Equazioni trigonometriche - seconda parte

Procediamo con la seconda parte della lezione sulle equazioni trigonometriche, analizzando altri possibili casi. Nella precedente lezione - equazioni goniometriche - abbiamo fornito una classificazione generale e spiegato i metodi di risoluzione delle equazioni goniometriche elementari, che sono la base irrinunciabile per lo sviluppo della teoria e delle tecniche risolutive.

 

Prima di procedere con la lettura è quindi necessario sapere come risolvere le equazioni del tipo

 

\sin(x)=m\ \ \ ;\ \ \ \cos(x)=n\\ \\ \tan(x)=p\ \ \ ;\ \ \ \cot(x)=q\\ \\ \sec(x)=r\ \ \ ;\ \ \ \csc(x)=s

 

infatti, come vedremo tra un istante, ci ricondurremo quasi sempre ad esse.

 
 
 

Equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari

 

Qui di seguito tratteremo essenzialmente tre tipologie di equazioni trigonometriche:

 

- equazioni goniometriche per sostituzione, del tipo

 

\sin[f(x)]=m\ \ \ ;\ \ \ \cos[f(x)]=n\\ \\ \tan[f(x)]=p\ \ \ ;\ \ \ \cot[f(x)]=q\\ \\ \sec[f(x)]=r\ \ \ ;\ \ \ \csc[f(x)]=s

 

- equazioni goniometriche per sostituzione, varie ed eventuali

 

- equazioni goniometriche per confronto

 

\sin[f(x)]=\sin[g(x)]\ \ \ ;\ \ \ \cos[f(x)]=\cos[g(x)]\\ \\ \tan[f(x)]=\tan[g(x)]\ \ \ ;\ \ \ \cot[f(x)]=\cot[g(x)]\\ \\ \sec[f(x)]=\sec[g(x)]\ \ \ ;\ \ \ \csc[f(x)]=\csc[g(x)]

 

- equazioni goniometriche riconducibili alle elementari mediante definizioni e formule trigonometriche

 

Nelle due lezioni successive tratteremo invece:

 

- le equazioni goniometriche lineari in seno e coseno

 

a \sin(x)+b \cos(x)=c

 

- le equazioni goniometriche di secondo grado in seno e coseno

 

a \sin^2(x)+b \sin{(x)}\cos{(x)}+c \cos^2{(x)}=d

 

Come al solito vi ricordiamo di prestare attenzione alle eventuali condizioni di esistenza da imporre sulla forma originaria dell'equazione. Noi menzioneremo di volta in volta le eventuali CE relative alla struttura delle equazioni, ma in generale potrebbe essere necessario imporne altre, relative ad esempio alle specifiche espressioni dei termini che noi indicheremo con f(x),g(x). Quando risolverete gli esercizi, ricordatevi sempre di controllare se la forma originaria dell'equazione richiede condizioni di esistenza particolari. ;)

 

Equazioni trigonometriche per sostituzione

 

Le equazioni trigonometriche del tipo

 

\sin[f(x)]=m\ \ \ ;\ \ \ \cos[f(x)]=n\\ \\ \tan[f(x)]=p\ \ \ ;\ \ \ \cot[f(x)]=q\\ \\ \sec[f(x)]=r\ \ \ ;\ \ \ \csc[f(x)]=s

 

richiedono innanzitutto una discussione preliminare delle condizioni di esistenza, in accordo con le definizioni. Oltre alle eventuali CE relative alla specifica espressione di f(x) dobbiamo tenere conto che seno o coseno non richiedono di per sé alcuna CE; al contrario, tangente e cotangente e secante e cosecante possono essere riscritte sotto forma di rapporti, per cui dobbiamo scongiurare l'annullamento del denominatore

 

\tan(f(x))=\frac{\sin(f(x))}{\cos(f(x))} \ \longrightarrow \ f(x)\ne \frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}\\ \\ \\ \cot(f(x))=\frac{\cos(f(x))}{\sin(f(x))}\ \longrightarrow \ f(x)\ne k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}\\ \\ \\ \sec(f(x))=\frac{1}{\cos(f(x))}\ \longrightarrow \ f(x)\ne \frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}\\ \\ \\ \csc(f(x))=\frac{1}{\sin(f(x))}\ \longrightarrow \ f(x)\ne k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

