Disequazioni di grado superiore al secondo

Si dice disequazione di grado superiore al secondo una qualsiasi disequazione in cui l'incognita compare almeno una volta con esponente maggiore di 2. In modo equivalente, una qualsiasi disuguaglianza tra un polinomio di grado superiore a 2 e un polinomio di grado qualsiasi, eventualmente nullo.

Ampliamo lo studio delle disequazioni e passiamo a quelle di grado superiore al secondo. Più precisamente, in questa lezione descriviamo il metodo per risolvere le disequazioni polinomiali di grado qualsiasi e maggiore di 2. Il procedimento in realtà è applicabile anche per le disequazioni di secondo grado in cui l'equazione associata ammette soluzioni (distinte o coincidenti), e si basa sulla scomposizione e sul confronto dei segni dei fattori.

Prima di cominciare sappiate che è fondamentale conoscere la teoria dei polinomi e saper risolvere le equazioni di grado superiore al secondo, dal momento che il procedimento è in buona parte analogo.

Definizione e forma delle disequazioni di grado superiore al secondo

Per studiare le disequazioni di grado superiore al secondo facciamo riferimento alla loro forma normale

P(x) ⋛ 0 con deg(P) > 2

dove P(x) è un polinomio a coefficienti reali di grado n > 2. In forma esplicita:

a_nx^n+a_(n−1)x^(n−1)+...+a_2x^2+a_1x+a_0 ⋛ 0

con a_0,a_1,...,a_n∈R.

Anche in questo contesto vale la solita osservazione. Le disequazioni non si presenteranno necessariamente in forma normale, ad esempio potrebbero essere del tipo

R(x) ⋛ S(x) con deg(R) > 2, deg(S) mbox∈N

e potrebbe essere necessario del lavoro algebrico per semplificarne le espressioni e ridurle alla forma normale. Per farlo ci serviremo dei principi di equivalenza delle disequazioni, fino a isolare tutti i termini (con incognita e puramente numerici) a sinistra del simbolo di disuguaglianza.

Nella spiegazione supporremo di partire direttamente dalla forma normale, così da concentrarci sul metodo di risoluzione, e inoltre supporremo che il polinomio P(x) sia scomponibile.

Metodo per risolvere le disequazioni di grado superiore al secondo

Il metodo per le disequazioni di secondo grado si basa su alcuni passaggi semplici e meccanici. Non scoraggiatevi se a una prima lettura vi sembrerà difficile. La descrizione teorica di un metodo appare sempre più complicata di quel che è nella realtà, come potrete constatare nei successivi esempi. :)

P(x) ⋛ 0 con deg(P) > 2

1) Fattorizziamo il polinomio P(x) con un qualsiasi metodo di scomposizione. Supponiamo per semplicità che il polinomio P(x) si scomponga in k fattori P_1(x),...,P_k(x), e riscriviamo la disequazione come

P_1(x)·P_2(x)·...·P_k(x) ⋛ 0 (•)

L'idea è ottenere dei fattori P_1(x),...,P_k(x) che abbiano grado 1 oppure 2.

2) Studiamo separatamente il segno dei singoli fattori P_1(x),...,P_k(x).

- Se in (•) abbiamo come simbolo di disequazione maggiore-uguale oppure minore-uguale

P_1(x)·P_2(x)·...·P_k(x) ≥ 0 ; P_1(x)·P_2(x)·...·P_k(x) ≤ 0

allora studiamo il segno dei singoli fattori ponendoli sempre maggiori-uguali a zero:

P_1(x) ≥ 0 ; P_2(x) ≥ 0 ; ... ; P_k(x) ≥ 0

- Se in (•) abbiamo come simbolo di disequazione maggiore oppure minore

P_1(x)·P_2(x)·...·P_k(x) > 0 ; P_1(x)·P_2(x)·...·P_k(x) < 0

allora studiamo il segno dei singoli fattori ponendoli sempre maggiori di zero:

P_1(x) > 0 ; P_2(x) > 0 ; ... ; P_k(x) > 0

In entrambi i casi ci troveremo a risolvere disequazioni di primo o di secondo grado.

