Δ/4 - Delta quarti

L'espressione delta quarti (in simboli, Δ/4) si riferisce a due varianti della formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, dette rispettivamente formula ridotta e formula ridottissima, che possono essere applicate quando la forma normale delle equazioni soddisfa particolari condizioni sui coefficienti.

 

Proseguiamo nell'approfondimento sulla risoluzione delle equazioni di secondo grado: dopo aver mostrato come ricavare la formula del discriminante, ci accingiamo a proporvi due varianti della formula del delta utilizzabili sotto particolari condizioni relative ai coefficienti.

 

Formule del delta quarti

 

Quando si deve risolvere un'equazione di secondo grado con la formula del discriminante capita talvolta di dover fare calcoli con numeri piuttosto grandi. A tal proposito introduciamo le formule del delta quarti, la cui principale utilità consiste nel semplificare i calcoli, e che però possono essere applicate solamente in determinate condizioni.

 

Formula del delta quarti ridotta

 

La prima formula viene detta formula ridotta del delta quarti, o formula ridotta. In riferimento alla forma normale delle equazioni di secondo grado

 

ax^2+bx+c=0\ \ \ \mbox{con }a\neq 0

 

la formula ridotta è applicabile solo se il coefficiente del termine di primo grado è pari

 

ax^2+bx+c=0\ \ \ \mbox{con }a\neq 0,\ b\mbox{ pari}\ \to\ \mbox{formula ridotta}

 

ed è data da

 

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}

 

dove il delta quarti è semplicemente il rapporto tra il discriminante e 4

 

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac

 

In forma esplicita:

 

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}

 

Come potete notare, le differenze rispetto alla formula del discriminante riguardano:

 

- il radicando, che è semplicemente il delta fratto 4;

 

- il denominatore, che è il coefficiente del termine di secondo grado a e non 2a

 

Per comprendere il significato di tale formula basta partire dalla versione standard

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

 

e sfruttare la parità del coefficiente del termine di primo grado b. A tal proposito spostiamo il coefficiente 2 dividendo termine a termine gli addendi del numeratore

 

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2}}{a}

 

per poi effettuare il trasporto sotto radice

 

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}

 

Se esplicitiamo il delta, ricaviamo

 

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4}}}{a}

 

da cui, dividendo il numeratore del radicando termine a termine

 

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4}-\frac{4ac}{4}}}{a}

 

ossia

 

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}

 

 

Esempio sulla formula ridottissima del delta quarti

 

25x^2+70x-51=0

 

Applichiamo la formula ridotta

 

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}=\\ \\ \\ =\frac{-35\pm\sqrt{35^2-25\cdot (-51)}}{25}=\frac{-35\pm\sqrt{1225+1275}}{25}=\\ \\ \\ =\frac{-35\pm\sqrt{2500}}{25}=\begin{cases}\frac{-35-50}{25}=-\frac{17}{5}\\ \\ \frac{-35+50}{25}=\frac{3}{5}\end{cases}

 

e poi quella standard, per mettere in luce le differenze nei calcoli

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\\ \\ \\ =\frac{-70\pm\sqrt{70^2-4\cdot 25\cdot (-51)}}{2\cdot 25}=\frac{-70\pm\sqrt{4900+5100}}{50}=\\ \\ \\ =\frac{-70\pm\sqrt{10000}}{50}=\begin{cases}\frac{-70-100}{50}=-\frac{17}{5}\\ \\ \frac{-70+100}{50}=\frac{3}{5}\end{cases}

 

Formula ridottissima del delta quarti

 

La formula ridottissima del delta quarti, detta per brevità formula ridottissima, riguarda un caso particolare della ridotta ed è applicabile solo se il coefficiente del termine di primo grado è pari e se il coefficiente del termine di secondo grado è 1

 

x^2+bx+c=0\ \ \ \mbox{con }a=1,\ b\mbox{ pari}\ \to\ \mbox{formula ridottissima}

 

In tal caso basta sostituire a=1 nella formula ridotta per ricavare

 

x_{1,2}=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}

 

 

Esempio sulla formula ridottissima del delta quarti

 

x^2+16x+55=0

 

Usiamo la formula ridottissima

 

x_{1,2}=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}=\\ \\ \\ =-8\pm\sqrt{8^2-55}=-8\pm\sqrt{64-55}=-8\pm\sqrt{9}=\begin{cases}-8-3=-11\\ \\ -8+3=-5\end{cases}

 

e quella standard

 

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\\ \\ \\ =\frac{-16\pm\sqrt{16^2-4\cdot 1\cdot 55}}{2\cdot 1}=\frac{-16\pm\sqrt{256-220}}{2}=\\ \\ \\ =\frac{-16\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{-16\pm 6}{2}=\begin{cases}\frac{-16-6}{2}=\frac{-22}{2}=-11\\ \\ \frac{-16+6}{2}=\frac{-10}{2}=-5\end{cases}

 

Ecco fatto! ;)

 

Utilità (?) delle formule del delta quarti

 

Dato che le formule del delta quarti non sono altro che una semplificazione della formula risolutiva standard, che è valida per qualsiasi equazione di secondo grado in forma normale, ha senso ricordarsene e applicarla all'occorrenza?

 

Dipende. In termini puramente didattici spesso vengono interpretate come formule aggiuntive da imparare a memoria, anche se non dovrebbe accadere. Questo genere di formule non va ricordato, bensì deve imprimersi automaticamente in memoria man mano che si risolvono gli esercizi.

 

Inoltre, non è sempre vero che comportano una semplificazione dei calcoli, come mostrato dal primo dei due esempi (e a dirla tutta, in ogni caso si presuppone l'uso della calcolatrice con numeri molto grandi).

 

Dal canto nostro abbiamo riportato le formule ridotta e ridottissima per dovere di cronaca e per completezza, ma la scelta di utilizzarle o meno è tutta vostra. Tenete a mente che, in ogni caso, con la formula risolutiva standard ve la caverete più che bene. ;)

 

 


 

Nella lezione successiva studieremo le equazioni fratte di secondo grado; nel frattempo non perdetevi le schede correlate di esercizi svolti, continuate ad allenarvi e sappiate che qui su YM c'è un comodo tool per risolvere le equazioni online, utile per controllare i risultati dei vostri esercizi. ;)

 

 

Kwaheri, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Esercizi correlati

Beginner: SCHEDA 1 - SCHEDA 2

Intermediate: SCHEDA 1 - SCHEDA 2

 

Lezione precedente.....Lezione successiva

 

Tags: la formula del delta quarti per le equazioni di secondo grado - delta quarti - formula del delta quarti.