 

Con queste premesse possiamo ricondurci a un'equazione goniometrica elementare effettuando un'ovvia sostituzione:

 

f(x)=y

 

dove y è detta incognita ausiliaria, così da avere:

 

\sin(y)=m\ \ \ ;\ \ \ \cos(y)=n\\ \\ \tan(y)=p\ \ \ ;\ \ \ \cot(y)=q\\ \\ \sec(y)=r\ \ \ ;\ \ \ \csc(y)=s

 

che sappiamo risolvere alla perfezione. ;) Dopo aver individuato le soluzioni relative all'incognita y, effettueremo la sostituzione inversa in modo da esprimere le soluzioni rispetto all'incognita x.

 

 

Esempi

 

1) \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=-1

 

Ponendo x+\frac{\pi}{6}=y avremo

 

\sin(y)=-1

 

Essendo la funzione seno periodica di periodo 2\pi, le soluzioni saranno date da

 

y=\frac{3}{2}\pi+2k\pi

 

A questo punto, ricordando che y=x+\frac{\pi}{6}, ricaviamo

 

x+\frac{\pi}{6}=\frac{3}{2}\pi+2k\pi\\ \\ \\ x=\frac{3}{2}\pi-\frac{\pi}{6}+2k\pi

 

In definitiva

 

x=\frac{4}{3}\pi+2k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}

 

 

2) 4\cos(6x)-9=0

 

Innanzitutto portiamo il 9 a secondo membro e dividiamo tutto per 4, così da avere

 

\cos(6x)=\frac{9}{4}

 

Procediamo col metodo di sostituzione. Dopo aver posto y=6x ricadiamo in un'equazione elementare col coseno:

 

\cos(y)=\frac{9}{4}

 

che è evidentemente impossibile in quanto \frac{9}{4}=2,25>1. Di conseguenza l'equazione trigonometrica di partenza non ha soluzioni.

 

 

3) \tan\left(\frac{x}{3}\right)=1

 

Poiché siamo in presenza della tangente imponiamo le relative condizioni di esistenza

 

\frac{x}{3}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi

 

e, in barba al parametro k, la risolviamo come un'equazione di primo grado

 

x\neq \frac{3\pi}{2}+3k\pi

 

Effettuiamo l'ovvia sostituzione

 

\frac{x}{3}=y

 

e ricaviamo \tan(y)=1, le cui soluzioni sono date da

 

y=\frac{\pi}{4}+k\pi

 

Torniamo all'incognita di partenza

 

\frac{x}{3}=\frac{\pi}{4}+k\pi\\ \\ \\ x=\frac{3\pi}{4}+3k\pi

 

Per concludere dobbiamo confrontare le soluzioni con le condizioni di esistenza. Il passaggio finale non è semplicissimo perché a ben vedere abbiamo infinite soluzioni e infiniti valori esclusi dalle CE. Ci domandiamo se sono presenti soluzioni che rientrano nell'insieme di valori esclusi dalle CE, dunque impostiamo un'equazione di confronto diversificando i simboli usati per i parametri

 

\overbrace{\frac{3\pi}{4}+3k\pi}^{\mbox{soluzioni}}=\overbrace{\frac{3\pi}{2}+3h\pi}^{\mbox{CE}}\ \ \ k,h\in\mathbb{Z}

 

Risolvendo l'equazione, otteniamo

 

k=\frac{4h+1}{4}

 

Per cui in conclusione indicheremo le soluzioni dell'equazione di partenza escludendo quest'ultimi valori interi del parametro k

 

x=\frac{3\pi}{4}+3k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z},\ k\neq\frac{4h+1}{4}\ \mbox{al variare di }h\in\mathbb{Z}

 

Equazioni goniometriche per sostituzione - varie ed eventuali

 

Le equazioni goniometriche che contengono una sola funzione goniometrica, ripetuta con il medesimo argomento, si riconducono a quelle elementari mediante un'opportuna sostituzione dell'incognita. Poiché non vi è una specifica forma normale di riferimento, ma solamente una (ovvia) caratteristica che contraddistingue tali equazioni, riteniamo opportuno procedere subito con gli esempi.

