Disequazioni con la regola dei segni

Il metodo della regola dei segni per le disequazioni prevede di determinare le soluzioni, ove possibile, studiando i segni dei singoli fattori che compaiono nella disequazione, e individuando il segno complessivo mediante un'apposita rappresentazione tabellare.

 

Dopo aver passato in rassegna i metodi di risoluzione dei vari tipi di disequazioni, vogliamo occuparci della regola dei segni in generale. In realtà abbiamo già studiato il procedimento che presenteremo in questa lezione, quando ci siamo occupati delle disequazioni di grado superiore al secondo e delle disequazioni fratte. Se non l'avete già fatto vi raccomandiamo di leggere le omonime lezioni e di ripartire da qui.

 

Ora vedremo come applicare il metodo dei segni nel caso di disequazioni più avanzate, in cui compaiono termini di vario tipo ma pur sempre sotto forma di prodotti e di rapporti.

 

Quando applicare la regola dei segni per le disequazioni

 

Cominciamo con un breve ripasso. La regola dei segni è nota a tutti noi sin dai tempi delle Scuole Medie, e abbiamo visto come applicarla nella risoluzione:

 

1) delle disequazioni di grado superiore al secondo, che in forma normale si presentano come

 

(\mbox{fattore-1})\cdot (\mbox{fattore-2}) \cdot \cdots \cdot (\mbox{fattore-n}) \gtreqless 0

 

dove i vari fattori sono di tipo polinomiale;

 

2) delle disequazioni fratte, la cui forma normale è data da

 

\frac{N(x)}{D(x)} \gtreqless 0

 

in cui numeratore e denominatore sono altresì di tipo polinomiale.

 

In entrambi i casi abbiamo visto che le disequazioni non si presentano necessariamente in forma normale. Il primo passo è imporre le CE, dopodiché si possono applicare i due principi di equivalenza delle disequazioni per ricondursi alla forma normale.

 

A questo punto si studiano separatamente i segni dei vari fattori nel caso 1) o di numeratore e denominatore nel caso 2), si rappresentano gli intervalli di positività e di negatività in un grafico dei segni e si desume il segno complessivo del membro di sinistra per determinare le soluzioni.

 

Fin qui niente di nuovo, e la buona notizia è che concettualmente non abbiamo nulla da aggiungere. :)

 

Il metodo del grafico dei segni è infatti utilizzabile nelle disequazioni in cui compaiono termini di vario tipo (logaritmi, funzioni goniometriche, ...) sotto forma di prodotti o di rapporti. Ad esempio:

 

(x+1)\cdot \sqrt{x-1}>0\\ \\ \frac{e^x-1}{\log_{\frac{1}{2}}(x+2)}\leq 0\\ \\ \\ \frac{\sin(x)\cdot \log(x^2)}{(x^2-1)e^{\frac{1}{x}}}<0

 

In disequazioni del genere non dovremo fare altro che imporre le condizioni di esistenza e impostare il procedimento basato sulla regola dei segni, per poi dedurre il segno del membro di sinistra con il grafico dei segni.

 

L'unica differenza, rispetto alle lezioni sulle disequazioni di grado superiore al secondo e sulle disequazioni fratte, è che qui lo studio del segno dei vari fattori si traduce in una disequazione di altro tipo, che risolveremo con il metodo apposito.

 

La condizione essenziale per applicare il metodo dei segni riguarda la struttura della disequazione: a sinistra un prodotto e/o un rapporto tra vari termini; a destra niente più e niente meno che zero. Per intenderci, le seguenti disequazioni

 

(x^2-4)(x-3)<e^x\\ \\ x+2\ge \log(x)

 

non possono essere risolte con il metodo dei segni (vedremo come affrontarle in una delle lezioni successive).

 

Esempi sul metodo dei segni per le disequazioni

 

Proviamo a risolvere le tre disequazioni proposte a inizio lezione.

 

 

Esempio 1

 

(x+1)\cdot \sqrt{x-1}>0

 

Svolgimento: il membro di sinistra è il prodotto tra un polinomio di grado 1 e una radice ad indice pari, mentre il membro di destra è zero. Possiamo applicare il metodo dei segni.

 

Prima di fare qualsiasi cosa dobbiamo imporre le condizioni di esistenza. Il primo fattore è sempre definito; poiché la radice ha indice pari, dobbiamo richiedere che il radicando sia maggiore-uguale a zero

 

\mbox{CE}:\ x-1\geq 0\ \to\ x\geq 1

 

Studiamo il segno dei singoli fattori ponendoli separatamente maggiori di zero. Promemoria: quando si studia il segno dei singoli fattori di un prodotto, vanno posti:

 

- entrambi maggiori di zero, se il simbolo di disequazione è maggiore oppure minore;

 

- entrambi maggiori-uguali a zero, se il simbolo di disequazione è maggiore-uguale oppure minore-uguale;

 

\mbox{Primo fattore}:\ x+1>0

 

Questa semplice disequazione di primo grado ammette come soluzioni

 

x>-1\\ \\ \mbox{Secondo fattore}:\ \sqrt{x-1}>0

 

