Disequazioni goniometriche non elementari

Nella precedente lezione abbiamo presentato una panoramica delle disequazioni goniometriche e abbiamo descritto il metodo risolutivo nel caso più elementare, vale a dire per quelle che si presentano nella forma

 

\mbox{funzione goniometrica}(x)\gtreqless\mbox{numero}

 

Nell'elenco dei vari tipi di disequazioni trigonometriche vi abbiamo messo in guardia. Le tipologie sono numerose, e la situazione si complica se si tiene conto che potenzialmente possono coinvolgere una o più delle sei funzioni goniometriche. In generale è quindi necessario conoscerne le definizioni, le proprietà e avere dimestichezza con tutte le formule trigonometriche.

 

Non ve lo nascondiamo: le disequazioni trigonometriche sono tra le più impegnative perché non esiste un unico procedimento risolutivo. Ancor peggio, pur delineando un elenco di tipologie non è possibile attribuire a ognuna di esse un unico metodo. Per imparare a risolvere una qualsiasi disequazione goniometrica è necessario tanto esercizio per acquisire un buon livello di esperienza.

 

Questa lezione non ha alcuna pretesa di esaustività. Vogliamo limitarci a proporre un esempio guidato per ciascuna delle tipologie che abbiamo elencato in precedenza, e mostrare ove possibile un metodo alternativo. Nelle schede di esercizi correlati cercheremo di coprire la più ampia gamma di tracce risolvendole nel dettaglio, quindi il pallino del gioco è in mano a voi. Tanti più esercizi svolgerete, tanto maggiori saranno le probabilità che possiate cavarvela nelle verifiche e negli esami. ;)

 

Disequazioni goniometriche riconducibili alle elementari per sostituzione

 

Il primo caso su cui proponiamo un esempio è quello delle disequazioni goniometriche "quasi" elementari, ossia della forma

 

\sin[f(x)] \gtreqless m\ \ \ ;\ \ \ \cos[f(x)] \gtreqless n\\ \\ \tan[f(x)] \gtreqless p\ \ \ ;\ \ \ \cot[f(x)] \gtreqless q\\ \\ \sec[f(x)] \gtreqless r\ \ \ ;\ \ \ \csc[f(x)] \gtreqless s

 

Per risolverle bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza relative all'espressione f(x), ed eventualmente per la funzione goniometrica coinvolta (tangente e cotangente, secante e cosecante), dopodiché si effettua la sostituzione

 

y=f(x)

 

A questo punto si risolve la disequazione elementare che ne scaturisce, si riportano le soluzioni all'incognita x sull'intervallo di periodicità della funzione goniometrica e infine si estendono le soluzioni per periodicità ai numeri reali.

 

Metodo alternativo: in certi casi potrebbe essere più conveniente applicare un'opportuna formula trigonometrica, come ad esempio le formule degli angoli associati o le formule di addizione e sottrazione degli archi.

 

 

Esempio 1

 

\sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)\geq \frac{1}{2}

 

Svolgimento: non dobbiamo imporre alcuna CE. Effettuiamo la sostituzione

 

y=x+\frac{3\pi}{2}

 

e passiamo alla disequazione goniometrica elementare

 

\sin(y)\geq \frac{1}{2}

 

Risolviamo l'equazione goniometrica associata nell'intervallo di periodicità 0\leq y<2\pi

 

\sin(y)=\frac{\pi}{6}\ \ ;\ \ \sin(y)=\frac{5\pi}{6}

 

da cui le soluzioni della disequazione

 

\frac{\pi}{6}\leq y\leq \frac{5\pi}{6}

 

Prima di tornare all'incognita x estendiamo le soluzioni per periodicità sommando multipli interi relativi di 2\pi agli estremi

 

\frac{\pi}{6}+2k\pi\leq y\leq \frac{5\pi}{6}+2k\pi

 

Torniamo all'incognita originaria:

 

\frac{\pi}{6}+2k\pi\leq x+\frac{3\pi}{2}\leq \frac{5\pi}{6}+2k\pi

 

Riscriviamo la doppia disequazione sottraendo membro a membro:

 

\frac{\pi}{6}-\frac{3\pi}{2}+2k\pi\leq x\leq \frac{5\pi}{6}-\frac{3\pi}{2}+2k\pi\\ \\ \\ -\frac{4\pi}{3}+2k\pi\leq x\leq -\frac{2\pi}{3}+2k\pi

