Disequazioni letterali di primo grado

Le disequazioni letterali di primo grado (o disequazioni parametriche di primo grado) sono disequazioni di grado 1 in cui, oltre all'incognita, compaiono una o più lettere che svolgono il ruolo di parametri, e che richiedono una discussione per casi per determinarne le soluzioni.

 

La risoluzione delle disequazioni parametriche di primo grado è delicata non perché concettualmente difficile, quanto più per l'attenzione con cui deve essere condotta la discussione, che è tanto più impegnativa quanto maggiore è il numero dei parametri coinvolti.

 

Tra un istante vedremo che non c'è una regola fissa per risolvere questo tipo di esercizi. Ogni disequazione letterale fa storia a sé, per cui analizzeremo i possibili casi facendo riferimento a opportuni esempi ed estrapolandone un metodo risolutivo.

 

Cosa sono le disequazioni letterali di primo grado

 

Le disequazioni letterali di grado 1 sono disequazioni di primo grado in cui sono presenti uno o più parametri. Cerchiamo di capire cosa sono e cosa rappresentano, e vediamo qual è il metodo per risolverle in linea generale. La spiegazione potrebbe sembrarvi molto teorica e poco pratica, ma non preoccupatevene, perché subito dopo passeremo agli esempi concreti.

 

Analogamente alle equazioni letterali di primo grado, i parametri non vanno confusi con l'incognita e sono da intendersi come termini numerici che possono assumere qualsiasi valore. Se si sceglie uno specifico valore per ciascun parametro, si ottiene una specifica disequazione di primo grado.

 

Ad esempio

 

ax+5\geq x+2

 

è una disequazione parametrica di primo grado in cui è presente un parametro a. L'insieme di esistenza delle soluzioni è quello dei numeri reali \mathbb{R} e, non essendovi alcuna particolare indicazione, il parametro a è da intendersi come un generico numero reale.

 

Se scegliessimo a=1, oppure a=-1, otterremmo due diverse disequazioni di primo grado

 

a=1\ \to\ x+5\geq x+2\\ \\ a=-1\ \to\ -x+5\geq x+2

 

Poiché i parametri svolgono il ruolo di valori generici, evidentemente non possiamo effettuare un'infinità di sostituzioni e risolvere un'infinità di disequazioni. ;) Risolvere una disequazione parametrica di primo grado significa piuttosto descrivere l'insieme delle soluzioni al variare dei parametri coinvolti. Per intenderci, arrivare a

 

x\gtreqless\mbox{qualcosa contenente i parametri}

 

Dato che le disequazioni richiedono di usare regole diverse a seconda che i coefficienti siano positivi o negativi, e dato che i parametri sono valori generici, dovremo ragionare qualitativamente sui possibili valori dei parametri e svolgere i calcoli analizzando caso per caso.

 

La principale regola che ci guiderà nel riconoscere e analizzare i vari casi è quella del secondo principio di equivalenza delle disequazioni:

 

- se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri della disequazione per una stessa quantità positiva, tale da non alterare l'insieme di esistenza delle soluzioni, il simbolo di disequazione rimane invariato e si ottiene una disequazione equivalente a quella data (stesse soluzioni);

 

- se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri della disequazione per una stessa quantità negativa, tale da non alterare l'insieme di esistenza delle soluzioni, il simbolo di disequazione va invertito e si ottiene una disequazione equivalente a quella data (stesse soluzioni).

 

Metodo di risoluzione delle disequazioni parametriche di primo grado

 

Vediamo come ci si deve comportare nella pratica quando nella disequazione compaiono coefficienti letterali. Per farlo considereremo le principali tipologie di disequazioni letterali di primo grado, distinguendo in base al numero e alla posizione dei parametri. ;)

 

 

Tipo 1 - Disequazione con parametro nel termine noto

 

10x\leq 5a+1

 

Questo tipo di disequazione letterale è il più semplice possibile, perché il parametro è presente solo nel termine noto e possiamo isolare l'incognita al primo membro senza ambiguità di segno.