Qui abbiamo una disequazione irrazionale immediata. Una radice ad indice pari, ove definita, è infatti sempre maggiore-uguale a zero (e in particolare nulla per i valori dell'incognita che annullano il radicando). Essa equivale a richiedere che l'argomento sia positivo:

 

x-1>0\ \to\ x>1

 

Disegniamo il grafico dei segni. Si parte da una semiretta orientata che rappresenta l'insieme dei numeri reali, su cui segniamo gli estremi delle soluzioni per i due fattori. Al di sotto di essa rappresentiamo i segni dei singoli fattori, uno su ciascuna riga, indicando:

 

- gli intervalli di positività con una linea piena e gli intervalli di negatività con una linea tratteggiata;

 

- gli estremi in cui i fattori si annullano con un pallino pieno se il simbolo di disequazione include l'uguale; in caso contrario con un pallino vuoto.

 

Non dimentichiamoci poi delle CE: le useremo per cancellare le parti del grafico che non dobbiamo prendere in considerazione.

 

 

Disequazione con regola dei segni

Esempio 1 - Grafico dei segni.

 

 

Come indicato dalle CE dobbiamo limitarci a x\geq 1. Poiché non abbiamo effettuato alcuna modifica sulla disequazione iniziale, possiamo fare riferimento ad essa per capire qual è il segno di nostro interesse. Il simbolo di disequazione è >, quindi le soluzioni sono date da

 

\mbox{S}:\ x>1

 

 

Esempio 2

 

\frac{e^x-1}{\log_{\frac{1}{2}}(x+2)}\leq 0

 

Svolgimento: abbiamo un rapporto come membro di sinistra e zero come membro di destra, dunque possiamo affidarci al metodo dei segni.

 

Partiamo dalle condizioni di esistenza. A numeratore abbiamo una funzione esponenziale, quindi non ci sono problemi, mentre a denominatore abbiamo un logaritmo. Di conseguenza imporremo che il denominatore sia diverso da zero e che l'argomento del logaritmo sia maggiore di zero. Ciò si traduce in un sistema di disequazioni

 

\mbox{CE}:\ \begin{cases}\log_{\frac{1}{2}}(x+2)\neq 0\\ \\ x+2>0\end{cases}

 

Risolviamo le due condizioni. La prima equivale a un'equazione logaritmica 

 

\log_{\frac{1}{2}}(x+2)\neq 0\\ \\ \log_{\frac{1}{2}}(x+2)\neq \log_{\frac{1}{2}}(1)\\ \\ x+2\neq 1\\ \\ x\neq -1

 

La seconda è immediata

 

x+2>0\ \to\ x>-2

 

Possiamo riassumere il tutto in un'unica riga:

 

\mbox{CE}:\ x>-2\ \vee\ x\neq -1

 

Torniamo alla disequazione e rivediamo la regola per studiare i segni di numeratore e denominatore:

 

- se il simbolo di disequazione è maggiore oppure minore, numeratore e denominatore vanno posti maggiori di zero;

 

- se il simbolo di disequazione è maggiore-uguale oppure minore-uguale, poniamo il numeratore maggiore-uguale a zero e il denominatore maggiore di zero;

 

Poiché il simbolo include l'uguale, e poiché siamo in presenza di una disequazione fratta, dovremo porre il numeratore maggiore-uguale a zero e il denominatore maggiore di zero.

 

N>0)\ e^x-1\geq 0

 

Lo studio del segno del numeratore ci conduce a una disequazione esponenziale con base maggiore di 1

 

e^x\geq 1\\ \\ e^x\geq e^0\ \to\ x\geq 0

 

Riguardo al denominatore

 

D)\ \log_{\frac{1}{2}}(x+2)>0

 

abbiamo una disequazione logaritmica con base compresa tra 0 e 1

 

\log_{\frac{1}{2}}(x+2)>\log_{\frac{1}{2}}(1)

 

Poiché la base è compresa tra 0 e 1, quando eliminiamo i logaritmi dobbiamo invertire il simbolo di disequazione

 

x+2<1\ \to\ x<-1

 

Siamo pronti per tracciare il grafico dei segni, tenendo conto delle CE:

 

 

Disequazione con metodo dei segni

Esempio 2 - Grafico dei segni.

 

 

Prima di passare allo studio dei segni non abbiamo modificato in alcun modo la disequazione, quindi facciamo riferimento alla sua forma iniziale. Il simbolo è \leq, dunque dal grafico vediamo che le soluzioni sono

 

\mbox{S}:\ -2<x<-1\ \vee\ x\geq 0

 

 

Esempio 3

 

\frac{\sin(x)\cdot \log(x^2)}{(x^2-1)e^{\frac{1}{x}}}<0\ \ \ \mbox{con}\ 0\leq x<2\pi

 

Svolgimento: nel primo membro compaiono solamente un rapporto in cui numeratore e denominatore sono prodotti; il secondo membro è zero, per cui possiamo applicare il metodo dei segni.