 

Le soluzioni andrebbero bene anche così, ma è più coerente riportarle all'intervallo di periodicità del seno con estremi 0 e 2\pi. Ci basta sommare 2\pi a sinistra e a destra

 

-\frac{4\pi}{3}+2\pi+2(k-1)\pi\leq x\leq -\frac{2\pi}{3}+2\pi+2(k-1)\pi\\ \\ \\ \frac{2\pi}{3}+2(k-1)\pi \leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2(k-1)\pi

 

Al variare di k\in\mathbb{Z} anche (k-1) varia in \mathbb{Z}, per cui possiamo ricorrere a un abuso di linguaggio e scrivere

 

\frac{2\pi}{3}+2k\pi \leq x\leq \frac{4\pi}{3}+2k\pi\ \ \ \mbox{con}\ k\in\mathbb{Z}

 

 

Svolgimento con il metodo alternativo

 

In modo analogo (e probabilmente più rapido) avremmo potuto applicare le formule degli archi associati

 

\sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)\geq \frac{1}{2}\\ \\ \\ \sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right)\overbrace{=}^{\mbox{A.A.}}-\cos(x)

 

e risolvere la disequazione

 

-\cos(x)\geq \frac{1}{2}

 

 

Esempio 2

 

\cos(2x)>-\frac{\sqrt{3}}{2}

 

Svolgimento: non è necessaria alcuna condizione di esistenza. Effettuiamo la sostituzione

 

y=2x

 

e risolviamo la disequazione che ne consegue

 

\cos(y)>-\frac{\sqrt{3}}{2}

 

Nell'intervallo di periodicità del coseno 0\leq y<2\pi l'equazione goniometrica associata ammette come soluzioni:

 

\cos(y)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ \to\ y=\frac{5\pi}{6}\ \ ;\ \ y=\frac{7\pi}{6}

 

da cui le soluzioni della disequazione

 

0\leq y<\frac{5\pi}{6}\ \vee\ \frac{7\pi}{6}<y<2\pi

 

Estendiamole per periodicità

 

0+2k\pi \leq y<\frac{5\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ \frac{7\pi}{6}+2k\pi<y<2\pi+2k\pi

 

ed effettuiamo la sostituzione inversa

 

0+2k\pi \leq 2x<\frac{5\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ \frac{7\pi}{6}+2k\pi<2x<2\pi+2k\pi

 

da cui, dividendo ciascun membro per 2

 

k\pi \leq x<\frac{5\pi}{12}+k\pi\ \vee\ \frac{7\pi}{12}+k\pi<x<\pi+k\pi

 

Importante: questo esempio mette in evidenza che nelle disequazioni per sostituzione è fondamentale estendere le soluzioni prima di effettuare la sostituzione inversa, in modo da adeguare correttamente l'intervallo di periodicità.

 

Disequazioni goniometriche riconducibili a polinomiali

 

Questo tipo di disequazioni è caratterizzato da una medesima funzione goniometrica che si ripresenta più volte, con lo stesso argomento, sotto forma di potenze con esponenti interi.

 

Il metodo di risoluzione prevede di effettuare una sostituzione in modo da ricondursi a una disequazione di primo grado, di secondo grado o di grado superiore al secondo. Dopo averne determinato le soluzioni, vanno riportate all'incognita di partenza ed estese per periodicità.

 

Il procedimento a parole sembra piuttosto vago, ma un esempio renderà tutto più chiaro. ;)

 

 

Esempio

 

2\sin^2(x)-3\sin(x)+1\geq 0

 

Svolgimento: non dobbiamo porre alcuna condizione di esistenza. Effettuiamo la sostituzione

 

z=\sin(x)

 

ottenendo così una disequazione di secondo grado

 

2z^2-3z+1\geq 0

 

Calcoliamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata

 

2z^2-3z+1=0\\ \\ z_{1,2}=\frac{+3\pm\sqrt{9-8}}{4}=\begin{cases}1\\ \frac{1}{2}\end{cases}

 

Poiché il simbolo di disequazione è \geq, il coefficiente direttivo è positivo e il delta è positivo, le soluzioni della disequazione sono esterne agli estremi

 

z\leq \frac{1}{2}\ \vee\ z\geq 1

 

Torniamo all'incognita x

 

\sin(x)\leq \frac{1}{2}\ \vee\ \sin(x)\geq 1

 

