Disequazioni miste

Con disequazioni miste ci si riferisce agli esercizi che richiedono di applicare due o più metodi per le varie tipologie di disequazioni: polinomiali, irrazionali, logaritmiche, esponenziali o goniometriche.

 

Dopo aver studiato il metodo dei segni ci occupiamo di un'ulteriore tipo di disequazioni, che non hanno una collocazione specifica tra quelle che abbiamo trattato nelle precedenti lezioni, vale a dire le disequazioni miste.

 

A conti fatti questa lezione è semplicemente un ripasso, e fornisce un banco di prova utile per applicare i metodi che abbiamo già studiato. Come vedremo tra un attimo si tratta di riconoscere i termini che richiedono uno specifico procedimento, e di combinare i metodi a noi già noti... Possibilmente in modo da limitare i calcoli al minimo e seguire il percorso più veloce. ;)

 
 

Cosa sono le disequazioni miste

 

Un breve riepilogo. Ormai sappiamo che in una disequazione possono comparire termini di varia natura. Sappiamo anche come comportarci se i termini presenti sono tutti dello stesso tipo:

 

- se la disequazione coinvolge solamente polinomi, applicheremo il metodo per le disequazioni di primo grado, di secondo grado o di grado superiore a 2, a seconda dei casi;

 

- se vi sono solamente radici ad indice pari o ad indice dispari, useremo il metodo per le disequazioni irrazionali;

 

- in presenza di soli logaritmi, seguiremo il procedimento per le disequazioni logaritmiche;

 

- in presenza di sole esponenziali, applicheremo il procedimento per le disequazioni esponenziali;

 

- se nella disequazione compaiono solamente funzioni goniometriche, useremo il metodo più opportuno per le disequazioni goniometriche;

 

- se vi sono solo valori assoluti, ci riferiremo al procedimento per le disequazioni con moduli.

 

Oltre a questo abbiamo visto il metodo per risolvere le disequazioni con la regola dei segni, in cui possono esservi due o più termini di diversa natura, e che sappiamo risolvere studiando il segno dei singoli fattori. Nella pratica tali disequazioni si scompongono in più disequazioni, ciascuna delle quali è di una specifica tipologia.

 

Per ciascun tipo di disequazione abbiamo analizzato il metodo generale, ma nella pratica ci siamo limitati a considerare termini polinomiali come argomenti delle funzioni, come ad esempio:

 

\sqrt{x^2-x}<x\\ \\ \log_2(x^3-1)>0\\ \\ \sin(x)-\cos(x)\geq 1

 

La domanda che ci poniamo ora è la seguente: cosa dobbiamo fare se nelle disequazioni si manifesta un termine "particolare" come argomento di un altro termine "particolare"? Ad esempio come possiamo risolvere le seguenti disequazioni miste?

 

\sqrt{x^2-|x|}>x\\ \\ \log(e^{x}-1)\leq 2

 

Metodo di risoluzione per le disequazioni miste

 

Il procedimento per le disequazioni miste è piuttosto semplice e intuitivo. Per cominciare si impongono tutte le eventuali condizioni di esistenza relative alla forma iniziale della disequazione, in un opportuno sistema di disequazioni.

 

Dopo aver individuato le CE applichiamo, se possibile, i due principi di equivalenza delle disequazioni per ridurre la disequazione iniziale a una forma semplificata.

 

A questo punto è chiaro che dobbiamo applicare due (o più) metodi riferiti alle tipologie che si combinano nella disequazione. Come possiamo fare? E in che ordine vanno usati?

 

Difficile, o meglio impossibile, fornire una regola generale. In certi casi l'ordine di svolgimento è dettato in modo naturale dalla disequazione, come in

 

\log(e^{x}-1)\leq 2

 

In altri casi l'ordine con cui applichiamo i metodi non è rilevante, come in

 

\sqrt{x^2-|x|}>x

 

dove possiamo ricorrere dapprima al metodo per le disequazioni irrazionali e successivamente quello per le disequazioni con i moduli, o viceversa. Quale che sia il metodo scelto per primo, nello svolgimento ci troveremo di fronte a una o più disequazioni che prevedono di usare il secondo. Nulla che non sappiamo già fare.

 

Quando i metodi sono interscambiabili (e non sempre lo sono) l'aspetto interessante riguarda la scelta più conveniente, vale a dire quello più veloce, che richiede meno calcoli e che risulta più familiare:

 

- in generale non c'è sempre una scelta più conveniente rispetto all'altra, e quando c'è purtroppo non esiste una regola generale per capirlo. Per capire qual è l'approccio più comodo per risolvere una disequazione mista serve esperienza, e l'unico modo per maturarla è fare quintali di esercizi... :D

 

- bisogna anche considerare che certi metodi risultano più simpatici a seconda dei gusti personali; e poiché de gustibus non est disputandum, a voi la scelta di instradare il procedimento come meglio ritenete. L'approccio che scegliete richiede qualche calcolo in più, ma al contempo vi infonde maggiore sicurezza? Sentitevi liberi di seguire la strada più efficace per voi. ;)

 

 

Esempio 1 - Disequazione logaritmica ed esponenziale

 

\log(e^x-1)\leq 2

 

Svolgimento: qui l'ordine di applicazione dei due metodi è telecomandato. Abbiamo un logaritmo nel cui argomento è presente un'esponenziale, dunque partiamo dalle CE imponendo:

 

\mbox{CE}:\ e^x-1>0

 

Questa semplice disequazione esponenziale si traduce in

 

e^x>1\\ \\ e^x>e^0

 

