Metodo di sostituzione

Il metodo di sostituzione è un procedimento che può essere usato per risolvere i sistemi lineari, e più in generale i sistemi di equazioni qualsiasi. Esso prevede di esprimere progressivamente ogni incognita in termini delle altre, e di sostituirne le espressioni nelle altre equazioni fino a ottenere un'equazione di primo grado nell'ultima incognita.

Il primo dei quattro metodi che studiamo è il metodo di sostituzione per sistemi lineari: come vedremo nella spiegazione e nei relativi esempi svolti, si tratta di un procedimento piuttosto semplice soprattutto quando viene utilizzato per risolvere i sistemi lineari di due equazioni in due incognite e di tre equazioni in tre incognite.

Oltre a spiegare come funziona, ne analizzeremo nel dettaglio i pro e i contro. Per chi non avesse letto la lezione introduttiva sui sistemi lineari precisiamo che qui ci concentreremo esclusivamente sul caso dei sistemi 2x2 e 3x3, che sono oggetto di studio alle scuole superiori. Al termine della lettura suggeriamo agli universitari in fase di ripasso di fare un salto nella sezione di Algebra lineare, ed in particolare di leggere la lezione sui metodi di risoluzione dei sistemi lineari. ;)

Metodo di sostituzione per sistemi lineari

Vediamo come funziona il metodo di sostituzione presentandolo nel caso dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite e di tre equazioni in tre incognite, ma sappiate che la logica del procedimento resta la stessa anche per sistemi lineari con più equazioni e più incognite, nonché addirittura per sistemi di equazioni qualsiasi. :)

Una volta ridotti in forma normale, i sistemi lineari 2x2 sono del tipo:

e i 3x3 hanno la forma

Il metodo di sostituzione prevede di:

- isolare un'incognita in un'equazione , in modo da ricavare un'espressione dipendente dalle altre incognite;

- sostituire l'espressione nelle altre equazioni, in modo da eliminare l'incognita ;

- lasciare da parte l'equazione e ridursi al sistema formato dalle restanti;

- reiterare il procedimento fino a che non rimane un'equazione di primo grado a un'incognita, e risolverla;

- sostituire la soluzione dell'equazione di primo grado a ritroso, fino a determinare le eventuali soluzioni per ogni incognita.

Non è molto chiaro, vero? Come spesso succede, gli esempi permettono di capire più in fretta. Vediamo quindi di contestualizzare la procedura di sostituzione nei sistemi 2x2 e 3x3.

Metodo di sostituzione per sistemi lineari di 2 equazioni in 2 incognite

Ragioniamo su un esempio svolto: vogliamo risolvere il seguente sistema lineare con il metodo di sostituzione

Il sistema è già ridotto in forma normale. Prima di procedere col metodo di sostituzione, possiamo vedere se esso è determinato, indeterminato o impossibile come spiegato nella lezione sui sistemi lineari.

Essendo , poiché

sappiamo a priori che il sistema è determinato, e dunque ammetterà un'unica soluzione. Troviamola applicando il metodo di sostituzione.

Scegliamo di isolare la nella prima equazione:

Sostiuiamo l'espressione trovata nella seconda equazione (per i primi tempi vi consigliamo di ricorrere sempre alle parentesi, onde evitare spiacevoli errori di segno)

In questo modo abbiamo ridotto la seconda equazione del sistema a un'equazione di primo grado. Risolviamola:

e sostituiamo a ritroso il valore ottenuto per nella prima equazione

La soluzione del sistema è data dalla coppia . Facile, no? A proposito: nessuno ci vieta di verificarla:

Tutto ok!

Un altro esempio

Consideriamo il seguente sistema di due equazioni in due incognite in forma non normale:

Dobbiamo dapprima ridurre il sistema in forma normale. Dopo aver calcolato il denominatore comune e fatto qualche conticino, avremo:

Provate a verificare che siamo di fronte a un sistema lineare determinato col precedente metodo. Fatto ciò, mettiamo in moto il metodo di sostituzione: dato che la scelta è del tutto arbitraria, conviene ricavare la dalla prima equazione in modo da non dover dividere per alcun coefficiente:

Sostituiamo ora nella seconda equazione l'espressione al posto di

Nella seconda equazione compare solamente l'incognita , e possiamo risolverla agevolmente:

Sostituiamo a ritroso, nella prima equazione, :

e l'unica soluzione del sistema lineare è la coppia . Attenzione a non fare confusione qui, perché i valori delle incognite vanno riportati in modo ordinato; in alternativa potete indicare la soluzione per esteso

Osservate che in questo esercizio avremmo anche potuto ricavare un'espressione per la dalla prima equazione del sistema, oppure una delle due incognite dalla seconda equazione. Non avremmo sbagliato scegliendo diversamente, ma in tutti gli altri casi avremmo avuto a che fare con un denominatore e con calcoli del tutto superflui. Ricordate che la Matematica non è fatica, bensì ragionare per fare meno fatica possibile. ;)

Metodo di sostituzione per sistemi lineari di 3 equazioni in 3 incognite

Nel caso dei sistemi 3x3 il metodo di sostituzione è un po' più delicato, ma segue sempre la medesima logica. Come vedremo tra un attimo, esso richiederà una reiterazione e nasconderà una piccola insidia.

