Sistemi lineari

Un sistema lineare (due equazioni in due incognite, tre equazioni in tre incognite, m equazioni in n incognite) è un sistema di equazioni lineari, ossia un sistema costituito da equazioni in più incognite ove ogni incognita compare con esponente 1. In altri termini, le equazioni lineari sono equazioni di primo grado in più incognite.

 

Questa lezione è l'inizio di un mini-ciclo dedicato ai sistemi di equazioni lineari. L'argomento che stiamo per affrontare ha un peso enorme perché, a partire dal biennio delle scuole superiori, ci accompagnerà fino al primo anno di università nei corsi di Algebra Lineare. A tal proposito vi anticipiamo che questa lezione è pensata per gli studenti delle superiori: qui infatti ci concentreremo sui sistemi lineari di due equazioni in due incognite e sui sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite. Il caso generale di m equazioni in n incognite verrà trattato nella sezione universitaria precedentemente menzionata, ciononostante invitiamo gli universitari a proseguire la lettura: il ripasso vi sarà certamente utile. ;)

 

Qui di seguito vi proporremo una panoramica sui sistemi lineari dandone la definizione, spiegando cosa significa risolvere un sistema lineare e quali sono i possibili casi sul numero di soluzioni. Ci concentreremo quindi sui casi di 2 equazioni in 2 incognite e di 3 equazioni in 3 incognite; nelle lezioni successive studieremo nel dettaglio i quattro metodi che permettono di risolverli (sostituzione, confronto, riduzione, Cramer).

 

Nota: se siete interessati, qui su YM c'è anche una lezione dedicata ai sistemi di disequazioni.

 

Cosa sono i sistemi lineari di equazioni?

 

Per definizione i sistemi di equazioni lineari, o più brevemente sistemi lineari, sono gruppi di equazioni in cui ciascuna di esse è un'equazione di primo grado in una o più incognite. Qualche esempio:

 

\begin{cases}x=1\\ x=0\end{cases}\ \ \ \ \ \ \begin{cases}x+y=0\\ x-y=3\end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases}2x+3y-z=-2\\ x-y=2\end{cases}\ \ \ \ \ \ \begin{cases}x+y+z=1\\ x-y-z=1\\ x-2y+3z=-5\end{cases}\\ \\ \\ \begin{cases}x+y=1\\ x-y=-1\\ x+3y=0\end{cases}\ \ \ \ \ \ \begin{cases}x+y+z+t=0\\ x+2y+2z-t=\frac{1}{2}\\ x+4y-3z-2t=1\\ x+y+z+t=0\end{cases}

 

Come potete vedere, la definizione non pone alcun vincolo sul numero di equazioni né sul numero di incognite, per cui in generale si parla di sistemi lineari di m equazioni in n incognite. L'unica richiesta è che le equazioni siano lineari, ossia di primo grado: ciò significa in termini pratici che le incognite devono comparire esclusivamente con esponente 1.

 

Lo studio e la risoluzione dei sistemi lineari nel caso più generale possibile non è affatto semplice, sicché alle scuole superiori si considerano due casi particolarmente docili, con le seguenti caratteristiche:

 

- un numero di equazioni uguale al numero di incognite;

 

- un basso numero di incognite;

 

ed è così che vi presentiamo:

 

2x2) i sistemi lineari di due equazioni in due incognite, generalmente indicati nella forma

 

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

 

3x3) i sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite, del tipo

 

\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}

 

Per completezza a fine lezione vi proporremo qualche piccolo cenno e qualche definizione sul caso generale. In ogni caso 2x2) e 3x3) saranno il nostro unico campo da gioco. ;)

 

Cosa significa risolvere un sistema lineare

 

Cosa significa risolvere un sistema lineare? Perché consideriamo un sistema di equazioni e non una singola equazione in più incognite? E perché consideriamo sistemi di equazioni lineari e non sistemi di equazioni qualsiasi?