 

Il coefficiente dell'incognita è un numero positivo (10), pertanto dividiamo ambo i membri per 10 lasciando inalterato il simbolo di disuguaglianza. In questo modo arriviamo subito all'insieme delle soluzioni:

 

x \leq \frac{5a+1}{10}

 

La disequazione

 

-10x \leq 5a+1

 

è del tutto analoga. Anche qui possiamo dividere per il coefficiente dell'incognita senza effettuare alcuna discussione sul parametro; dovendo dividere entrambi i membri per -10, dobbiamo fare attenzione e invertire il verso del simbolo di disequazione

 

x \geq \frac{5a+1}{-10}

 

L'insieme delle soluzioni in questo caso è:

 

x \geq -\frac{5a+1}{10}

 

 

Tipo 2 - Disequazione letterale con parametro nel coefficiente dell'incognita

 

Passiamo a una tipologia di disequazioni parametriche di primo grado leggermente più complicata: quelle in cui il parametro è presente nel coefficiente dell'incognita, indipendentemente che sia presente anche nel termine noto.

 

(a-2)x>3

 

Per risolverla, così come visto nella lezione sulle disequazioni di primo grado, sarebbe sufficiente dividere entrambi i membri per il coefficiente della x, ossia per (a-2). Tuttavia, poiché il parametro a va considerato come un generico numero, non sappiamo se (a-2) sia una quantità positiva, negativa o nulla.

 

Distinguiamo tre casi.

 

 

\bullet \ \mbox{Caso }1) \ a-2>0 \ \to \ a>2

 

Il coefficiente dell'incognita è positivo. Possiamo dividere entrambi i membri per la quantità positiva (a-2) lasciando inalterato il verso della disequazione, il che ci porta direttamente alle soluzioni:

 

(a-2)x>3\ \to\ x>\frac{3}{a-2}

 

 

\bullet \ \mbox{Caso }2) \ a-2<0 \ \to \ a<2

 

Anche in questo caso possiamo dividere entrambi i membri per (a-2), che però è una quantità negativa. Non dimentichiamoci di invertire il simbolo di disuguaglianza:

 

(a-2)x>3\ \to\ x<\frac{3}{a-2}

 

 

\bullet \ \mbox{Caso }3) \ a-2=0 \ \to \ a=2

 

Qui dobbiamo semplicemente sostituire il coefficiente (a-2) con zero:

 

(a-2)x>3\ \to\ 0x>3

 

ossia

 

0>3\ \to\ \not\exists x

 

che è una disuguaglianza numerica falsa. Ricordate ciò che abbiamo detto nella parte finale della lezione introduttiva sulle disequazioni? Ogni disuguaglianza numerica può essere intesa come una disequazione; in particolare, le disuguaglianze non valide corrispondono a disequazioni impossibili.

 

 

Per concludere riassumiamo le soluzioni della disequazione letterale in uno specchietto:

 

(a-2)x>3\ \to\ \begin{cases}\mbox{se}\ a>2 \ \to \ x>\dfrac{3}{a-2} \\ \\ \mbox{se}\ a<2 \ \to \ x<\dfrac{3}{a-2} \\ \\ \mbox{se}\ a=2 \ \to \ \not\exists x \end{cases}

 

 

Tipo 3 - Disequazione letterale con coefficiente dell'incognita fratto e parametro solo a denominatore

 

La terza tipologia che analizziamo è una variazione del tipo 2, in cui il coefficiente dell'incognita è un rapporto e il parametro è presente solamente a denominatore (e non anche a numeratore).

 

Anche qui il parametro può comparire o non comparire nel termine noto, che può essere anche fratto. Come ormai avrete intuito la parte rilevante è data dal coefficiente dell'incognita, perché è il suo segno che ci impone di invertire o non invertire il simbolo di disequazione.

 

\frac{x}{a+1}<2

 

Potremmo cadere in tentazione e moltiplicare entrambi i membri per (a+1) in modo da isolare l'incognita a primo membro, commettendo così un grave errore. Ricordiamoci infatti che non possiamo moltiplicare senza conoscere il segno della quantità coinvolta.

 

Oltre a questo, dobbiamo ricordarci che non si può dividere per zero, quindi ancor prima di cominciare escludiamo tale eventualità:

 

a+1\neq 0\ \to\ a\neq -1

 

Riscriviamo la disequazione:

 

\frac{x}{a+1}<2

 

Studiamo il segno del coefficiente della x, o equivalentemente di a+1, che può essere positivo o negativo (ma non nullo).