 

Cominciamo con le CE:

 

- a numeratore il seno non genera alcun problema, mentre per il logaritmo dobbiamo richiedere che l'argomento sia positivo;

 

- il denominatore non deve annullarsi;

 

- il primo fattore del denominatore è un polinomio di grado 2 e non richiede alcuna condizione. Nemmeno l'esponenziale ne richiederebbe, non fosse che l'esponente è a sua volta un rapporto e dunque il suo denominatore non può essere nullo.

 

In un unico sistema:

 

\mbox{CE}:\ \begin{cases}x^2>0\\ (x^2-1)e^{\frac{1}{x}}\neq 0\\ x\neq 0\end{cases}

 

Analizziamo per un istante la seconda condizione: dalla legge di annullamento del prodotto sappiamo che un prodotto è nullo se almeno uno dei fattori è nullo, sicché possiamo sdoppiarla

 

\begin{cases}x^2>0\\ (x^2-1)\neq 0\\ e^{\frac{1}{x}}\neq 0\\ x\neq 0\end{cases}

 

Riguardo alla terza condizione sappiamo che un'esponenziale è sempre positiva, ove definita. Grazie alla quarta condizione possiamo allora omettere la terza

 

\begin{cases}x^2>0\\ (x^2-1)\neq 0\\ x\neq 0\end{cases}

 

Ora risolviamo il sistema. La prima condizione è banale, perché il quadrato di un'incognita può essere solo positivo o nullo, e in particolare nullo se la base della potenza è zero

 

x^2>0\ \to\ x\neq 0

 

La seconda condizione si traduce in un'equazione di secondo grado

 

(x^2-1)\neq 0\ \to\ x\neq \pm 1

 

La terza condizione è già inclusa nella prima, quindi riassumiamo il tutto con

 

x\neq -1\ \wedge\ x\neq 0\ \wedge\ x\neq 1

 

dove il connettivo logico \wedge ha il significato di "e" (l'una e l'altra condizione). Poiché dobbiamo risolvere l'esercizio nell'intervallo 0\leq x<2\pi possiamo limitarci a

 

\mbox{CE}:\ x\neq 0\ \wedge\ x\neq 1

 

Risolviamo la disequazione studiando il segno di ciascun fattore. Limitiamoci all'intervallo 0\leq x<2\pi come richiesto dalla traccia, e imponiamo che ciascun fattore sia maggiore di zero (non maggiore-uguale perché il simbolo di disequazione è < e non include l'uguale).

 

\mbox{N},\ \mbox{primo fattore}:\ \sin(x)>0

 

Tale disequazione goniometrica ammette come soluzioni

 

0<x<\pi

 

\mbox{N},\ \mbox{secondo fattore}:\ \log(x^2)>0

 

Risolviamo la disequazione logaritmica esprimendo il membro di destra come logaritmo

 

\log(x^2)>\log(1)\\ \\ x^2>1

 

da cui una disequazione di secondo grado immediata

 

x^2-1>0\ \to\ x<-1\ \vee\ x>1

 

Se ci limitiamo all'intervallo 0\leq x<2\pi, otteniamo

 

1<x<2\pi

 

\mbox{D},\ \mbox{primo fattore}:\ (x^2-1)>0

 

Tale disequazione è la stessa che abbiamo appena risolto

 

1<x<2\pi

 

\mbox{N},\ \mbox{secondo fattore}:\ e^{\frac{1}{x}}>0

 

Ove è definita l'esponenziale è sempre positiva, quindi

 

\forall x

 

Concludiamo con il grafico dei segni e non dimentichiamo di applicare le CE. Nel tracciare il grafico teniamo a mente che Pi Greco ha un valore approssimato di 3,14

 

 

Disequazione con confronto segni

Esempio 3 - Grafico dei segni.

 

 

Non abbiamo effettuato alcuna modifica sulla disequazione di partenza, per cui possiamo riferirci ad essa per la ricerca delle soluzioni. Dato che il simbolo di disequazione è <

 

\mbox{S}:\ \pi<x<2\pi

 

Osservazione (CE e segno dei fattori)

 

Quando abbiamo studiato i vari tipi di disequazioni abbiamo visto che le condizioni di esistenza vanno poste contestualmente alla risoluzione di ciascuna disequazione.

 

Nei precedenti esempi avremmo potuto procedere allo stesso modo, ma avremmo corso il rischio di perderci qualche condizione in corso d'opera. Nelle disequazioni con la regola dei segni che coinvolgono termini di diversa natura conviene sempre porre le CE con riferimento alla forma iniziale della disequazione, e riprenderle alla fine, quando si traccia il grafico dei segni.

 

In questo modo nella risoluzione delle singole disequazioni, relative ai segni dei fattori, possiamo evitare di imporre le singole CE (perché le abbiamo già poste) oppure imporle nuovamente. Nel secondo caso avremmo a che fare con condizioni ridondanti, ma non per questo sbagliate.

 

 


 

La prossima lezione riguarderà le disequazioni miste, vale a dire le disequazioni che coinvolgono termini di vario tipo e in cui i diversi metodi di risoluzione si intrecciano.

 

Se volete fare un po' di allenamento potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettante risorse utili, come ad esempio il tool per risolvere le disequazioni online. ;)

 

 

Tot weerziens, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente )

 

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