 

Quante domande! :) In effetti, nulla ci vieterebbe di considerare una singola equazione lineare, come ad esempio

 

2x+3y=7

 

e nulla ci vieterebbe di provare a risolvere un sistema di equazioni non lineari

 

\begin{cases}x^2+y^2=0\\ x-y^3=-1\end{cases}

 

e, come vedrete nel prosieguo delle lezioni, lo faremo. In Matematica però è necessario procedere per passi, imparare a classificare gli enti algebrici e acquisire il metodo di risoluzione per ogni tipo di problema... ;)

 

I sistemi lineari costituiscono il primo e più semplice tipo di sistemi di equazioni. Lo scopo di un sistema di equazioni consiste nell'individuare tutte e sole le possibili soluzioni che risolvono contemporaneamente tutte le equazioni del sistema.

 

Ciò significa che, dato un sistema di 2 equazioni in 2 incognite della forma

 

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

 

una soluzione del sistema è una coppia di valori reali che soddisfano in un colpo solo entrambe le equazioni del sistema

 

1\mbox{ soluzione del sistema}\ \to\ x=\overline{x}\in\mathbb{R},\ \ y=\overline{y}\in\mathbb{R}

 

In forma compatta

 

(\overline{x},\overline{y})\ \ \ \mbox{con }\overline{x},\overline{y}\in\mathbb{R}

 

Nel caso di un sistema di 3 equazioni in 3 incognite

 

\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2\\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3\end{cases}

 

una soluzione del sistema è una terna di numeri reali che, sostituiti ordinatamente alle incognite, soddisfano tutte le equazioni del sistema

 

1\mbox{ soluzione del sistema}\ \to\ x=\overline{x}\in\mathbb{R},\ \ y=\overline{y}\in\mathbb{R},\ \ z=\overline{z}\in\mathbb{R}

 

In forma compatta:

 

(\overline{x},\overline{y},\overline{z})\ \ \ \mbox{con }\overline{x},\overline{y},\overline{z}\in\mathbb{R}

 

Risolvere un sistema lineare (o più in generale, un sistema di equazioni) significa trovare tutti i valori delle incognite che, congiuntamente, risolvono tutte le equazioni del sistema.

 

Esempio: soluzioni di un sistema lineare di due equazioni in due incognite

 

Alcuni problemi di enigmistica si risolvono proprio grazie ai sistemi lineari. Un esempio? "Trova quei due numeri la cui somma è 24 e la differenza è 6".

 

Chiamiamo i due numeri x e y, e consideriamo le due equazioni dettate in maniera ovvia dalla traccia (un po' come siamo stati abituati nei problemi con le equazioni)

 

x+y=24\\ \\ x-y=6

 

Se non scriviamo un sistema queste due equazioni, trattate singolarmente, ammettono infinite soluzioni. Ad esempio alcuni numeri la cui somma è 24 sono (0,24), (1,23), (-26,50), ... e numeri che hanno differenza 6 sono (7,1),(8,2),(27,21),...

 

Per indicare che le due equazioni vanno risolte contemporaneamente, nel senso che vogliamo i risultati che le soddisfano entrambe, scriviamo un sistema. Nella pratica scriviamo le due equazioni comprese in una parentesi graffa:

 

\begin{cases}x + y = 24 \\ x-y = 6\end{cases}

 

ed ecco il sistema lineare 2x2 che corrisponde al testo del quesito!

 

Ora che facciamo? Vedremo molti procedimenti per risolvere i sistemi lineari, ma intuitivamente potremmo procedere così: isoliamo l'incognita x nella prima equazione e riscriviamo la seconda:

 

\begin{cases} x = 24-y \\ x-y = 6 \end{cases}

 

Abbiamo trovato un'espressione per x che possiamo sostituire nella seconda equazione del sistema:

 

\begin{cases} x = 24-y \\ (24-y)-y = 6\end{cases}

 

Svolgendo i calcoli nella seconda equazione, otteniamo:

 

\begin{cases} x = 24-y \\ 24-2y=6 \end{cases}

 

Risolviamo la seconda equazione di primo grado:

 

\begin{cases} x = 24-y\\ 2y=18 \ \to \ y=9 \end{cases}

 

e sostituiamo il valore di y nella prima equazione

 

\begin{cases} x = 24-9=15 \\ y=9\end{cases}

 

La soluzione del sistema è quindi data dalla coppia ordinata:

 

(x,y)=(15,9)

 

A proposito: il metodo che abbiamo usato per risolvere il sistema lineare prende il nome di metodo di sostituzione. Ce ne occuperemo nel dettaglio nella lezione successiva, ma proseguiamo con ordine. ;)

 

Soluzioni di un sistema lineare

 

I possibili casi sul numero di soluzioni dei sistemi lineari seguono lo stesso schema a cui ormai siamo ben abituati. A prescindere dal numero di equazioni che formano il sistema e dal numero di incognite che compaiono, sono date le seguenti possibilità:

 

- sistema lineare determinato → Ammette una e una sola soluzione, ossia una e una sola n-upla di valori che, sostituiti ordinatamente alle incognite, risolvono tutte le equazioni.