3) L'obiettivo a questo punto è applicare la regola dei segni e usare le informazioni sui segni dei singoli fattori per risalire al segno del loro prodotto, ossia al segno del polinomio P(x).

Ricorriamo al cosiddetto metodo grafico dei segni. Ricordate il metodo per rappresentare le soluzioni di una disequazione che abbiamo spiegato nella lezione introduttiva?

La logica è simile, c'è solo una piccola variazione. Disegniamo una semiretta orientata, su sui riportiamo gli estremi delle soluzioni di tutte le k disequazioni; al di sotto di essa rappresentiamo, su k righe diverse, le soluzioni di ciascuna delle k disequazioni:

- per come abbiamo impostato le singole disequazioni, su ogni riga le soluzioni corrispondono agli intervalli in cui il rispettivo fattore è positivo. Li rappresentiamo con una linea piena;

- su ogni riga gli intervalli al di fuori delle linee piene sono quelli in cui il rispettivo fattore è negativo. Li rappresentiamo con una linea tratteggiata;

- su ogni riga gli estremi corrispondono ai valori che annullano il rispettivo fattore. Se il simbolo di disequazione è maggiore-uguale indichiamo gli estremi con dei pallini pieni (incluso), se invece il simbolo è solamente maggiore indichiamo gli estremi con dei pallini vuoti (escluso).

4) Concludiamo applicando la regola dei segni. Analizziamo la rappresentazione tabellare guardando i vari intervalli in verticale, e contiamo il numero di righe tratteggiate sui ciascun intervallo:

- se c'è un numero di righe tratteggiate pari, o se non ce ne sono, abbiamo un numero dispari di fattori negativi su quell'intervallo. Le righe piene corrispondono ai fattori positivi, quindi il prodotto complessivo è positivo;

- se c'è un numero di righe tratteggiate dispari, abbiamo un numero pari di fattori negativi su quell'intervallo. Le righe piene corrispondono ai fattori positivi, quindi il prodotto complessivo è negativo.

5) Guardiamo il simbolo della disequazione (•) all'ultimo passaggio della scomposizione, perché effettuando la scomposizione potremmo aver raccolto e semplificato un termine negativo. Dobbiamo sempre fare riferimento al simbolo di disequazione al termine dei passaggi algebrici:

- se è maggiore-uguale, le soluzioni della disequazione sono gli intervalli che hanno segno complessivo + (con estremi inclusi);

- se è maggiore, le soluzioni della disequazione sono gli intervalli che hanno segno complessivo + (con estremi esclusi);

- se è minore-uguale, le soluzioni della disequazione sono gli intervalli che hanno segno complessivo - (con estremi inclusi)

- se è minore, le soluzioni della disequazione sono gli intervalli che hanno segno complessivo - (con estremi esclusi)

Esempi sulle disequazioni di grado superiore al secondo

Vediamo alcuni esempi di disequazioni di grado rispettivamente 3 e 4. Come vedrete il metodo del confronto dei segni è comodo e intuitivo, e vi raccomandiamo di non sottovalutarlo perché sarà fondamentale anche nella risoluzione di alcuni dei tipi di disequazioni che studieremo in seguito.

Esempio 1 - Disequazione di terzo grado

Risolviamo la seguente disequazione, già espressa in forma normale

x^3+x^2−4x−4 ≥ 0

Svolgimento: poiché il polinomio a sinistra è di grado 3, siamo in presenza di una disequazione di grado superiore al secondo. Consideriamo il polinomio del membro di sinistra:

P(x) = x^3+x^2−4x−4

Tale polinomio è scomponibile con Ruffini, oppure con un opportuno raccoglimento. Siccome i matematici farebbero carte false per riuscire ad evitare i conti, :D effettuiamo un raccoglimento parziale.