Poiché la base è maggiore di 1, possiamo passare al confronto degli esponenti preservando il simbolo di disequazione. Le condizioni di esistenza sono date da

 

\mbox{CE}:\ x>0

 

Torniamo alla disequazione iniziale:

 

\log(e^x-1)\leq 2

 

Esprimiamo il secondo membro sotto forma di logaritmo, ricordando che il logaritmo naturale ha come base il numero di Nepero

 

\log(e^x-1)\leq \log(e^2)

 

Poiché la base è maggiore di 1 possiamo eliminare i logaritmi e confrontare gli argomenti preservando il simbolo di disequazione:

 

e^x-1\leq e^2\\ \\ e^x\leq e^2+1

 

Ora applichiamo il logaritmo in base e a entrambi i membri, così da eliminare l'esponenziale a primo membro. Poiché il logaritmo naturale ha base maggiore di 1, preserviamo il simbolo di disequazione

 

x\leq \log(e^2+1)

 

Per concludere dobbiamo limitare le soluzioni all'insieme di esistenza, ricordandoci delle CE:

 

\begin{cases}x>0\\ x\leq \log(e^2+1)\end{cases}

 

In questo contesto è utile disporre del valore approssimato dell'estremo nella seconda disequazione, determinandolo con la calcolatrice

 

\log(e^2+1)\simeq 1,85>0

 

Abbiamo finito!

 

\mbox{S}:\ 0<x\leq \log(e^2+1)

 

 

Esempio 2 - Disequazione mista irrazionale e con moduli

 

Proviamo a risolvere la disequazione menzionata in precedenza:

 

\sqrt{x^2-|x|}>x

 

Svolgimento: lo scrivente di solito preferisce trattare prima i valori assoluti e poi occuparsi del resto, per cui partiremo dalla discussione del modulo. ;)

 

Riscriviamo la disequazione come unione di due sistemi, in base al segno dell'argomento del valore assoluto:

 

(\bullet)\ \begin{cases}x\geq 0\\ \sqrt{x^2-x}>x\end{cases}\ \bigcup\ \ \ \begin{cases}x<0\\ \sqrt{x^2-(-x)}>x\end{cases}

 

Risolviamo separatamente i due sistemi. O meglio: le seconde disequazioni, dato che le prime sono banali.

 

(1)\ \begin{cases}x\geq 0\\ \sqrt{x^2-x}>x\end{cases}\\ \\ \\ (1.2)\ \sqrt{x^2-x}>x

 

Questa disequazione irrazionale è ad indice pari e si traduce a sua volta nell'unione di due sistemi

 

(1.2)\ \begin{cases}x\geq 0\\ x^2-x>x^2\end{cases}\ \bigcup\ \ \ \begin{cases}x^2-x\geq 0\\ x<0\end{cases}

 

Niente di difficile:

 

(1.2)\ \begin{cases}x\geq 0\\ x<0\end{cases}\ \bigcup\ \ \ \begin{cases}x\leq 0\ \vee\ x\geq 1\\ x<0\end{cases}

 

Il primo sistema è impossibile, mentre il secondo ammette come insieme soluzione x<0. L'unione di quest'ultimo con l'insieme vuoto è dunque

 

(1.2):\ x<0

 

Torniamo all'unione dei due sistemi scritta all'inizio e occupiamoci del secondo sistema

 

(2)\ \begin{cases}x<0\\ \sqrt{x^2-(-x)}>x\end{cases}\\ \\ \\ (2.2)\ \sqrt{x^2+x}>x

 

Anche in questo caso la disequazione irrazionale è con indice pari, per cui la riscriviamo come unione di due opportuni sistemi

 

(2.2)\ \begin{cases}x\geq 0\\ x^2+x>x^2\end{cases}\ \bigcup\ \ \ \begin{cases}x^2+x\geq 0\\ x<0\end{cases}

 

Con qualche semplice calcolo...

 

(2.2)\ \begin{cases}x\geq 0\\ x>0\end{cases}\ \bigcup\ \ \ \begin{cases}x\leq -1\ \vee\ x\geq 0\\ x<0\end{cases}

 

... ricaviamo subito le soluzioni (esprimendo l'unione con il connettivo logico \vee)

 

x>0\ \vee\ x\leq -1

 

Non ci resta che tornare all'unione dei due sistemi relativa al valore assoluto e sostituire le seconde disequazioni con i rispettivi insiemi soluzione:

 

(\bullet)\ \begin{cases}x\geq 0\\ x<0\end{cases}\ \bigcup\ \ \ \begin{cases}x<0\\ x\leq -1\ \vee\ x>0\end{cases}

 

Il primo è impossibile, per cui le soluzioni della disequazione iniziale sono fornite dal secondo sistema

 

\mbox{S}:\ x\leq -1

 

A proposito: se proverete a svolgere l'esercizio impostando la disequazione come un'irrazionale, e risolvendo le disequazioni con moduli che ne scaturiscono, scoprirete che entrambe le strade sono equivalenti in quanto a mole di calcoli.

 

 


 

C'è un ultimo procedimento che dobbiamo trattare per concludere lo studio delle disequazioni ad un'incognita: quello per le disequazioni con il metodo grafico. Ne parliamo nella prossima lezione. ;)

 

Se volete esercitarvi ricordate che qui su YM ci sono migliaia di risorse utili: esercizi risolti, lezioni, approfondimenti e tool (come quello per le disequazioni online). Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Ċaw, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione precedente.....Lezione successiva

 
 

Tags: come risolvere le disequazioni miste - metodo per risolvere le disequazioni con termini misti.