 

 

1) 8\sin^2(x)+2\sin(x)-3=0

 

Tale equazione ha decisamente l'aspetto di un'equazione di secondo grado, dunque sostituiamo l'incognita ponendo y=sin(x)

 

8y^2+2y-3=0

 

Risolvendo l'equazione con il metodo a noi ben noto, ricaviamo le soluzioni

 

y=-\frac{3}{4}\ \vee \ y=\frac{1}{2}

 

Ricordando la sostituzione che abbiamo imposto, ossia \sin(x)=yriusciamo a ricondurci a due equazioni trigonometriche elementari:

 

\sin(x)=\frac{1}{2}\\ \\ \sin(x)=-\frac{3}{4}

 

Abbiamo già discusso il procedimento risolutivo di queste equazioni nella lezione precedente. La prima ha come soluzioni:

 

x=\frac{\pi}{6}+2k \pi \ \vee \ x=\frac{5}{6}\pi + 2k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}

 

La seconda:

 

x=\pi+\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)+2k \pi \ \vee \ x=2\pi-\arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + 2k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

 

2) 7\cos(x)-4\cos^3(x)-3=0

 

Ponendo \cos(x)=y ci riconduciamo all'equazione di terzo grado:

 

7y-4y^3-3=0 \ \ \to \ \ 4y^3-7y+3=0

 

Grazie alla regola di Ruffini possiamo scomporre il polinomio a primo membro, e riscrivere l'equazione nella forma

 

(y-1)(4y^2+4y-3)=0

 

Dalla legge di annullamento del prodotto sappiamo che il primo membro è nullo se almeno uno dei due fattori è nullo

 

y-1=0\ \ \to\ \ y=1\\ \\ 4y^2+4y-3=0\ \ \to\ \ y=-\frac{3}{2} \ \vee \ y=\frac{1}{2}

 

Ritornando al coseno otteniamo tre equazioni goniometriche elementari, una per ciascuna soluzione:

 

\cos(x)=1\ \ \to\ \ \ x=2k\pi,\ \ \ \mbox{con } k \in \mathbb{Z}\\ \\ \\ \cos(x)=\frac{1}{2}\ \ \to\ \ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{5}{3}\pi +2k\pi,\ \ \ \mbox{con }k \in \mathbb{Z}\\ \\ \\ \cos(x)=-\frac{3}{2}\ \ \to\ \ \mbox{impossibile}: \ -\frac{3}{2}=-1,5<-1

 

Le soluzioni dell'equazione saranno quindi

 

x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{5}{3}\pi +2k\pi\ \ \vee\ \ x=2k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Equazioni goniometriche per confronto

 

Un'importantissima tipologia di equazioni goniometriche è quella che presuppone il confronto tra argomenti diversi con una medesima funzione goniometrica. Vediamo come si deve procedere nella risoluzione delle equazioni goniometriche della forma:

 

\sin[f(x)]=\sin[g(x)]\ \ \ ;\ \ \ \cos[f(x)]=\cos[g(x)]\\ \\ \tan[f(x)]=\tan[g(x)]\ \ \ ;\ \ \ \cot[f(x)]=\cot[g(x)]\\ \\ \sec[f(x)]=\sec[g(x)]\ \ \ ;\ \ \ \csc[f(x)]=\csc[g(x)]

 

La prima cosa da fare è imporre le eventuali condizioni di esistenza relative a f(x),g(x). Oltre ad esse, dovremo imporre le CE per tangente, cotangente, secante e cosecante, in accordo con lo schema visto in precedenza. Fatto ciò, potremo procedere con la risoluzione.

 

In casi del genere è facilissimo cadere in errore cedendo alla tentazione di scrivere f(x)=g(x). Per non sbagliare basta ricordare quando due angoli hanno lo stesso seno o coseno, la stessa tangente o cotangente o la stessa secante o cosecante.