Ci siamo ridotti a due disequazioni goniometriche elementari. Risolviamole separatamente nell'intervallo di periodicità 0\leq x<2\pi e poi prendiamo l'unione delle soluzioni (in accordo con il connettivo logico \vee);

 

\sin(x)\leq \frac{1}{2}\ \to\ 0\leq x\leq \frac{\pi}{6}\ \vee\ \frac{5\pi}{6}\leq x <2\pi \\ \\ \\ \sin(x)\geq 1\ \to\ x=\frac{\pi}{2}

 

Estendiamo le soluzioni per periodicità

 

\sin(x)\leq \frac{1}{2}\ \to\ 0+2k\pi\leq x\leq \frac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ \frac{5\pi}{6}+2k\pi\leq x <2\pi+2k\pi \\ \\ \\ \sin(x)\geq 1\ \to\ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

 

Infine, dall'unione dei due insiemi soluzione (e riscrivendole in una forma più compatta)

 

2k\pi\leq x\leq \frac{\pi}{6}+2k\pi\ \vee\ \frac{5\pi}{6}+2k\pi\leq x <2(k+1)\pi\ \vee\ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

 

Disequazioni con definizioni e formule goniometriche

 

... Ossia le disequazioni goniometriche che richiedono estro e abilità artistica. :D Non sono classificabili e possono presentarsi in qualsiasi forma. L'obiettivo è usare una o più definizioni e formule trigonometriche per ricondursi a una disequazione che sappiamo come risolvere.

 

Come avrete intuito, questa tipologia è il vero scoglio da superare perché richiede esperienza e intuizione.

 

Esempio

 

\tan\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\geq\tan(\pi-x)\ \ \ \mbox{con}\ 0\leq x<2\pi

 

Svolgimento: prima di tutto imponiamo le CE. La tangente presuppone che l'argomento sia diverso da \frac{\pi}{2}+k\pi. Se ci limitiamo all'intervallo della traccia

 

x+\frac{\pi}{2}\neq \frac{\pi}{2}\ \ ;\ \ x+\frac{\pi}{2}\neq \frac{3\pi}{2} \\ \\ \\ \pi-x\neq \frac{\pi}{2}\ \ ;\ \ \pi-x\neq \frac{3\pi}{2}

 

otteniamo

 

x\neq 0\ \ ;\ \ x\neq \pi\\ \\ x\neq \frac{\pi}{2}\ \ ;\ \ x\neq -\frac{\pi}{2}

 

o meglio:

 

x\neq 0\ ;\ x\neq \frac{\pi}{2}\ ;\ x\neq \pi\ ;\ x\neq \frac{3\pi}{2}

 

Purtroppo per risolvere la disequazione non possiamo affidarci a un confronto tra gli argomenti, perché in generale non funzionerebbe. Piuttosto possiamo ricordare com'è definita la tangente e riscriverla nella forma

 

\frac{\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}\geq\frac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi-x)}

 

Ora possiamo usare le formule per gli angoli associati, o in alternativa le formule di addizione e sottrazione per gli archi:

 

\frac{\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\cos(x)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin(x)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}\geq\frac{\sin(\pi)\cos(x)-\cos(\pi)\sin(x)}{\cos(\pi)\cos(x)+\sin(\pi)\sin(x)}

 

I valori notevoli delle funzioni goniometriche semplificano di molto le due espressioni:

 

\frac{\cos(x)}{-\sin(x)}\geq\frac{\sin(x)}{-\cos(x)}

 

Portiamo tutto a sinistra

 

\frac{\cos(x)}{-\sin(x)}-\frac{\sin(x)}{-\cos(x)}\geq 0

 

e sistemiamo i segni

 

\frac{\sin(x)}{\cos(x)}-\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\geq 0\\ \\ \\ \frac{\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)}\geq 0

 

Siamo in presenza di una disequazione fratta. Studiamo separatamente i segni di numeratore e denominatore sull'intervallo 0\leq x<2\pi

 

N\geq 0)\ \sin^2(x)-\cos^2(x)\geq 0

 

Usiamo l'identità fondamentale della trigonometria

 

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\ \to\ \cos^2(x)=1-\sin^2(x)\\ \\ 2\sin^2(x)-1\geq 0

 

Dato che ormai abbiamo un po' di esperienza ;) risolviamola senza ricorrere alla sostituzione. Scomponiamo il membro di sinistra con la regola per la differenza di quadrati