Consideriamo il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite:

Isoliamo la nella prima equazione

Applichiamo il metodo di sostituzione per la prima volta sostituendo l'espressione che abbiamo trovato per nelle due equazioni restanti:

Svolgiamo i calcoli

Ora dobbiamo scordarci per un istante della prima equazione e concentrarci sulle altre due. Se ci fate caso, esse costituiscono un sistema lineare di 2 equazioni in 2 incognite, che possiamo risolvere usando il metodo di sostituzione.

Isoliamo la nella terza equazione secondo il principio del minimo sforzo:

e sostituiamo l'espressione di solamente nella seconda equazione (questo è il passaggio insidioso: non cadete nella tentazione di sostituire l'espressione di anche nella prima equazione, perché sbagliereste)

La seconda equazione del sistema si è ridotta per sostituzione a un'equazione di primo grado. Risolviamola ricordandoci della regola dei segni

Non ci resta che sostituire la soluzione nella terza equazione

ee infine le soluzioni per nella prima

Fine: l'unica soluzione del sistema lineare è data da .

Suggerimenti per usare al meglio il metodo di sostituzione

Come avete potuto notare dagli esempi, e come avrete modo di vedere nella scheda correlata di esercizi risolti, il metodo di sostituzione è estremamente semplice se applicato nei sistemi lineari 2x2 e 3x3. Nonostante ciò ci sono due aspetti piuttosto delicati da tenere a mente, e anche se sono già stati evidenziati nella spiegazione preferiamo ribadirli.

1) La scelta delle incognite su cui innescare il metodo di sostituzione è del tutto arbitraria. Possiamo scegliere ciò che vogliamo per ricavarne un'espressione da sostituire nelle altre equazioni; cionondimeno è bene farsi furbi e scegliere sempre un'incognita che conduca ai calcoli più semplici possibili.

A tal proposito vi suggeriamo di:

- optare per le incognite che hanno coefficiente 1;

- in alternativa, optare per le incognite con coefficienti che conducono a semplificazioni (a occhio);

Naturalmente vi capiterà prima o poi di dover risolvere sistemi lineari pestilenziali, in cui qualsiasi scelta condurrà a calcoli orribili. Che fare in casi del genere? Cercheremo comunque la via meno peggiore e stringeremo i denti. ;)

2) Nei sistemi lineari 3x3 il metodo di sostituzione richiede una reiterazione. Chiamiamo le tre equazioni:

Immaginiamo di usare l'equazione per ricavare la prima espressione ed effettuare la prima sostituzione in . In questo modo ci riduciamo a un sistema 2x2

in cui si applica nuovamente il metodo di sostituzione. Immaginiamo di usare l'equazione , e di ricavare un'espressione per la seconda sostituzione. Ebbene, qui è fondamentale non chiamare in causa l'equazione usata inizialmente e limitarci a effettuare la sostituzione in , altrimenti cadremmo in un procedimento circolare che non ci condurrebbe alle soluzioni.

Sostituendo l'espressione di solamente in riusciremo a ricavare un'equazione di primo grado in un'incognita; a questo punto potremo sostituire a ritroso la soluzione in e successivamente le soluzioni in .

Pro e contro del metodo di sostituzione

PRO) Il metodo di sostituzione è estremamente intuitivo ed è di semplice applicazione nei sistemi lineari 2x2 e 3x3; inoltre è utilizzabile anche per sistemi di equazioni non lineari, perlomeno ove le equazioni non sono troppo complicate.

CONTRO) Per quanto teoricamente nulla vieti di applicare il metodo di sostituzione per sistemi lineari con più di 3 equazioni e 3 incognite, nella pratica non conviene perché diventa estremamente lungo, esponendoci a possibili errori di calcolo. Basti pensare che, nel caso di un sistema nxn, il metodo di sostituzione richiede esattamente (n-1) iterazioni!

Altri metodi di risoluzione per sistemi lineari

1) Metodo di sostituzione ✓

2) Metodo del confronto

3) Metodo di riduzione

4) Metodo di Cramer

Non perdetevi le lezioni successive! Nel frattempo vi raccomandiamo di dare un'occhiata alla scheda correlata di esercizi svolti sui sistemi lineari, e all'occorrenza di usare il tool per risolvere i sistemi di equazioni online. Più in generale ricordatevi che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Kamisaki, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Tags: sistemi lineari di equazioni online - metodi di risoluzione dei sistemi lineari - metodo di sostituzione per risolvere i sistemi lineari.

Ultima modifica: 23/09/2023