 

Ad esempio, un sistema lineare 2x2 determinato ammette una e una sola coppia di valori che, sostituiti ordinatamente alle due incognite, risolvono tutte le equazioni; un sistema lineare 3x3 determinato ammette una e una sola terna di valori che, sostituiti alle incognite, risolvono tutte le equazioni; un sistema lineare mxn determinato ammette una e una sola n-upla di valori che, sostituiti alle incognite, risolvono tutte le equazioni.

 

- sistema lineare indeterminato → Ammette infinite soluzioni.

 

- sistema lineare impossibile → Non ammette alcuna soluzione.

 

In questo frangente è opportuno specificare una semplice regola che potrebbe tornarci utile nella risoluzione degli esercizi: se anche solo un'equazione del sistema è impossibile, l'intero sistema è impossibile.

 

 
 

A proposito dei sistemi lineari di 2 equazioni in 2 incognite

 

Prima di gettarci a capofitto nella risoluzione dei sistemi lineari 2x2 e 3x3 vorremmo proporvi qualche considerazione d'approfondimento sul primo dei due casi: il più semplice nonché più familiare, non trovate? :)

 

Nel caso dei sistemi lineari di due equazioni in due incognite esiste un metodo che permette di stabilire se il sistema è determinato, indeterminato o impossibile ancor prima di risolverlo.

 

\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}

 

Qui di seguito riportiamo lo schema sulla risolubilità dei sistemi 2x2 senza commentarlo in alcun modo, perché vi sarà tutto estremamente chiaro dopo aver studiato i vari metodi di risoluzione. Supponendo che a_2, \ b_2 \ \mbox{e} \ c_2 siano diversi da zero, allora:

 

\\ \bullet \ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \ \Rightarrow \ \mbox{sistema determinato}\\ \\ \\ \bullet \ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \ \Rightarrow \ \mbox{sistema indeterminato}\\ \\ \\ \bullet \ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \ \Rightarrow \ \mbox{sistema impossibile}

 

Nel caso in cui a_2\ \mbox{o} \ b_2 fossero uguali a zero, le tre condizioni dello schema perderebbero di significato. Se invece a_2 \ \mbox{e} \ b_2 fossero entrambi diversi da zero e c_2 fosse nullo, la prima condizione dello schema continuerebbe a valere, mentre la seconda e la terza sarebbero prive di significato perché non è possibile dividere per zero. In tali eventualità conviene studiare direttamente il sistema lineare avvalendosi di uno dei metodi risolutivi.

 

Ad esempio, nel sistema considerato all'inizio

 

\begin{cases}x + y = 24 \\ x-y = 6\end{cases}

 

risulta a_1=a_2=1, \ b_1=1, \ b_2=-1, per cui

 

\frac{a_1}{a_2}=1 \neq -1=\frac{b_1}{b_2}

 

e quindi, in accordo con lo schema, il sistema è determinato: ammette una e una sola soluzione.

 

C'è anche un importantissimo significato geometrico dei sistemi lineari 2x2 di cui è utile tener conto. Se consideriamo una singola equazione lineare in due incognite

 

ax+by=c

 

notiamo che essa non è altro che l'equazione di una retta nel piano cartesiano; basta infatti spostare il termine noto a sinistra dell'uguale per ottenere la forma implicita:

 

ax+bx-c=0

 

In questi termini è immediato comprendere che un sistema lineare di due equazioni in due incognite non è altro che il confronto tra due rette: risolvere un sistema lineare 2x2 significa individuare le eventuali intersezioni tra le due rette, nonché studiarne la posizione reciproca nel piano.

 

In particolare:

 

- le due rette si intersecano in uno e un solo punto se e solo se il sistema è determinato (una e una sola soluzione);

 

- le due rette sono coincidenti se e solo se il sistema è indeterminato (infinite soluzioni);

 

- le due rette sono parallele se e solo se il sistema è impossibile (nessuna soluzione).