 

2\sin^2(x)-1\geq 0\\ \\ \sin(x)\leq -\frac{1}{\sqrt{2}}\ \vee\ \sin(x)\geq \frac{1}{\sqrt{2}}

 

ossia, separatamente

 

\sin(x)\leq -\frac{1}{\sqrt{2}}\ \to\ \ \frac{5\pi}{4}\leq x\leq \frac{7\pi}{4}\\ \\ \\ \sin(x)\geq \frac{1}{\sqrt{2}}\ \to\ \frac{\pi}{4}\leq x\leq \frac{3\pi}{4}

 

Su tali intervalli il numeratore è positivo (nullo agli estremi), mentre è negativo sugli intervalli complementari in 0\leq x<2\pi.

 

D>0)\ \sin(x)\cos(x)>0

 

Per semplificare le cose limitiamoci a trovare gli intervalli in cui i due fattori a denominatore sono positivi (trarremo le conclusioni sul segno del rapporto in un unico grafico finale)

 

\sin(x)>0\ \to\ 0<x<\pi\\ \\ \cos(x)>0\ \to\ 0\leq x<\frac{\pi}{2}\ \vee\ \frac{3\pi}{2}<x<2\pi

 

Ci siamo. Riportiamo le informazioni in un grafico dei segni, limitandoci a ragionare in 0\leq x<2\pi come richiesto dalla traccia, tenendo conto delle CE:

 

 

Disequazione goniometrica fratta

Grafico dei segni per la disequazione goniometrica.

 

 

A noi interessano i valori che rendono positivo o nullo, per cui le soluzioni della disequazione sono date da

 

\frac{\pi}{4}\leq x<\frac{\pi}{2}\ \vee\ \frac{3\pi}{4}\leq x<\pi\ \vee \\ \\ \\ \vee\ \frac{5\pi}{4}\leq x<\frac{3\pi}{2}\ \vee\ \frac{7\pi}{4}\leq x<2\pi

 

Disequazioni goniometriche lineari in seno e coseno

 

Come penultimo tipo consideriamo le disequazioni della forma

 

a\sin(x)+b\cos(x)\gtreqless c

 

In tal caso il procedimento prende spunto dalle equazioni goniometriche lineari in seno e coseno.

 

Si tratta di applicare le formule parametriche e di esprimere seno e coseno in una forma equivalente, ponendo

 

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)\implies \begin{matrix} \sin(x)=\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}\\ \\\cos(x)= \displaystyle\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{matrix}

 

Attenzione. Se poniamo t=\tan\left(\frac{x}{2}\right) e passiamo a risolvere la disequazione

 

a\frac{2t}{1+t^2}+b\frac{1-t^2}{1+t^2}\gtreqless c

 

dobbiamo considerare che la tangente impone delle condizioni di esistenza proprie

 

\frac{x}{2}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\ \to\ x\neq \pi+2k\pi

 

Questi valori sono preclusi nel passaggio alla "nuova" disequazione, ma non lo sono necessariamente nella disequazione di partenza. Prima di buttarci nei calcoli dobbiamo stabilire se essi soddisfano la disequazione iniziale, e per farlo possiamo limitarci ai valori contenuti nell'intervallo di periodicità di seno e coseno, che è 0\leq x<2\pi

 

k=-1\ \to\ x=\pi-2\pi=-\pi<0\\ \\ k=0\ \to\ x=\pi+0=\pi\ \to\ 0\leq \pi<2\pi\\ \\ k=1\ \to\ x=\pi+2\pi=3\pi>2\pi

 

Controlleremo quindi se x=\pi soddisfa la disequazione di partenza, per semplice sostituzione

 

a\sin(\pi)+b\cos(\pi)\gtreqless c\\ \\ -b\gtreqless c

 

Se la disuguaglianza risultante è valida, terremo conto che anche x=\pi è una soluzione, in caso contrario no.

 

Fatto ciò risolveremo la disequazione in t, riporteremo le soluzioni all'incognita x e all'intervallo di periodicità 0\leq x<2\pi, e infine le estenderemo per periodicità all'asse reale.