 

- Due angoli hanno lo stesso seno se differiscono di un numero intero di angoli giri, oppure se uno di essi differisce per un numero intero di angoli giri dal supplementare dell'altro:

 

\sin[f(x)]=\sin[g(x)]\\ \\ f(x)=g(x)+2k\pi\ \vee\ f(x)=[\pi-g(x)]+2k\pi\ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

- Due angoli hanno lo stesso coseno se differiscono di un numero intero di angoli giri, oppure se uno di essi differisce per un numero intero di angoli giri dall'opposto dell'altro:

 

\cos[f(x)]=\cos[g(x)]\\ \\ f(x)=g(x)+2k\pi\ \ \vee\ \ f(x)=[2\pi-g(x)]+2k\pi\ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

- Due angoli hanno la stessa tangente se differiscono di un numero intero di angoli piatti e sono entrambi diversi da \frac{\pi}{2}+k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}:

 

\tan[f(x)]=\tan[g(x)]\\ \\ f(x)=g(x)+k\pi\\ \\ \mbox{con} \ f(x),\ g(x) \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

- Due angoli hanno la stessa cotangente se differiscono di un numero intero di angoli piatti e sono entrambi diversi da k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}:

 

\cot[f(x)]=\cot[g(x)]\\ \\ f(x)=g(x)+k\pi\\ \\ \mbox{con} \ f(x),\ g(x) \neq k\pi\ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

- Due angoli hanno la stessa secante se differiscono di un numero intero di angoli giri e sono entrambi diversi da \frac{\pi}{2}+k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}:

 

\sec[f(x)]=\sec[g(x)]\\ \\ f(x)=g(x)+2k\pi\ \vee\ f(x)=[2\pi-g(x)]+2k\pi\\ \\ \mbox{con} \ f(x),\ g(x) \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

- Due angoli hanno la stessa cosecante se differiscono di un numero intero di angoli giri e sono entrambi diversi da k\pi al variare di k\in\mathbb{Z}:

 

\csc[f(x)]=\csc[g(x)]\\ \\ f(x)=g(x)+2k\pi\ \vee\ f(x)=[\pi-g(x)]+2k\pi\\ \\ \mbox{con} \ f(x),\ g(x) \neq k\pi\ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

 

Esempi

 

1) \sin(5x)=\sin(7x)

 

In accordo con lo schema risolutivo sono date due possibilità:

 

5x=7x+2k\pi\ \ \to\ \ -2x=2k\pi\ \ \to\ \ x=-k\pi\\ \\ 5x=(\pi-7x)+2k\pi\ \ \to\ \ 12x=\pi+2k\pi\ \ \to\ \ x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{6}

 

2) \cot\left(\frac{x}{2}\right)=\cot(2x)

 

Prima di tutto imponiamo le condizioni di esistenza

 

\frac{x}{2}\neq k\pi\ \ \to\ \ x\neq 2k\pi\\ \\ 2x\neq k\pi\ \ \to\ \ x\neq \frac{k\pi}{2}

 

La prima esclude i multipli interi dell'angolo giro, la seconda i multipli interi dell'angolo retto. Poiché i primi sono inclusi nei secondi, possiamo limitarci a scrivere

 

x\neq \frac{k\pi}{2}

 

A questo punto possiamo ricorrere allo schema risolutivo

 

\frac{x}{2}=2x+k\pi\ \ \to\ \ -\frac{3}{2}x=k\pi\ \ \to\ \ x\neq -\frac{2}{3}k\pi

 

Confrontiamo soluzioni e CE diversificando i parametri

 

-\frac{2}{3}k\pi=\frac{h\pi}{2}\ \ \to\ \ k=-\frac{3}{4}h\ \ \ \mbox{con }h,k\in\mathbb{Z}

 

e abbiamo finito

 

x=-\frac{2}{3}k\pi\ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z},\ k\neq -\frac{3}{4}h\ \ \mbox{al variare di }h\in\mathbb{Z}

 

Equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari mediante formule goniometriche

 

La successiva tipologia di equazioni trigonometriche di cui ci occupiamo è estremamente variegata. Potremmo riassumerla in una frase, che descrive perfettamente la strategia risolutiva comune ad esse: tutte le volte che potremo usare le formule trigonometriche per ridurre l'equazione a una forma più semplice, o comunque a noi già nota, lo faremo. ;)

 

Analizziamo caso per caso, formula per formula, proponendo un esempio significativo per ciascuno di essi.