Raccogliamo x^2 tra i primi due addendi e -4 tra gli ultimi due

P(x) = x^2(x+1)−4(x+1)

e infine raccogliamo a fattor comune (x+1), ottenendo

P(x) = (x+1)(x^2−4)

Riscriviamo la disequazione esprimendo il membro di sinistra come prodotto di due fattori, rispettivamente di primo e secondo grado:

(x+1)(x^2−4) ≥ 0 (•)

Il secondo fattore è ulteriormente scomponibile con la regola del prodotto tra somma e differenza, ma essendo di grado 2 possiamo anche lasciarlo così com'è.

Studiamo separatamente il segno dei due fattori. Dato che il simbolo di disequazione all'ultimo passaggio è maggiore-uguale, dobbiamo risolvere le singole disequazioni (sempre con) simbolo maggiore e includendo anche l'uguale:

Primo fattore: x+1 ≥ 0 ; Secondo fattore: x^2−4 ≥ 0

La prima è una disequazione di primo grado che ha come soluzioni

x ≥ −1

La seconda è una disequazione di secondo grado che ammette come soluzioni

x ≤ −2 ∨ x ≥ 2

Concludiamo l'esercizio. Riportiamo i risultati in un grafico tabellare:

Disequazione di grado superiore al secondo - Esempio 1

Esempio 1 - Grafico dei segni.

Leggendo verticalmente il grafico sui vari intervalli vediamo che:

- per x < −2 il primo fattore è negativo e il secondo è positivo, dunque il loro prodotto è negativo;

- per −2 < x < −1 entrambi i fattori sono negativi, dunque il loro prodotto è positivo;

- per −1 < x < 2 il primo fattore è positivo e il secondo è negativo, quindi il loro prodotto è negativo;

- per x > 2 entrambi i fattori sono positivi, dunque il loro prodotto è positivo;

A noi interessano i valori dell'incognita che rendono il prodotto maggiore-uguale a zero, infatti all'ultimo passaggio algebrico (•) avevamo

(x+1)(x^2−4) ≥ 0

per cui le soluzioni della disequazione sono date da

−2 ≤ x ≤ −1 ∨ x ≥ 2

dove includiamo gli estremi perché il simbolo di disequazione include anche l'uguale. Con le notazioni degli intervalli:

S = [−2,−1] U [2,+∞)

Esempio 2 - Altra disequazione di terzo grado

Proviamo a risolvere

−2x^3−2x^2−2x−2 > 0

Svolgimento: partiamo dalla scomposizione del polinomio

P(x) = −2x^3−2x^2−2x−2

Il primo passaggio è raccogliere a fattore comune un coefficiente -2

P(x) = −2(x^3+x^2+x+1)

dopodiché procediamo con una scomposizione secondo Ruffini. Chiamiamo

Q(x) = x^3+x^2+x+1

Una radice del polinomio Q(x) è x = −1:

Q(−1) = (−1)^3+(−1)^2+(−1)+1 = −1+1−1+1 = 0

Lasciamo a voi il compito di impostare la tabella di Ruffini e di scoprire che la scomposizione è data da

Q(x) = (x+1)(x^2+1)

Il secondo fattore è di grado 2 ed è una somma tra due quadrati, dunque non è ulteriormente scomponibile

P(x) = −2(x+1)(x^2+1)

Riscriviamo la disequazione:

−2(x+1)(x^2+1) > 0

Sbarazziamoci del coefficiente negativo dividendo entrambi i membri per -2, e non dimentichiamo di invertire il simbolo di disequazione

(x+1)(x^2+1) < 0 (• •)

Ora studiamo separatamente il segno dei due fattori ponendoli maggiori di zero (il simbolo di disequazione non include l'uguale):

Primo fattore: x+1 > 0 ; Secondo fattore: x^2+1 > 0

Le rispettive soluzioni sono

Primo fattore: x > −1 ; Secondo fattore: ∀ x

Tracciamo il grafico tabellare dei segni e traiamone le dovute conclusioni. Attenzione!