 

Come avrete già intuito, i sistemi lineari rivestono un'importanza fondamentale nella Geometria Analitica. Il loro studio nasce (anche) dalla necessità di risolvere problemi geometrici con un approccio puramente algebrico. ;)

 

Se facciamo riferimento al precedente esempio

 

\begin{cases}x + y = 24 \\ x-y = 6\end{cases}

 

e disegniamo le due rette corrispondenti alla prima e alla seconda equazione

 

x+y=24 \ \ \ \mbox{e}\ \  \ x-y=6

 

si può vedere che si intersecano proprio nel punto di coordinate (15,9).

 

 

Soluzioni di un sistema lineare

 

 

Tutte queste considerazioni avranno una naturale corrispondenza negli ordini superiori per numero di incognite e di equazioni, ma purtroppo dovrete attendere i corsi universitari di Algebra Lineare per studiarli approfonditamente, e più precisamente quando sarete alle prese con la Geometria dello Spazio. ;)

 

Metodi di risoluzione dei sistemi lineari

 

Nelle lezioni successive tratteremo dettagliatamente i vari metodi di risoluzione dei sistemi lineari:

 

1) sistemi lineari per sostituzione

 

2) sistemi lineari per confronto

 

3) sistemi lineari per riduzione

 

4) metodo di Cramer

 

 


 

La lezione prosegue esclusivamente per gli studenti universitari che sono in fase di ripasso. Vi aspettiamo nella lezione successiva, in cui presenteremo il metodo di sostituzione per sistemi lineari; ricordate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio, nonché un comodo tool per risolvere i sistemi di equazioni online. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente.........Esercizi correlati..........Lezione successiva

 

Approfondimento: sistemi lineari di m equazioni in n incognite

 

Repetita iuvant: la restante parte della lezione è un puro e semplice approfondimento del tutto facoltativo, rivolto agli studenti universitari in fase di ripasso.

 

Si dice sistema di equazioni lineari in m equazioni ed n incognite un sistema della forma

 

\begin{cases}a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots +a_{1,3}x_3+\cdots+a_{1,n}x_n =b_1\\a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots +a_{2,3}x_3+\cdots+a_{2,n}x_n =b_2\\ \vdots \\a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+\cdots +a_{m,3}x_3+\cdots+a_{m,n}x_n =b_m\end{cases}

 

dove (x_1, \ x_2, \ ... , \ x_n) sono le incognite e a_{ij} i coefficienti; il primo pedice indica l'equazione a cui si riferiscono, mentre il secondo pedice individua l'incognita.

 

Ad esempio a_{2,5} è il coefficiente che moltiplica la quinta incognita nella seconda equazione.

 

Si dice soluzione del sistema di equazioni lineare la n-upla (x_1, \ ..... \ x_n) che soddisfa tutte le equazioni del sistema.

 

Solitamente un sistema lineare di m equazioni in n incognite si rappresenta con la notazione matriciale, secondo la logica del prodotto riga per colonna

 

A\underline{x}=\underline{b}

 

dove:

 

A è la matrice dei coefficienti delle incognite

 

A=\left[\begin{matrix}a_{11} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{matrix}\right]

 

\underline{x} è il vettore colonna delle incognite

 

\underline{x}=\left[\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right]

 

\underline{b} è il vettore colonna dei termini noti

 

\underline{b}=\left[\begin{matrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{matrix} \right]

 

Esplicitamente:

 

\left[\begin{matrix}a_{11} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right]=\left[\begin{matrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{matrix} \right]

 

Sistemi lineari omogenei

 

Se i termini noti delle equazioni che formano il sistema sono tutti nulli, ossia se

 

b_1=b_2=....=b_m=0

 

si dice che Ax=b è un sistema lineare omogeneo.

 

Questa caratteristica, all'apparenza poco rilevante, ha una grande ripercussione sull'insieme delle soluzioni del sistema: un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile, cioè determinato o indeterminato. Tali sistemi hanno infatti sempre almeno una soluzione data dalla n-upla banale, formata cioè da tutti zeri.

 

Nella sezione di Algebra Lineare dedicata a Matrici e Vettori approfondiamo la risoluzione dei sistemi lineari nel caso generale nel dettaglio. :)

 


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