 

Equazioni goniometriche risolvibili con le definizioni

 

Se in un'equazione goniometrica dovessero comparire funzioni che non siano seno, coseno o tangente, possiamo ricondurci ad esse semplicemente ricordando come sono definite cotangente, secante e cosecante :)

 

\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\ \ \ ;\ \ \ \cot(x)=\frac{1}{\tan(x)}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\\ \\ \\ \sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}\ \ \ ;\ \ \ \csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}

 

Consideriamo il seguente esempio

 

\tan(x)+2\cot(x)=3

 

Imponiamo le condizioni di esistenza:

 

\begin{cases}x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\\ x\neq k\pi\end{cases}\ \ \to\ \ x\neq k\frac{\pi}{2}

 

Se sfruttiamo la definizione di cotangente come reciproco della tangente, possiamo ridurre l'equazione

 

\tan(x)+\frac{2}{\tan(x)}=3

 

Dopo aver portato tutto a primo membro e calcolato il denominatore comune:

 

\frac{\tan^2(x)+2-3\tan(x)}{\tan(x)}=0

 

Le CE ci permettono di eliminare il denominatore e di passare a

 

\tan^2(x)-3\tan(x)+2=0 

 

che è una semplice equazione goniometrica risolvibile per sostituzione, ponendo \tan(x)=y

 

y^2-3y+2=0

 

Quest'ultima è un'equazione di secondo grado che ammette le due soluzioni

 

y=1 \ \vee \ y=2

 

Tornando alla tangente ricadremo nelle due equazioni goniometriche elementari:

 

\tan(x)=1\ \ \to\ \ x=\frac{\pi}{4}+k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}\\ \\ \tan(x)=2\ \ \to\ \ x=\arctan(2)+k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

che saranno le due soluzioni della nostra equazione, in quanto tutte accettabili.

 

Equazioni goniometriche risolvibili con la relazione fondamentale della trigonometria

 

Se abbiamo (o ci si siamo ricondotti) ad un'equazione in cui compaiono seno e coseno di cui uno due elevato al quadrato, sfruttando l'identità fondamentale della trigonometria:

 

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1

 

ci ricondurremo a una sola funzione e possiamo procedere poi con i metodi già visti. Vediamo un esempio:

 

5-2\cos^2(x)-4\sin(x)=2\cos^2(x)

 

Sfruttiamo l'identità fondamentale per sostituire il termine \cos^2(x)

 

\cos^2(x)=1-\sin^2(x)

 

Così facendo ricadiamo un'equazione di secondo grado col solo seno:

 

5-2[1-\sin^2(x)]-4\sin(x)=2[1-\sin^2(x)]\\ \\ 5-2+2\sin^2(x)-4\sin(x)=2 -2\sin^2(x)\\ \\ 5-2+2\sin^2(x)-4\sin(x)-2+2\sin^2(x)=0 

 

da cui, sommando i termini simili:

 

4\sin^2(x)-4\sin(x)+1=0

 

A questo punto basterà porre y=\sin(x) e ricondursi all'equazione di secondo grado:

 

4y^2-4y+1=0

 

che ha due soluzioni coincidenti: y=\frac{1}{2}

 

\sin(x)=\frac{1}{2}\\ \\ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{5}{6}\pi + 2k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Equazioni goniometriche risolvibili con le formule degli archi associati

 

Le formule degli angoli associati sono un validissimo jolly che ci permetterà di riscrivere parecchie equazioni in forme più abbordabili, con particolare riferimento alle equazioni goniometriche risolvibili per confronto.