- Il simbolo di disuguaglianza non include l'uguale, quindi indicheremo l'estremo del primo fattore con un pallino vuoto.

- Dato che il secondo fattore è positivo per ogni x, sulla rispettiva riga indicheremo semplicemente una linea piena.

Disequazione di grado superiore al secondo - Esempio 2

Esempio 2 - Grafico dei segni.

Il prodotto è negativo per x < −1 e positivo per x > −1. Nell'ultimo passaggio algebrico (• •) avevamo

(x+1)(x^2+1) < 0

per cui ci interessano i valori di x che rendono il prodotto negativo. Soluzioni:

x < −1

Esempio 3 - Disequazione di quarto grado

Come ultimo esempio, determiniamo le soluzioni della disequazione di grado 4

x^4−2x^2+1 ≤ 0

Svolgimento: il trinomio di quarto grado

P(x) = x^4−2x^2+1

può essere visto come un trinomio notevole con somma e prodotto o, per chi ha un occhio allenato, come un quadrato di binomio:

P(x) = (x^2−1)^2

In questo caso l'esercizio potrebbe dirsi concluso. Basta infatti osservare che il quadrato di una quantità incognita può essere solamente positivo o nullo, e in particolare nullo quando la base della potenza è nulla, dunque l'unica soluzione di

(x^2−1)^2 ≤ 0

è quella che rende la base nulla: x = 1.

Ad ogni modo fingiamo di non essercene accorti e proseguiamo con il procedimento. ;)

La base è una differenza di quadrati

P(x) = (x^2−1)^2 = [(x+1)(x−1)]^2

e possiamo esprimere la scomposizione in forma estesa come

P(x) = (x+1)(x+1)(x−1)(x−1)

Riscriviamo la disequazione

(x+1)(x+1)(x−1)(x−1) ≤ 0 (• • •)

e studiamo il segno dei singoli fattori ponendoli maggiori-uguali a zero. Attenzione: anche se i fattori sono ripetuti, ripetiamone lo studio del segno tante volte quante compaiono nella scomposizione.

Primo fattore: (x+1) ≥ 0 → x ≥ −1 ; Secondo fattore: (x+1) ≥ 0 → x ≥ −1 ; Terzo fattore: (x−1) ≥ 0 → x ≥ 1 ; Quarto fattore: (x−1) ≥ 0 → x ≥ 1

Disegniamo il grafico dei segni

esempio-3-disequazione-grado-superiore-secondo

Esempio 3 - Grafico dei segni.

Poiché il prodotto dei fattori è positivo per ogni x ≠±1 e nullo per x = ±1, e poiché ci interessano i valori di x che rendono il polinomio minore-uguale di zero (• • •), le uniche soluzioni sono

x = ±1

Osservazioni finali

- Il metodo del confronto dei segni è applicabile anche nelle disequazioni di secondo grado in cui l'equazione associata ammette due soluzioni distinte o coincidenti, ma solitamente è più comodo applicare il metodo che abbiamo visto nella lezione dedicata.

- Nella spiegazione abbiamo supposto che i polinomi di grado superiore al secondo siano scomponibili, e in effetti questo è l'unico caso che si manifesta negli esercizi proposti a chi studia per la prima volta l'argomento. Naturalmente è possibile risolvere anche le disequazioni di grado superiore al secondo con polinomi non scomponibili, ma per farlo sono necessari strumenti più avanzati, che tipicamente si studiano all'ultimo anno delle scuole superiori.

Se doveste avere dubbi o problemi, sappiate che su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettante risorse utili, a partire dai tool per risolvere le disequazioni online e per scomporre i polinomi online. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Kwa heri, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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