Disequazioni letterali di secondo grado

Le disequazioni letterali di secondo grado, dette anche disequazioni parametriche di grado 2, sono disequazioni di secondo grado in cui oltre all'incognita compaiono uno o più parametri. Attribuendo uno specifico valore numerico a ciascun parametro si può ottenere una disequazione di grado 2, di grado 1 o una disuguaglianza numerica.

Dopo aver studiato il metodo di risoluzione delle disequazioni di secondo grado, facciamo un passo avanti e vediamo come effettuare la discussione per le disequazioni parametriche di grado 2.

Il procedimento che presenteremo segue la falsariga di quello che abbiamo proposto per studiare le equazioni letterali di secondo grado: proporremo una scaletta con le linee guida per effettuare la discussione, mettendo in evidenza gli aspetti più delicati, dopodiché passeremo agli esempi svolti.

Introduzione alle disequazioni letterali di secondo grado

Dopo aver letto la lezione sulle disequazioni letterali di primo grado saprete sicuramente qual è la differenza tra incognita e parametri. Un parametro è da intendersi come un generico valore numerico; per risolvere una disequazione parametrica è necessario effettuare una discussione in modo da analizzare qualitativamente i valori che possono assumere i parametri.

Nelle disequazioni letterali di grado 1 abbiamo fornito una serie di linee guida classificando le varie tipologie di esercizi. Nelle disequazioni letterali di grado 2 vale una logica analoga, con la differenza che i possibili casi sono ancor più numerosi. Ad esempio, scegliendo determinati valori dei parametri, la disequazione potrebbe ridursi a una parametrica di primo grado oppure a una disuguaglianza numerica.

Il fatto è che non esiste un metodo universale per discutere e risolvere le disequazioni letterali di secondo grado. Piuttosto, è importante sapere quali sono gli aspetti che richiedono attenzione e che impongono una suddivisione della discussione per casi, così da capire come comportarsi per ciascuno di essi.

Come discutere e risolvere le disequazioni letterali di secondo grado

Se sappiamo come risolvere le disequazioni di secondo grado, l'aggiunta di parametri non complica la risoluzione algebrica. I calcoli non diventano più difficili, per intenderci.

Premesso che ci limiteremo alle disequazioni di grado 2 con una lettera - chiamiamola k - la parte impegnativa della discussione riguarda l'analisi dei termini parametrici.

1) La disequazione potrebbe presentarsi direttamente in forma normale oppure no. Prima di fare qualsiasi calcolo dobbiamo escludere i valori del parametro che rendono la disequazione priva di significato (ad esempio i valori della lettera che annullano gli eventuali denominatori con parametro).

2) Se necessario, usiamo i due principi di equivalenza delle disequazioni per semplificare le espressioni algebriche. Cercheremo di ridurci alla forma

ax^2+bx+c ⋛ 0

dove i coefficienti a,b,c possono contenere il parametro k.

Nei calcoli il primo principio (sommare o sottrarre la stessa quantità) non crea problemi, ma il secondo principio (moltiplicare o dividere per la stessa quantità) potrebbe. Se il termine per cui moltiplichiamo o dividiamo è parametrico, dobbiamo stabilire per quali valori del parametro è positivo o negativo e diramare la discussione tra i due casi. Se il termine è negativo ricordiamoci di invertire il simbolo di disequazione, in caso contrario lo lasciamo inalterato.

3) A questo punto dobbiamo capire quali valori dei parametri alterano la natura della disequazione rendendola di grado 1 o direttamente una disuguaglianza numerica:

3.1) Se a dipende dal parametro k, determiniamo i valori del parametro che lo annullano.

3.1.1) Se i valori di k che annullano a annullano anche b, allora tali valori di k rendono la disequazione una disuguaglianza numerica. La conclusione è immediata.

3.1.2) Se i valori di k che annullano a non annullano anche b, allora tali valori di k rendono la disequazione di primo grado. Studiamola come già sappiamo fare.

3.2) Se a non dipende dal parametro k, o comunque per i valori di k che non annullano a, passiamo al punto successivo.

4) Dobbiamo proseguire con la discussione da 3.2).

4.1) Se a non dipende dal parametro, ne conosciamo immediatamente il segno. Se è positivo passiamo subito al punto 5), in caso contrario moltiplichiamo entrambi i membri per -1 invertendo il simbolo di disequazione, e passiamo al punto 5).

4.2) Se a dipende dal parametro, proseguiamo considerando i valori di k che non lo annullano. Individuiamo i valori di k che rendono a positivo o negativo, e sviluppiamo la discussione al punto 5) nei rispettivi sotto-casi.

5) In ciascun sotto-caso studiamo il segno del discriminante (delta) al variare del parametro k

Δ = b^2−4ac

ponendo

Δ ≥ 0

6) Determiniamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata

ax^2+bx+c = 0

e traiamo le conclusioni in accordo con il metodo per le disequazioni di secondo grado, considerando:

- il verso del simbolo di disequazione, per come si presenta alla fine dei passaggi algebrici del punto 2);

- il segno del coefficiente direttivo a;

- il segno del discriminante Δ.