 

 

Esempio

 

\sin(x)+\cos(x)\leq 1

 

Svolgimento: siamo chiaramente in presenza di una disequazione lineare in seno e coseno, quindi usiamo le formule parametriche ponendo

 

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

 

Tale sostituzione ci costringe a escludere i valori

 

x=\pi+2k\pi

 

per cui dobbiamo stabilire se il valore che rientra nell'intervallo di periodicità x=\pi risolve la disequazione di partenza:

 

\sin(\pi)+\cos(\pi)\leq 1\ \to\ -1\leq 1\ \ \ \mbox{vero}

 

Ricordiamoci dunque di aggiungere x=\pi all'insieme soluzione che determineremo.

 

Esprimiamo la disequazione nell'incognita t

 

\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}\leq 1

 

ottenendo così una disequazione fratta. Portiamo il termine di destra al primo membro e facciamo i calcoli:

 

\frac{2t+(1-t^2)-(1+t^2)}{1+t^2}\leq 0\\ \\ \\ \frac{-2t^2+2t}{1+t^2}\leq 0

 

Poiché il denominatore è la somma tra un numero positivo e il quadrato di un'incognita, è certamente una quantità positiva. Ciò ci permette di sbarazzarcene anche se contiene l'incognita:

 

-2t^2+2t\leq 0\\ \\ t^2-t\geq 0

 

Quest'ultima disequazione di secondo grado ammette come soluzioni

 

t\leq 0\ \vee\ t\geq 1

 

Torniamo all'incognita x

 

\tan\left(\frac{x}{2}\right)\leq 0\ \vee\ \tan\left(\frac{x}{2}\right)\geq 1

 

Ci siamo ridotti a due disequazioni goniometriche elementari. Risolviamole separatamente e poi prendiamo l'unione delle soluzioni. Non dimentichiamo inoltre che la tangente ha una periodicità pari a \pi.

 

\tan\left(\frac{x}{2}\right)\leq 0\ \to\ \frac{\pi}{2}<\frac{x}{2}\leq \pi\\ \\ \\ \tan\left(\frac{x}{2}\right)\geq 1\ \to\ \frac{\pi}{4}\leq \frac{x}{2}< \frac{\pi}{2}

 

Estendiamo le soluzioni secondo la periodicità della tangente sommando k\pi con k\in\mathbb{Z} (importante: va fatto ora e non dopo)

 

\tan\left(\frac{x}{2}\right)\leq 0\ \to\ \frac{\pi}{2}+k\pi<\frac{x}{2}\leq \pi+k\pi\\ \\ \to\ \pi+2k\pi<x\leq 2\pi+2k\pi\\ \\ \\ \tan\left(\frac{x}{2}\right)\geq 1\ \to\ \frac{\pi}{4}+k\pi\leq \frac{x}{2}< \frac{\pi}{2}+k\pi\\ \\ \to\ \frac{\pi}{2}+2k\pi\leq x<\pi+2k\pi

 

Uniamo le soluzioni e ricordiamoci che tutti i valori x=\pi+2k\pi soddisfano la disequazione iniziale

 

\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq x\leq 2\pi+2k\pi

 

o, in forma più compatta

 

\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq x\leq 2(k+1)\pi

 

Disequazioni goniometriche di secondo grado in seno e coseno

 

L'ultimo tipo di disequazioni goniometriche che analizziamo è del tipo

 

a\sin^2(x)+b\sin(x)\cos(x)+c\cos^2(x) \gtreqless d

 

Il procedimento segue la falsariga delle omonime equazioni di secondo grado in seno e coseno.

 

Se il membro di destra è diverso da zero, d\neq 0, siamo nel caso non omogeneo. Si utilizza l'identità fondamentale della trigonometria

 

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1

 

per riscriverlo nella forma

 

a\sin^2(x)+b\sin(x)\cos(x)+c\cos^2(x) \gtreqless d(\sin^2(x)+\cos^2(x))

 

e portando tutto al membro di sinistra si passa a

 

(a-d)\sin^2(x)+b\sin(x)\cos(x)+(c-d)\cos^2(x) \gtreqless 0

 

In questo modo ci riconduciamo di fatto al caso omogeneo, in cui il membro di destra è zero d=0. Concentriamoci su quest'ultimo, che poi è quello che più ci interessa:

 

a\sin^2(x)+b\sin(x)\cos(x)+c\cos^2(x) \gtreqless 0

 

Dividiamo entrambi i membri per \cos^2(x) in modo da sfruttare la definizione di tangente di un angolo.