 

Un esempio:

 

\sin(2x)=-\sin(3x)

 

Quel fastidiosissimo segno meno non ci consente di procedere a un confronto diretto, ma se applichiamo una nota formula degli archi associati

 

\sin(-x)=-\sin(x)

 

possiamo passare a

 

\sin(2x)=\sin(-3x)

 

Un ulteriore esempio:

 

\sin(2x)=\cos(3x)

 

Qui possiamo riscrivere il coseno come un seno, mediante la formula

 

\cos(\alpha)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)

 

e passare a

 

\sin(2x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)

 

Equazioni goniometriche risolvibili con le formule di addizione e sottrazione

 

Se l'argomento delle funzioni goniometriche è una somma o una differenza, un possibile metodo per risolvere l'equazione prevede di ricorrere alle formule di addizione e sottrazione degli archi.

 

Ad esempio, l'equazione goniometrica

 

\bullet \ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) = 1 

 

può essere risolta agevolmente applicando le formule di addizione e sottrazione del seno, così da avere:

 

\underbrace{\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}_{\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}-\left[\underbrace{\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)-\cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}_{\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\right]=1

 

da cui

 

\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)-\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=1

 

Dalla tabella valori funzioni goniometriche:

 

\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)=1

 

infine, sommando i termini simili

 

\sqrt{2}\cos(x)=1\ \ \to\ \ \cos(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}

 

Per concludere razionalizziamo

 

\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{7}{4}\pi + 2k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Equazioni goniometriche risolvibili tramite le formule di duplicazione

 

Subito un esempio:

 

\cos(2x)+\cos(x)=0

 

La presenza del termine \cos(2x) ci suggerisce di usare le formule di duplicazione

 

\underbrace{2\cos^2(x)-1}_{\cos(2x)}+\cos(x)=0

 

Grazie ad esse ci riconduciamo a un'equazione goniometrica col solo coseno e con il medesimo argomento

 

2\cos^2(x)+\cos(x)-1=0

 

Lasciamo a voi il compito di verificare che le soluzioni sono

 

x=\pi+2k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{3}+2k \pi \ \vee \ x=\frac{5}{3}\pi + 2k \pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Equazioni goniometriche con le formule di bisezione

 

\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)+\cos(x)=1

 

Siamo in presenza di una tangente, dunque imponiamo le relative condizioni di esistenza

 

\frac{x}{2}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\ \ \to\ \ x\neq \pi+2k\pi

 

La presenza del termine \tan^2\left(\frac{x}{2}\right) è un invito a provare con le formule di bisezione per vedere come cambia l'equazione

 

\underbrace{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}_{\tan^2 \left(\frac{x}{2}\right)}+\cos(x)=1

 

Dopo qualche conticino possiamo riscriverla nella forma

 

\frac{1-\cos(x)+\cos(x)[1+\cos(x)]-1-\cos(x)}{1+\cos(x)}=0\\ \\ \\ \frac{\cos^2(x)-\cos(x)}{1+\cos(x)}=0

 

che equivale a

 

\cos^2(x)-\cos(x)=0\ \ \to\ \ \cos(x)[\cos(x)-1]=0

 

Grazie alla legge di annullamento del prodotto passiamo a due equazioni distinte

 

\cos(x)=0\\ \\ \cos(x)=1

 

e quindi alle soluzioni:

 

x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \vee \ x=2k \pi\ \ \ \mbox{con }k \in \mathbb{Z}

 

che sono tutte accettabili.

 

Equazioni goniometriche risolvibili tramite le formule di Werner

 

Ogni volta che siamo in presenza di prodotti di seni o di coseni con argomenti diversi possiamo provare ad applicare le formule di Werner

 

\sin(4x)\sin(3x)=\sin(2x)\sin(x)

 

Se usiamo le formule di Werner possiamo riscrivere l'equazione nella forma

 

\underbrace{\frac{1}{2}\left[\cos(4x-3x)-\cos(4x+3x)\right]}_{\sin(4x)\sin(3x)}=\underbrace{\frac{1}{2}\left[\cos(2x-x)-\cos(2x+x)\right]}_{\sin(2x)\sin(x)}

