o eventualmente usando un altro metodo per i sistemi lineari.

 

Il procedimento in astratto potrebbe sembrare più complicato di quanto sia in realtà, ma come vedrete negli esempi svolti non c'è niente di particolarmente difficile. Come anticipato nella lezione introduttiva sui sistemi lineari ci concentriamo sui sistemi 2x2 e 3x3.

 

Metodo del confronto per sistemi lineari di 2 equazioni in 2 incognite

 

Risolviamo nuovamente i sistemi che abbiamo svolto nella lezione sul metodo di sostituzione, usando questa volta il metodo del confronto. Partiamo dal primo.

 

\begin{cases} x + y =5\\x-y =1\end{cases}

 

La scelta sull'incognita è del tutto arbitraria: poiché la x compare col medesimo coefficiente (+1) in entrambe le equazioni, la scegliamo come riferimento

 

\begin{cases} x=5-y \\x =1+y \end{cases}

 

Riscriviamo la prima equazione e lavoriamo sulla seconda (sarebbe del tutto indifferente riscrivere la seconda e lavorare sulla prima), e al posto della seconda equazione uguagliamo le espressioni di x:

 

\begin{cases} x=5-y\\5-y =1+y\end{cases}

 

Abbiamo ridotto la seconda equazione a un'equazione di primo grado a un'incognita:

 

\begin{cases} x=5-y\\-2y =-4\ \ \to\ \ 2y =4\ \ \to\ \ y =2\end{cases}

 

Abbiamo trovato il valore di y. Non ci resta che sostituirlo nella prima equazione:

 

\begin{cases} x=5-2\ \ \to\ \ x=3\\y =2\end{cases}

 

Il sistema è quindi determinato, con soluzione (x,y)=(3,2).

 

 

Un altro esempio

 

\begin{cases} \dfrac{12x-7}{2}-\dfrac{3(2x+y)}{10}=\dfrac{7}{10}\\ \\ \dfrac{2x+y}{3}=\dfrac{4}{9}+\dfrac{x+y}{2}\end{cases}

 

Calcoliamo il denominatore comune e riduciamo il sistema in forma normale (omettiamo i semplici calcoli):

 

\begin{cases} 18x-y=14 \\ 3x-3y=8 \end{cases}

 

Procediamo con il metodo del confronto. Qui ci conviene scegliere di lavorare sull'incognita y, perché è quella che riduce il sistema ai calcoli più semplici:

 

\begin{cases} y=18x-14 \\ y=\frac{8-3x}{-3}\ \ \to\ \ y=\frac{3x-8}{3} \end{cases}

 

Riscriviamo la prima equazione tale e quale e, al posto della seconda, uguagliamo le due espressioni per y:

 

\begin{cases} y=18x-14 \\ 18x-14=\frac{3x-8}{3} \end{cases}

 

Risolviamo la seconda equazione (che contiene la sola incognita x):

 

\begin{cases} y=18x-14 \\ 54x-42=3x-8 \end{cases}

 

Portiamo le incognite a primo membro e i termini noti a secondo membro:

 

\begin{cases} y=18x-14 \\ 54x-3x=42-8\ \ \to\ \ 51x=34 \ \ \to\ \ x=\frac{34}{51} \end{cases}

 

Riduciamo ai minimi termini \frac{34}{51}:

 

\begin{cases} y=18x-14 \\ x=\frac{2}{3} \end{cases}

 

e sostituiamo il valore di y nella prima equazione

 

\begin{cases} y=18 \cdot \frac{2}{3}-14 \ \ \to\ \ y=-2 \\ x=\frac{2}{3} \end{cases}

 

che è la soluzione del sistema lineare: \left(\frac{2}{3},-2\right).

 

Metodo del confronto per sistemi lineari di 3 equazioni in 3 incognite

 

Il metodo del confronto nel caso dei sistemi lineari 3x3 è leggermente più impegnativo rispetto al caso 2x2. In modo analogo rispetto al metodo di sostituzione, dopo la prima applicazione ci permetterà di lavorare su un sistema 2x2; a quel punto potremo procedere con un'ulteriore iterazione o, eventualmente, con un altro metodo per i sistemi lineari.

 

Prendiamo come riferimento il sistema lineare di tre equazioni in tre incognite:

 

\begin{cases}x+y-z=0\\ x-y+z=1 \\ x+2y+3z=6\end{cases}

 

Poiché nelle tre equazioni l'incognita x si presenta nella stessa forma, procediamo a isolarla:

 

\begin{cases}x=z-y\\ x=1+y-z \\ x=6-2y-3z\end{cases}

 

Osserviamo con attenzione le tre equazioni: quella che presenta l'espressione più semplice è la prima, per cui la usiamo per procedere al confronto con le altre equazioni

 

\begin{cases}x=z-y\\ z-y=1+y-z \\ z-y=6-2y-3z\end{cases}

 

Da qui in poi tralasciamo temporaneamente la prima equazione. Riscriviamo le restanti equazioni in forma normale

 

\begin{cases}...\\ z-y-1-y+z=0 \ \ \to\ \ 2z-2y-1=0\\ z-y=6-2y-3z\ \ \to\ \ 4z+y-6=0\end{cases}

 

Ci rimane un sistema di due equazioni in due incognite:

 

\begin{cases}...\\ 2z-2y-1=0\\ 4z+y-6=0\end{cases}

 

Qui possiamo scegliere di applicare un altro metodo di risoluzione dei sistemi lineari, o eventualmente di reiterare il metodo del confronto. Optiamo per la seconda strada e isoliamo l'incognita y

 

\begin{cases}...\\ 2y=2z-1\ \ \to\ \ y=\tfrac{2z-1}{2}\\ y=6-4z\end{cases}

 

Confrontiamo le due espressioni

 

\begin{cases}...\\ y=\tfrac{2z-1}{2}\\ \tfrac{2z-1}{2}=6-4z\end{cases}

 

Risolviamo l'equazione di primo grado così ottenuta:

 

\begin{cases}...\\ y=\tfrac{2z-1}{2}\\ 2z-1=12-8z\ \ \to\ \ 10z=13\ \ \to\ \ z=\tfrac{13}{10}\end{cases}

 

Non ci resta che sostituire il risultato a ritroso nelle altre equazioni del sistema

 

\begin{cases}x=\tfrac{13}{10}-\tfrac{4}{5}=\tfrac{1}{2}\\ \\ y=\tfrac{2\cdot \tfrac{13}{10}-1}{2}=\tfrac{\frac{13}{5}-1}{2}=\tfrac{4}{5}\\ \\ z=\tfrac{13}{10}\end{cases}

 

dove nella seconda abbiamo utilizzato la regola per le frazioni di frazioni. In definitiva la soluzione del sistema lineare è \left(\frac{1}{2},\frac{4}{5},\frac{13}{10}\right).

 

Suggerimenti per usare al meglio il metodo del confronto

 

Riepiloghiamo i punti salienti del metodo del confronto e i passaggi che richiedono particolare attenzione emersi dai precedenti esempi.

 

1) La scelta dell'incognita da isolare e su cui procedere al confronto è arbitraria, ma ovviamente ci converrà seguire la strada che richiede il minor numero di calcoli. A tal proposito è opportuno scegliere l'incognita che si ripete in tutte le equazioni del sistema nella stessa forma, ossia con lo stesso coefficiente. Ad esempio, nel sistema lineare

 

\begin{cases}3x+2y+3z=0\\ -x+y+3z=1\\ -4x+7y-3z=5\end{cases}\ \ \to\ \ \begin{cases}3z=...\\ 3z=...\\ 3z=...\end{cases}

 

Nei sistemi 3x3 inoltre, dopo aver isolato un'incognita, possiamo scegliere quale espressione utilizzare per il confronto con le altre. Anche qui prediligeremo la scelta che comporterà a occhio il minor numero di calcoli. Nei sistemi 2x2 la scelta è irrilevante perché conduce sempre alla medesima equazione.

 

2) Il metodo del confronto si presta, nel caso dei sistemi lineari di 3 equazioni in 3 incognite, a risoluzioni ibride. Più precisamente, se decidessimo di applicare il metodo del confronto su un sistema 3x3, dopo aver effettuato la prima iterazione ci troveremo a dover risolvere un sistema 2x2: a questo punto potremo applicare nuovamente il confronto o, eventualmente, usare un altro metodo di risoluzione. La scelta è nostra. ;)

 

3) Nella precedente lezione abbiamo visto che il metodo di sostituzione è piuttosto semplice e può essere applicato sempre e comunque; è un ottimo paracadute che potrebbe, di per sé, bastare per risolvere qualsiasi sistema 2x2 e 3x3. È quindi spontaneo domandarsi: quando conviene ricorrere al metodo del confronto?

 

Il metodo del confronto può rivelarsi utile quando, in tutte le equazioni, compare un'incognita ripetuta nella stessa forma, vale a dire con gli stessi coefficienti. Un esempio candidato alla risoluzione per confronto sull'incognita y è il seguente:

 

\begin{cases}3x+y+4z=1\\ -2x+y+6z=0\\ 2x+y-3z=0\end{cases}

 

Al contrario, non converrà procedere per confronto nel caso del sistema lineare

 

\begin{cases}3x+2y=1\\ x+5y=-1\end{cases}

 

Pro e contro del metodo del confronto

 

PRO) È un metodo semplice, soprattutto per i sistemi 2x2 e 3x3. Può inoltre essere usato anche per sistemi di equazioni qualsiasi, confrontando interi blocchi ripetuti nelle varie equazioni.

 

CONTRO) È un metodo raramente conveniente e spesso gli è preferibile il metodo di sostituzione, inoltre è di difficile applicazione nei sistemi lineari con più di 3 equazioni e più di 3 incognite.

 

 

Altri metodi di risoluzione dei sistemi lineari

 

1) Metodo di sostituzione ✓

 

2) Metodo del confronto ✓

 

3) Metodo di riduzione

 

4) Metodo di Cramer

 

 


 

Nella lezione successiva studieremo il metodo di riduzione. Se vi sentite già pronti per la pratica, potete mettervi alla prova con la scheda correlata di esercizi risolti; sappiate inoltre che qui su YM c'è un comodo tool per risolvere i sistemi di equazioni online. Per tutto il resto c'è la barra di ricerca interna. ;)

 

 

A hui hou, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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