Così facendo riusciremo a descrivere le soluzioni in ogni sotto-caso esprimendole in funzione del parametro.

Ci rendiamo conto che i vari passaggi potrebbero sembrare molto difficili nella teoria, ma all'atto pratico la questione è molto più semplice. Si tratta solo di ragionare con attenzione e precisione. ;)

Esempi sulle disequazioni letterali di secondo grado

Vediamo tre esercizi svolti sulle disequazioni parametriche di secondo grado.

Esempio 1

2x^2−kx+k^2 > 0

Svolgimento: nella disequazione il parametro non compare in alcun denominatore, quindi non c'è alcuna condizione preliminare da imporre.

La disequazione si presenta già in forma normale e il coefficiente direttivo è positivo

a = 2 > 0

quindi possiamo considerare l'equazione associata e calcolarne il delta:

2x^2−kx+k^2 = 0 ; Δ = b^2−4ac = (−k)^2−4·2·k^2 = k^2−8k^2 = −7k^2

Non ci resta che studiare il segno del delta, ponendo

Δ ≥ 0 → −7k^2 ≥ 0

Poiché k^2 è una quantità elevata al quadrato, è certamente maggiore-uguale a 0 (ed è uguale a 0 solamente se k = 0). Di conseguenza −7k^2 è una quantità certamente minore-uguale a zero:

- per k = 0 il discriminante è nullo, Δ = 0. L'equazione associata ammette due soluzioni coincidenti, date da

2x^2−kx+k^2 = 0 → (k = 0) 2x^2 = 0 → x = 0

- per k ≠ 0 il delta è negativo, Δ < 0. L'equazione associata non ammette alcuna soluzione.

Non ci resta che trarre le dovute conclusioni:

2x^2−kx+k^2 > 0

- se k = 0 abbiamo a > 0, Δ = 0, e la disequazione ammette come soluzioni ∀ x ≠ 0;

- se k ≠ 0 abbiamo a > 0, Δ < 0, e la disequazione ammette come soluzioni ∀ x.

2x^2−kx+k^2 > 0 → ∀ x ≠ 0 se k = 0 ; ∀ x se k ≠ 0

Esempio 2

−x^2+(5k)/(4)x+(6k^2)/(4) > 0

Svolgimento: il coefficiente del termine di grado 2 non dipende dal parametro k, ed è negativo. Ci conviene renderlo positivo moltiplicando entrambi i membri per -1

x^2−(5k)/(4)x−(6k^2)/(4) < 0

In questo modo abbiamo a = 1 > 0.

Procediamo con il calcolo del delta dell'equazione associata:

x^2−(5k)/(4)x−(6k^2)/(4) = 0 ; Δ = b^2−4ac = (−(5k)/(4))^2−4·1·(−(6k^2)/(4)) = (25k^2)/(16)+6k^2 = (121)/(16)k^2

Studiamo il segno del delta ponendo Δ ≥ 0

(121)/(16)k^2 ≥ 0

Questa disequazione ammette come soluzioni ∀ k. In particolare, se k = 0 risulta Δ = 0, se invece k ≠ 0 allora risulta Δ > 0.

Calcoliamo le soluzioni dell'equazione associata:

x_(1,2) = (−b±√(Δ))/(2a) = (−(−(5k)/(4))±√((121)/(16)k^2))/(2·1) =

Per estrarre la radice del delta dobbiamo ricorrere al valore assoluto

= ((5k)/(4)±(11)/(4)|k|)/(2) (•)

Ora distinguiamo tra i casi k > 0 e k < 0, in modo da eliminare il valore assoluto e attribuire il giusto segno a k.

k > 0 ; (•) = ((5k)/(4)±(11)/(4)k)/(2) = ((5k)/(4)+(11)/(4)k)/(2) = 2k ; ((5k)/(4)−(11)/(4)k)/(2) = −(3)/(4)k ; k < 0 ; (•) = ((5k)/(4)±(11)/(4)(−k))/(2) = ((5k)/(4) mp (11)/(4)k)/(2) = ((5k)/(4)−(11)/(4)k)/(2) = −(3)/(4)k ; ((5k)/(4)+(11)/(4)k)/(2) = 2k

Indipendentemente dal valore assoluto otteniamo due soluzioni:

x_1 = −(3k)/(2) ; x_2 = 2k

che sono distinte se k ≠ 0 e coincidenti (x_1 = x_2 = 0) se k = 0.

Tiriamo le somme facendo riferimento allo schemino per la risoluzione algebrica delle disequazioni di secondo grado. La disequazione all'ultimo passaggio è data da:

x^2−(5k)/(4)x−(6k^2)/(4) < 0

- simbolo <, a > 0, se k = 0 allora Δ = 0. La disequazione è impossibile, not ∃ x, perché il simbolo di disequazione è minore stretto;

- simbolo <, a > 0, se k ≠ 0 allora Δ > 0. La disequazione ammette come soluzioni i valori compresi tra x_1,x_2, con estremi esclusi perché il simbolo di disequazione è minore stretto.