 

 

\bullet \ \mbox{Caso }1) \ a+1>0\ \to\ a>-1

 

Possiamo moltiplicare entrambi i membri per (a+1) e lasciare inalterato il verso del simbolo di disequazione:

 

\frac{x}{a+1}<2\ \to\ x<2(a+1)

 

 

\bullet \ \mbox{Caso }2) \ a+1<0\ \to\ a<-1

 

Moltiplichiamo entrambi i membri per (a+1) e invertiamo il simbolo di disuguaglianza

 

\frac{x}{a+1}<2\ \to\ x>2(a+1)

 

 

Abbiamo finito. Elenchiamo le soluzioni per ciascuno dei casi analizzati:

 

\frac{x}{a+1}<2,\mbox{ con }a\neq -1\ \to\ \begin{cases}\mbox{se}\ a>-1 \ \to \ x<2(a+1) \\ \\ \mbox{se}\ a<-1 \ \to \ x>2(a+1)\end{cases}

 

Sottolineiamo che la differenza tra il tipo 3 e il tipo 2 riguarda l'esclusione del valore del parametro a che annulla il denominatore; per il resto, il metodo risolutivo è del tutto analogo.

 
 

 

Tipo 4 - Disequazione letterale con coefficiente dell'incognita fratto e parametro a numeratore e denominatore

 

Alziamo il tiro: il quarto tipo di disequazione letterale di primo grado estende a sua volta le tipologie 2 e 3. Il coefficiente dell'incognita è ancora un rapporto, come nel tipo 3, ma il parametro è presente sia a numeratore che a denominatore.

 

Nel contempo il parametro può essere presente anche nel termine noto, che può essere anche fratto, tanto non influirebbe nello studio del segno del coefficiente da moltiplicare.

 

\frac{a-1}{a+1}x \geq 1

 

Imponiamo che il denominatore non si annulli:

 

a+1 \neq 0 \ \to \ a \neq -1

 

A questo punto, attenzione! Per isolare l'incognita x a sinistra dovremmo dividere entrambi i membri per \frac{a-1}{a+1}, o equivalentemente moltiplicare per \frac{a+1}{a-1} così da semplificare a croce la frazione algebrica a sinistra.

 

Per evitare di cadere in errore, in presenza di coefficienti fratti della x con parametro sia a numeratore che a denominatore, vi consigliamo sempre di studiare il segno del coefficiente della x così come si presenta.

 

 

\bullet \ \mbox{Caso }1) \ \frac{a-1}{a+1}=0

 

Il denominatore non può annullarsi ma il numeratore sì, e in tal caso il coefficiente si annulla

 

\frac{a-1}{a+1}=0\ \to\ a-1=0\ \to\ a=1

 

Se il coefficiente dell'incognita è nullo, la disequazione si riduce a

 

\left(\frac{a+1}{a-1}\right)x \geq 1\ \to\ 0x\geq 1

 

ossia 0\geq 1, che è una disequazione impossibile.

 

 

\bullet \ \mbox{Caso }2) \ \frac{a-1}{a+1}>0

 

Consideriamo numeratore e denominatore a parte.

 

\mbox{N})\ a-1>0\ \to\ a>1\\ \\ \mbox{D})\ a+1>0\ \to\ a>-1

 

Dalla regola dei segni sappiamo che il rapporto tra due quantità concordi è positivo (+ per +, - per -), e che il rapporto tra due quantità discordi è negativo:

 

- se a<-1, sia il numeratore che il denominatore sono negativi, quindi il rapporto è positivo;

 

- se a>1, sia il numeratore che il denominatore sono positivi, dunque il rapporto è positivo.

 

Ne deduciamo che

 

\frac{a-1}{a+1}>0\ \to\ a<-1\ \vee\ a>1

 

dove il connettivo logico \vee ha il significato di disgiunzione inclusiva ("l'uno o anche l'altro"). Sotto questa condizione il coefficiente dell'incognita x è positivo, quindi possiamo moltiplicare entrambi i membri della disequazione senza invertire il simbolo di disuguaglianza

 

\frac{a+1}{a-1} \cdot \left(\frac{a-1}{a+1}\right)x \leq 1 \cdot \frac{a+1}{a-1}

 

Osserviamo che l'operazione è legittima perché, pur moltiplicando per \frac{a+1}{a-1}, siamo nel caso a<-1\ \vee\ a>1 e in particolare è a\neq 1.