 

a\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}+b\frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)}+c\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \gtreqless 0\ \ \ (\bullet)

 

Osserviamo che possiamo dividere senza porci problemi di segno, infatti \cos^2(x) è un quadrato e in quanto tale non negativo. L'unica eventualità che dobbiamo escludere è

 

\cos^2(x)=0\ \to\ \cos(x)=0

 

quindi dobbiamo imporre

 

x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi

 

Questi valori vanno esclusi affinché il procedimento algebrico sia lecito, ma potrebbero comunque soddisfare la disequazione di partenza. Controlleremo quindi se i rispettivi valori nell'intervallo di periodicità 0\leq x<2\pi soddisfano la disequazione

 

k=-1\ \to\ x=\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{\pi}{2}<0\\ \\ \\ k=0\ \to\ x=\frac{\pi}{2}+0=\frac{\pi}{2}\ \to\ 0\leq \frac{\pi}{2}<2\pi\\ \\ \\ k=1\ \to\ x=\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{3\pi}{2}\ \to\ 0\leq \frac{3\pi}{2}<2\pi\\ \\ \\ k=2\ \to\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{5\pi}{2}>2\pi

 

Per capirlo sostituiamo x=\frac{\pi}{2},\ x=\frac{3\pi}{2}

 

x=\frac{\pi}{2}\ \to\ a\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right)+b\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+c\cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) \gtreqless 0\\ \\ \to\ a\gtreqless 0\\ \\ \\ x=\frac{3\pi}{2}\ \to\ a\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}\right)+b\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)+c\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}\right) \gtreqless 0\\ \\ \to\ a\gtreqless 0

 

Se otteniamo una disuguaglianza verificata, allora terremo da parte x=\frac{\pi}{2}+k\pi come soluzioni della disequazione di partenza. Tornando a (\bullet):

 

a\tan^2(x)+b\tan(x)+c\gtreqless 0

 

Abbiamo una disequazione goniometrica riconducibile a una polinomiale, che possiamo (e sappiamo già) risolvere ponendo z=\tan(x).

 

 

Esempio

 

\sin^2(x)-\cos^2(x)\geq 0

 

Svolgimento: in uno dei precedenti esempi abbiamo già risolto questa disequazione mediante l'identità fondamentale della trigonometria. Vediamo come procedere con il metodo delle disequazioni di secondo grado in seno e coseno.

 

Dividiamo entrambi i membri per \cos^2(x)

 

\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}-\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}\geq 0\ \ \ (\bullet)

 

Per farlo dobbiamo richiedere

 

x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi

 

Per tali valori la disequazione di partenza è verificata

 

x=\frac{\pi}{2}\ ,\ x=\frac{3\pi}{2}\ \to\ 1\geq 0

 

quindi i valori x=\frac{\pi}{2}+k\pi sono soluzioni della disequazione. Riprendiamo da (\bullet) e applichiamo la definizione di tangente:

 

\tan^2(x)-1\geq 0

 

Scomponiamo il membro di sinistra come differenza di quadrati

 

(\tan(x)-1)(\tan(x)+1)\geq 0

 

da cui

 

\tan(x)\leq -1\ \vee\ \tan(x)\geq 1

 

Determiniamo le soluzioni sull'intervallo di periodicità della tangente (0\leq x<\pi)

 

\tan(x)\leq -1\ \to\ \ \frac{\pi}{2}<x\leq\frac{3\pi}{4}\\ \\ \\ \tan(x)\geq 1\ \to\ \frac{\pi}{4}\leq x<\frac{\pi}{2}

 

Estendiamole per periodicità sommando k\pi agli estremi

 

\tan(x)\leq -1\ \to\ \ \frac{\pi}{2}+k\pi<x\leq\frac{3\pi}{4}+k\pi\\ \\ \\ \tan(x)\geq 1\ \to\ \frac{\pi}{4}+k\pi\leq x<\frac{\pi}{2}+k\pi

 

e infine uniamole, tenendo conto che x=\frac{\pi}{2}+k\pi sono soluzioni della disequazione di partenza

 

\frac{\pi}{4}+k\pi\leq x\leq \frac{3\pi}{4}+k\pi

 

 


 

Abbiamo finito! Ci vediamo nella prossima lezione: studieremo le disequazioni con valore assoluto.

 

Al solito vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti, spiegazioni e risorse utili, come il tool per risolvere le disequazioni online. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Hələlik, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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