Principi di equivalenza delle disequazioni

I principi di equivalenza delle disequazioni sono regole che permettono di risolvere le disequazioni semplificando le espressioni algebriche a sinistra e a destra del simbolo di disuguaglianza, sommando o sottraendo e moltiplicando o dividendo per una medesima quantità.

 

Dopo aver studiato le nozioni introduttive sulle disequazioni passiamo alle regole base che ci permetteranno di risolverle, vale a dire primo e secondo principio di equivalenza delle disequazioni. Partiremo dalla definizione di disequazioni equivalenti, dopodiché enunceremo i due principi, li commenteremo e li applicheremo in svariati esempi.

 

Nota bene: alcuni libri di testo e docenti, in realtà, presentano anche un terzo principio di equivalenza, ma da parte nostra preferiamo considerarlo come parte integrante del secondo. ;)

 

Disequazioni equivalenti

 

Per introdurre i due principi di equivalenza delle disequazioni è necessario sapere cosa si intende con disequazioni equivalenti.

 

La definizione è in tutto e per tutto analoga a quella che abbiamo studiato nel caso delle equazioni (cfr: principi di equivalenza delle equazioni). Diciamo che due disequazioni sono equivalenti se ammettono lo stesso insieme di soluzioni.

 

Anche se non abbiamo ancora studiato alcun metodo per risolvere le disequazioni, vediamo un semplice esempio:

 

x+2>2\\ \\ x+1>1

 

Dato che non abbiamo specificato qual è l'insieme in cui risolvere le due disequazioni, in entrambi i casi possiamo considerare l'insieme dei numeri reali \mathbb{R} come insieme di esistenza delle soluzioni.

 

Nella prima disequazione tutte e sole le soluzioni sono date dai valori positivi, infatti sommando a 2 un qualsiasi numero positivo si ottiene un numero maggiore di 2; nella seconda vale un ragionamento analogo.

 

Le due disequazioni sono quindi equivalenti, infatti ammettono entrambe come insieme soluzione

 

S=\{x\in\mathbb{R}\ :\ x>0\}

 

Nulla di particolare fin qui. ;)

 

Primo e secondo principio di equivalenza delle disequazioni

 

Per comprendere a fondo i due principi di equivalenza delle disequazioni è fondamentale ricordare qual è la differenza tra:

 

- insieme di esistenza delle soluzioni, vale a dire l'insieme in cui ha senso cercare le soluzioni della disequazione;

 

- insieme delle soluzioni, vale a dire il sottoinsieme (dell'insieme di esistenza delle soluzioni) i cui elementi sono soluzioni della disequazione.

 

Per risolvere le equazioni disponevamo di due regole fondamentali:

 

1) se si somma o sottrae una medesima espressione a destra e a sinistra dell'uguale senza alterare l'insieme di esistenza delle soluzioni dell'equazione, si ottiene un'equazione equivalente a quella data;

 

2) se si moltiplica o divide per una medesima espressione a destra e a sinistra dell'uguale senza alterare l'insieme di esistenza delle soluzioni dell'equazione, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

 

Cosa accade nel caso delle disequazioni? Valgono due principi sostanzialmente analoghi, ma con alcune differenze piuttosto importanti. ;)

 

Primo principio di equivalenza delle disequazioni

 

Enunciato: è possibile sommare o sottrarre una stessa espressione sia a sinistra che a destra del simbolo di disuguaglianza senza alterare l'insieme soluzione della disequazione, purché facendolo non si alteri l'insieme di esistenza delle soluzioni.

 

Vediamo un esempio numerico per comprendere il significato del primo principio, senza coinvolgere alcuna incognita. D'altra parte le disequazioni non sono altro che disuguaglianze tra espressioni algebriche, che si riconducono a disuguaglianze tra numeri se si sostituiscono valori numerici al posto dell'incognita. O no? :)

 

Se consideriamo la disuguaglianza

 

5>3

 

e sommiamo 2 a sinistra e a destra, ricaviamo

 

5+2>3+2\ \to\ 7>5

 

che è ancora una disuguaglianza verificata. Allo stesso modo, se sottraiamo 1 da entrambi i membri

 

5-1>3-1\ \to\ 4>2

 

che è una disuguaglianza altrettanto valida.

 

Rileggiamo l'enunciato. Cosa si intende con "purché facendolo non si alteri l'insieme di esistenza delle soluzioni"? Per il momento non preoccupatevene: lo vedremo in lungo e in largo al momento opportuno. Se però siete impazienti, ecco un esempio per rendere l'idea. Nella disequazione

 

x>1\ \ \ \mbox{con }x\in\mathbb{R}

 

Possiamo sommare a entrambi i membri 5, -2 o ancora x. Così facendo otteniamo una disequazione equivalente a quella di partenza e tale da avere lo stesso insieme di esistenza delle soluzioni

 

x+5>1+5\ \ \ \mbox{con }x\in\mathbb{R}\\ \\ x-2>1-2\ \ \ \mbox{con }x\in\mathbb{R}\\ \\ x+x>1+x\ \ \ \mbox{con }x\in\mathbb{R}

 

Se però sommassimo la quantità \frac{1}{x}, otterremmo una disequazione che ha un diverso insieme di esistenza delle soluzioni:

 

x+\frac{1}{x}>1+\frac{1}{x}\ \ \ \mbox{con }x\in\mathbb{R},\ x\neq 0

 

Avete notato? Se sommiamo \frac{1}{x} a entrambi i membri, dobbiamo tenere conto che non si può dividere per zero, e dunque dobbiamo escludere dall'insieme di esistenza delle soluzioni il valore x=0.