 

Moltiplicando ambo i membri per 2 e sommando i termini all'interno del coseno:

 

\cos(x)-\cos(7x)=\cos(x)-\cos(3x)

 

Da cui

 

\cos(7x)=\cos(3x)

 

Ci siamo! Abbiamo ricavato un'equazione goniometrica risolvibile per confronto, ci basta infatti ricordare che

 

\cos[f(x)]=\cos[g(x)] \ \iff \ f(x)=\pm g(x)+2k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

e otteniamo

 

7x=3x+2k\pi\ \ \to\ \ 4x=2k\pi\ \ \to\ \ \ x=\frac{\pi}{2}k\\ \\ 7x=-3x+2k\pi\ \ \to\ \ 10x=2k\pi\ \ \to\ \ x=\frac{\pi}{5}k\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

 

Equazioni goniometriche con le formule di prostaferesi

 

In presenza di somme o di sottrazioni di funzioni goniometriche vale la pena di fare un pensiero alle formule di prostaferesi.

 

\bullet \ \sin(4x)+\sin(3x)+\sin(2x)+\sin(x)=0

 

Applichiamo le formule di prostaferesi

 

\underbrace{2\sin \left(\frac{4x+3x}{2}\right) \cos\left(\frac{4x-3x}{2}\right)}_{\sin(4x)+\sin(3x)}+\underbrace{2\sin \left(\frac{2x+x}{2}\right) \cos\left(\frac{2x-x}{2}\right)}_{\sin(2x)+\sin(x)}=0

 

Vale a dire

 

2\sin\left(\frac{7x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)+2\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0

 

Raccogliamo a fattor comune 2\cos\left(\frac{x}{2}\right):

 

2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\left[\sin\left(\frac{7x}{2}\right)+\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\right]=0

 

e applichiamo la legge di annullamento del prodotto. Consideriamo il primo fattore

 

2\cos\left(\frac{x}{2}\right)=0\\ \\ \\ \cos\left(\frac{x}{2}\right)=0\\ \\ \\ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k \pi\ \ \to\ \ x=\pi+2k\pi\ \ \ \mbox{con}k\in\mathbb{Z}

 

e poi il secondo

 

\sin\left(\frac{7x}{2}\right)+\sin\left(\frac{3x}{2}\right)=0\\ \\ \\ \sin\left(\frac{7x}{2}\right)=-\sin\left(\frac{3x}{2}\right)

 

Qui conviene applicare le formule degli archi associati

 

\sin\left(\frac{7x}{2}\right)=\sin\left(-\frac{3x}{2}\right)

 

Dal metodo per le equazioni goniometriche risolvibili per confronto sappiamo che

 

\sin[f(x)]=\sin[g(x)] \ \iff \ f(x)=g(x)+2k\pi \ \vee \ f(x)=[\pi-g(x)]+2k\pi

 

e quindi sono date due possibilità:

 

\frac{7x}{2}=-\frac{3x}{2}+2k \pi\ \ \to\ \ \frac{10x}{2}=2k\pi \ \ \to\ \ x=\frac{2}{5}k\pi

 

oppure

 

\frac{7x}{2}=\left[\pi-\left(-\frac{3x}{2}\right)\right]+2k \pi\\ \\ \\ \frac{7x}{2}=\left[\pi+\frac{3x}{2}\right]+2k \pi\\ \\ \\ 2x=\pi(1+2k) \ \ \ \to\ \ \ x=\frac{\pi}{2}(1+2k)\ \ \to\ \ \ x=\frac{\pi}{2}+k\pi

 

In definitiva l'equazione è soddisfatta per:

 

x=\pi+2k\pi \ \vee \ x=\frac{2}{5}k\pi \ \vee \ x=\frac{\pi}{2}+k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z} 

 

 


 

Pausa! ;) Per il momento ci limitiamo a ricordarvi che avete a disposizione diverse schede correlate di esercizi risolti e proposti, e che potete correggere i risultati degli esercizi svolti in autonomia con il tool per risolvere le equazioni online. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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