Qui però si presenta un'insidia. A seconda che sia k > 0 oppure k < 0 cambia l'ordinamento di x_1,x_2, dunque distinguiamo due sotto-casi:

--- se k < 0 le soluzioni saranno date da 2k < x < −(3k)/(2)

--- se k > 0 le soluzioni saranno date da −(3k)/(2) < x < 2k

Abbiamo portato a termine l'esercizio:

−x^2+(5k)/(4)x+(6k^2)/(4) > 0 → not ∃ x se k = 0 ; 2k < x < −(3k)/(2) se k < 0 ;−(3k)/(2) < x < 2k se k > 0

Esempio 3

(k−2)x^2−2kx+k+2 ≥ 0

Svolgimento: a differenza dei primi due esercizi qui il coefficiente direttivo dipende dal parametro k, quindi dobbiamo studiarne il segno e ragionare in due diversi casi.

• Caso 1: k−2 = 0 → k = 2

La disequazione letterale di secondo grado si riduce a una disequazione di primo grado

−4x+4 ≥ 0

che si risolve immediatamente:

x ≤ 1

• Caso 2: k−2 > 0 → k > 2

Il coefficiente del termine di grado 2 è positivo. Calcoliamo il delta dell'equazione associata e studiamone il segno:

(k−2)x^2−2kx+k+2 = 0 ; Δ = b^2−4ac = (−2k)^2−4·(k−2)·(k+2) = 4k^2−4(k^2−4) = 4k^2−4k^2+16 = 16

Il delta è positivo, Δ > 0, indipendentemente dal parametro. Calcoliamo le soluzioni dell'equazione associata:

x_(1,2) = (−b±√(Δ))/(2a) = (−(−2k)±√(16))/(2(k−2)) = (2k±4)/(2(k−2)) = (2(k+2))/(2(k−2)) = (k+2)/(k−2) ; (2(k−2))/(2(k−2)) = 1

e come ci aspettavamo, ci sono due soluzioni distinte:

x_1 = (k+2)/(k−2) ; x_2 = 1

Ora dobbiamo capire come ordinare x_1,x_2. Considerando che siamo nel caso k > 2, si vede subito che x_1 > x_2 per ogni k > 2. Scriviamo quindi

x_1 = 1 ; x_2 = (k+2)/(k−2)

Essendo la disequazione

(k−2)x^2−2kx+k+2 ≥ 0

abbiamo come simbolo ≥, un coefficiente direttivo positivo (k > 2 → a > 0) e un delta positivo (Δ > 0). Le soluzioni della disequazione sono allora quelle esterne a x_1,x_2, con estremi inclusi perché il simbolo di disuguaglianza include l'uguale

x ≤ 1 ∨ x ≥ (k+2)/(k−2)

• Caso 3: k−2 < 0 → k < 2

Il coefficiente direttivo è negativo; rendiamolo positivo moltiplicando entrambi i membri per -1

(k−2)x^2−2kx+k+2 ≥ 0 ;−(k−2)x^2+2kx−k−2 ≤ 0

Riscriviamola nella forma

−(k−2)x^2+2kx−(k+2) ≤ 0

In questo modo il coefficiente direttivo è positivo e possiamo usare lo schema algebrico per le disequazioni di secondo grado.

Pur avendo moltiplicato entrambi i membri per -1, l'equazione associata è sempre la stessa e tale è il delta

−(k−2)x^2+2kx−k−2 = 0 ; Δ = 16

come pure le soluzioni

x_1 = (k+2)/(k−2) ; x_2 = 1

Dato che siamo nel caso k < 2, si vede subito che è x_1 < x_2.

Portiamo a termine l'esercizio: la disequazione all'ultimo passaggio è data da:

−(k−2)x^2+2kx−(k+2) ≤ 0

Il simbolo è ≤. Per come abbiamo riscritto la disequazione, il coefficiente direttivo è positivo (k < 2 → a > 0) e il delta è positivo (Δ > 0). Le soluzioni della disequazione sono allora quelle comprese tra x_1,x_2, con estremi inclusi perché il simbolo di disuguaglianza include l'uguale

(k+2)/(k−2) ≤ x ≤ 1

Abbiamo terminato:

(k−2)x^2−2kx+k+2 ≥ 0 → x ≤ 1 se k = 2 ; x ≤ 1 ∨ x ≥ (k+2)/(k−2) se k > 2 ; (k+2)/(k−2) ≤ x ≤ 1 se k < 2

Ci fermiamo qui. Vi raccomandiamo di fare quanti più esercizi possibile in modo da allenare l'occhio clinico e prendere confidenza con le numerosissime casistiche delle disequazioni letterali di secondo grado.

Nella lezione successiva parleremo delle disequazioni di grado superiore al secondo. Nel frattempo ricordatevi che qui su YM ci sono migliaia di lezioni, esercizi svolti e approfondimenti, a partire dal tool per risolvere le disequazioni online. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Tot weerziens, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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