 

x \leq \frac{a+1}{a-1}

 

 

\bullet \ \mbox{Caso }3) \ \frac{a-1}{a+1}<0

 

I valori del parametro che rendono il coefficiente negativo sono quelli che non lo annullano e che non lo rendono positivo, vale a dire

 

-1<a<1

 

Qui possiamo moltiplicare entrambi i membri per \frac{a+1}{a-1}, a patto di cambiare il verso della disequazione (in quanto stiamo moltiplicando per una quantità negativa):

 

\frac{a+1}{a-1} \cdot \left(\frac{a-1}{a+1}\right)x \leq 1 \cdot \frac{a+1}{a-1}\\ \\ \\ x \leq \frac{a+1}{a-1}

 

 

Ricapitolando:

 

\frac{a-1}{a+1}x \geq 1,\ \mbox{con }a\neq -1 \ \to\ \begin{cases}\mbox{se}\ a<-1\ \vee\ a>1 \ \to \ x\geq \dfrac{a+1}{a-1} \\ \\ \mbox{se}\ -1<a<1 \ \to \ x\leq \dfrac{a+1}{a-1}\\ \\ \mbox{se}\ a=1\ \to\ \not\exists x \end{cases}

 

Nota bene: per studiare il segno del coefficiente abbiamo di fatto risolto una disequazione fratta, un tipo di disequazioni che studieremo in una delle lezioni successive.

 

 

Tipo 5 - Disequazione letterale con due parametri

 

Come ultima tipologia di disequazioni letterali di primo grado trattiamo il caso in cui compaiono due parametri

 

\frac{ax}{b}< \frac{(b + 1)}{b}

 

Per prima cosa imponiamo che il denominatore sia diverso da zero:

 

b\neq 0

 

Per poter moltiplicare ambo i membri per b, e quindi eliminare i denominatori, dobbiamo distinguere due casi:

 

 

\bullet \ \mbox{Caso }1) \ b>0

 

Moltiplichiamo a sinistra e a destra per b, senza necessità di modificare il simbolo di disequazione:

 

b\cdot \frac{ax}{b}< \frac{(b + 1)}{b}\cdot b\\ \\ ax<(b+1)

 

Ora dobbiamo dividere per a, ma per procedere dobbiamo distinguere tre casi.

 

\bullet \ \mbox{Caso }1.1) \ b>0,\ a>0

 

Dividiamo ambo i membri per a lasciando inalterato il simbolo di disuguaglianza (visto che stiamo dividendo per una quantità positivo):

 

ax<(b+1)\ \to\ x<\frac{b+1}{a}

 

\bullet \ \mbox{Caso }1.2) \ b>0,\ a<0

 

Dividiamo per a cambiando il verso, dato che stiamo dividendo per un numero negativo:

 

ax<(b+1)\ \to\ x>\frac{b+1}{a}

 

\bullet \ \mbox{Caso }1.3) \ b>0,\ a=0

 

La disequazione diventa

 

ax<(b+1)\ \to\ 0x<b+1 \ \to \ 0<b+1

 

Essendo b>0 ne consegue che (b+1) è una quantità positiva, dunque la disuguaglianza è valida e ogni possibile valore di x è soluzione della disequazione

 

0<b+1\ \to\ \forall x

 

 

Ora passiamo ad analizzare l'eventualità b<0.

 

\bullet \ \mbox{Caso }2) \ b>0

 

Riprendiamo la disequazione nella sua forma iniziale e moltiplichiamo per b invertendo il simbolo di disequazione:

 

b\cdot \frac{ax}{b}< \frac{(b + 1)}{b}\cdot b\\ \\ ax>(b+1)

 

Ora dobbiamo dividere per a, e per farlo dobbiamo distinguere tre casi:

 

\bullet \ \mbox{Caso }2.1) \ b<0,\ a>0

 

Il verso rimane inalterato:

 

ax>(b+1)\ \to\ x>\frac{b+1}{a}

 

\bullet \ \mbox{Caso }2.2) \ b<0,\ a<0

 

Possiamo dividere per a a patto di cambiare il verso, visto che stiamo dividendo per un numero negativo:

 

ax>(b+1)\ \to\ x<\frac{b+1}{a}

 

\bullet \ \mbox{Caso }2.3) \ b<0,\ a=0

 

Ci riconduciamo alla forma

 

ax>(b+1)\ \to\ 0x>b+1 \ \to \ 0>b+1

 

Attenzione a non giungere a conclusioni affrettate! Siamo nel caso b<0, quindi:

 

b+1 \begin{cases}>0 & \mbox{se} \ -1<b<0 \\ =0 & \mbox{se} \ b=-1 \\ <0 & \mbox{se} \ b<-1 \end{cases}

 

Da qui possiamo concludere che la disuguaglianza 0>b+1:

 

- è impossibile se -1\leq b<0

 

- è sempre verificata se b<-1

 

 

Abbiamo finito, non ci resta che riassumere i vari casi in uno schema di riepilogo:

 

\frac{ax}{b}< \frac{(b + 1)}{b},\ \mbox{con}\ b\neq 0\ \to\ \begin{cases}\mbox{se}\ b>0 \ \wedge \ a>0\ \to \ x<\frac{b+1}{a} \\ \mbox{se}\ b>0 \ \wedge \ a = 0\ \to \ \forall x \\ \mbox{se}\ b>0 \ \wedge \ a<0\ \to \ x>\frac{b+1}{a} \\ \mbox{se}\ b<0 \ \wedge \ a>0\ \to \ x>\frac{b+1}{a} \\ \mbox{se}\ b<0 \ \wedge \ a<0\ \to \ x<\frac{b+1}{a} \\ \mbox{se}\ b<-1 \ \wedge \ a=0\ \to \ \forall x \\ \mbox{se}\ -1\leq b<0 \ \wedge \ a=0\ \to \ \not\exists x\end{cases}

 

Disequazione un po' tosta, ma molto utile per allenarsi con la discussione dei vari casi. ;)

 

 

Osservazione (Calcoli e semplificazioni prima di ricondursi a una tipologia)

 

Nell'analisi delle tipologie 1-5 abbiamo considerato disequazioni parametriche della forma

 

\mbox{coefficiente}\cdot x \gtreqless \mbox{altro coefficiente}

 

quindi con incognita presente solo al primo membro e parametri nei coefficienti a sinistra e/o a destra.

 

In generale, nella risoluzione degli esercizi avremo a che fare con disequazioni letterali di primo grado dalla forma più elaborata, che richiederanno del lavoro algebrico per ricondurle a una delle tipologie che abbiamo trattato.

 

Vediamo un esempio:

 

\frac{2x + a}{a}-1<\frac{x + 2a}{2a}+2

 

Poiché il parametro a è presente in due denominatori dobbiamo imporre che essi non si annullino, altrimenti la disequazione perderebbe di significato. Poniamo:

 

a\neq 0\\ \\ 2a \neq 0 \ \to \ a \neq 0

 

La condizione preliminare sul parametro è dunque a\neq 0.

 

Portiamo tutto a primo membro cambiando i segni:

 

\frac{2x + a}{a} - 1 - \frac{x + 2a}{2a} - 2 < 0\\ \\ \\ \frac{2x + a}{a} - \frac{x + 2a}{2a} - 3 < 0

 

Semplifichiamo il primo membro trattandolo come un'espressione tra frazioni algebriche

 

\frac{2(2x+a)-(x+2a)-3(2a)}{2a} < 0\\ \\ \\ \frac{4x+2a-x-2a-6a}{2a} < 0\\ \\ \\ \frac{3x-6a}{2a} < 0

 

e dividiamo termine a termine

 

\frac{3x}{2a}-\frac{6a}{2a}<0

 

da cui

 

\frac{3x}{2a}-3<0\ \to\ \frac{3x}{2a}<3

 

Ci siamo così ricondotti alla tipologia 3. Lasciamo a voi il compito di portare a termine l'esercizio. ;)

 

 


 

Abbiamo finito. Nella lezione successiva studieremo il metodo per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado. ;)

 

In caso di dubbi, problemi o perplessità, non esitate e cercate tutto quello che vi serve! Qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti, altrettante lezioni e tantissime risorse per supportarvi nello studio. Tra le altre cose c'è anche un tool per risolvere le disequazioni online. :)

 

 

안녕, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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