 

Il succo del discorso è che, in generale, il primo principio di equivalenza delle disequazioni è valido solo se l'espressione che sommiamo o sottraiamo non modifica l'insieme di esistenza delle soluzioni. In tal caso otteniamo una disequazione che ha le stesse soluzioni di quella di partenza.

 

Se al contrario sommiamo o sottraiamo la stessa espressione a sinistra e a destra, e se facendolo alteriamo l'insieme di esistenza delle soluzioni, non abbiamo la garanzia di ottenere una disequazione equivalente a quella iniziale (ossia con lo stesso insieme soluzione).

 

Secondo principio di equivalenza delle disequazioni

 

Enunciato: è possibile moltiplicare e dividere per una stessa espressione (diversa da zero) sia a sinistra che a destra del simbolo di disuguaglianza senza alterare l'insieme soluzione della disequazione, a patto che facendolo non si alteri l'insieme di esistenza delle soluzioni. Inoltre:

 

- se il valore per cui si moltiplica o divide è positivo, il verso del simbolo di disuguaglianza rimane invariato;

 

- se il valore per cui si moltiplica o divide è negativo, bisogna invertire il verso del simbolo della disequazione.

 

Già dall'enunciato si intuisce che il secondo principio nasconde qualche insidia, ma andiamo con ordine e partiamo da un esempio numerico. Sappiamo che

 

10<20

 

Moltiplichiamo entrambi i membri per 3

 

10\cdot 3<20\cdot 3\ \to\ 30<60

 

Quest'ultima disuguaglianza è ancora vera; notiamo inoltre che abbiamo moltiplicato per una quantità positiva, di conseguenza non abbiamo modificato il simbolo della disequazione.

 

Se dividiamo entrambi i membri per 5, vale un discorso analogo:

 

\frac{10}{5}<\frac{20}{5}\ \to\ 2<4

 

Se proviamo a moltiplicare e a dividere per una medesima quantità negativa, dobbiamo ricordarci di invertire il verso del simbolo di disequazione

 

10\cdot (-3)\overbrace{>}^{\mbox{era }<}20\cdot (-3)\ \to\ -30>-60\\ \\ \\ \frac{10}{-5}\overbrace{>}^{\mbox{era }<}\frac{20}{-5}\ \to\ -2>-4

 

Da qui dovrebbe essere chiaro perché il secondo principio impone di invertire il simbolo di disequazione se si moltiplica o divide per una quantità negativa.

 

Riguardo al "a patto che facendolo non si alteri l'insieme di esistenza delle soluzioni", valgono considerazioni del tutto analoghe rispetto al primo principio. La vera insidia del secondo principio di equivalenza risiede in ciò che possiamo moltiplicare o dividere.

 

Se da un lato, grazie al primo principio, possiamo sommare o sottrarre qualsiasi espressione purché non si alteri l'insieme di esistenza delle soluzioni, con il secondo principio le cose si complicano. Se moltiplichiamo o dividiamo per quantità numeriche non abbiamo problemi, perché ne conosciamo inequivocabilmente il segno, e di conseguenza sappiamo se dobbiamo invertire il verso del simbolo di disequazione oppure no.

 

Che dire delle espressioni contenenti l'incognita? Ad esempio, data la disequazione

 

x+3>1

 

Potremmo moltiplicare o dividere per x?

 

(x+3)\cdot x>2x\cdot x\ \ \ ?

 

Di fatto no, perché x è un'incognita che può assumere qualsiasi valore nell'insieme di esistenza delle soluzioni, dunque non ne conosciamo il segno e non sapremmo se invertire il verso del simbolo di disequazione. Pur non alterando l'insieme di esistenza delle soluzioni, non saremmo in grado di applicare correttamente il secondo principio di equivalenza.

 

Ci sono casi particolari in cui determinate espressioni dipendenti dall'incognita sono diverse da zero e hanno segno costante comunque si consideri x nell'insieme di esistenza delle soluzioni, e in questi casi è lecito moltiplicare o dividere per tali quantità. La questione però è che capirlo non è semplice: sono necessarie attenzione ed esperienza.

 

In assoluto non è vietato moltiplicare o dividere in una disequazione per un'espressione contenente l'incognita ma, a meno di trovarsi a un livello avanzato di studi, per sicurezza i docenti raccomandano di non moltiplicare/dividere per espressioni contenenti l'incognita.

 

Utilità dei principi di equivalenza delle disequazioni

 

Esattamente come avviene per le equazioni, i principi di equivalenza consentono di partire da disequazioni con espressioni elaborate e di semplificarle passaggio per passaggio, fino a giungere alle soluzioni.

 

Un esempio varrà più di mille parole. Proviamo a risolvere una semplice disequazione di primo grado (argomento che tratteremo in dettaglio nella prossima lezione):

 

\frac{x+5}{2}\geq x

 

Sbarazziamoci del denominatore a sinistra moltiplicando entrambi i membri per 2:

 

2\cdot \frac{x+5}{2}\geq 2\cdot x\\ \\ x+5\geq 2x

 

Sottraiamo 5 a entrambi i membri

 

x+5-5\geq 2x-5\\ \\ x\geq 2x-5

 

e sottraiamo 2x a entrambi i membri, così da isolare incognita da una parte e valore numerico dall'altra

 

x-2x\geq 2x-5-2x\\ \\ -x\geq -5

 

Moltiplichiamo infine per -1, ricordandoci di invertire il verso del simbolo di disequazione

 

x\leq 5

 

e abbiamo finito. :)

 

 


 

Vi aspettiamo nella prossima lezione! Se siete qui per ripassare, sappiate che su YM ci sono tantissimi esercizi risolti reperibili con la barra di ricerca interna, oltre a un comodo tool per risolvere le disequazioni online. ;)

 

 

Adiaŭ, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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