Disequazioni logaritmiche

Le disequazioni logaritmiche sono disequazioni in cui l'incognita si presenta nell'argomento o nella base di almeno un logaritmo. Il metodo di risoluzione delle disequazioni logaritmiche dipende dalla forma normale a cui sono riconducibili.

Nella precedente lezione abbiamo studiato il procedimento relativo alle disequazioni irrazionali. Passiamo alle disequazioni con logaritmi: in questo caso non esiste un unico metodo risolutivo, infatti tutto dipende dalla forma normale a cui si arriva dopo aver effettuato opportuni calcoli e semplificazioni.

Prima di cominciare può essere utile un ripasso delle equazioni logaritmiche, in quanto le corrispondenti disequazioni si classificano (e si risolvono) in modo analogo. ;)

Definizione e metodo generale per le disequazioni logaritmiche

Una disequazione logaritmica è tale se l'incognita compare come argomento o base di almeno un logaritmo.

La definizione è semplice, ma non va sottovalutata. Affinché una disequazione sia logaritmica non è sufficiente che siano presenti espressioni logaritmiche, intese come termini numerici. Ad esempio

log(3)−x^2 ≥ 2

non è una disequazione logaritmica. Al contrario

log_3(x) < log_2(x+1) ; log_((1)/(2))(x^2−1) ≥ 0 ; log_2^2(x)−log(x)+1 > 0 ; log_x(2) > 1

sono esempi di disequazioni logaritmiche, perché l'incognita è presente nell'argomento o nella base di almeno un logaritmo.

Come abbiamo anticipato non esiste un metodo di risoluzione universale. Piuttosto si può parlare di un procedimento generale, valido per qualsiasi tipo di disequazione logaritmica, che permette di ricondurre la disequazione a una specifica forma normale; ogni forma normale prevede quindi di applicare un metodo specifico.

Vediamo i passaggi del procedimento generale, dopodiché analizziamo separatamente ciascuna delle forme normali e i relativi metodi:

1) Prima di effettuare qualsiasi calcolo, imponiamo le condizioni di esistenza.

Ricordiamo che per definizione un logaritmo richiede che l'argomento sia positivo, e che la base sia positiva e diversa da 1. Guarderemo quindi i membri sinistro e destro della disequazione e, per ogni logaritmo contenente l'incognita nell'argomento o nella base, imporremo la relativa condizione. Per rendere l'idea:

log_(base(x))(argomento(x)) → base(x) > 0 ; base(x) ≠ 1 ; argomento(x) > 0

Oltre alle condizioni di esistenza relative ai logaritmi dovremo imporre anche quelle relative ad altri aspetti rilevanti della disequazione. Ad esempio, in presenza di denominatori contenenti l'incognita, dovremo richiedere che ciascuno di essi sia diverso da zero; in presenza di radici con indice pari, dovremo imporre che il radicando sia maggiore-uguale a zero... E così via.

Tutte le condizioni di esistenza vanno racchiuse in un unico sistema di disequazioni.

2) Calcoli e semplificazioni, in modo da ricondurci a una delle seguenti forme normali (indichiamo con a,b,c termini numerici e con f(x),g(x) generiche espressioni contenenti l'incognita x):

- disequazioni logaritmiche elementari, del tipo

log_a[f(x)] ⋛ log_b[g(x)] con a,b > 0, a,b ≠ 1

- disequazioni logaritmiche con passaggio all'esponenziale, del tipo

log_a[f(x)] ⋛ c con c∈R, a > 0, a ≠ 1

- disequazioni logaritmiche riconducibili a disequazioni polinomiali per sostituzione, del tipo

C_nlog_a^n[f(x)]+...+C_2log_a^2[f(x)]+C_1log_a[f(x)]+C_0 ⋛ 0 ; con C_0,C_1,...,C_n∈R, a > 0, a ≠ 1

- disequazioni logaritmiche con incognita nella base, ossia contenenti almeno un termine della forma

log_(f(x))(a) oppure log_(f(x))(g(x))

- disequazioni logaritmiche non risolvibili algebricamente.

Per semplificare le espressioni di partenza ci serviremo dei principi di equivalenza delle disequazioni, e non solo. All'occorrenza dovremo applicare le proprietà dei logaritmi ed eventualmente usare la formula del cambiamento di base.

3) Applicare il metodo specifico per la forma normale che abbiamo individuato, ricavare le soluzioni e stabilire se sono accettabili confrontandole con le condizioni di esistenza.

Nota bene: nel precedente schema abbiamo preso in considerazione le tipologie di disequazioni logaritmiche più ricorrenti negli esercizi. Per ovvi motivi è impossibile redigere un elenco che includa tutti i possibili tipi.

Ad esempio, alcune disequazioni logaritmiche potrebbero richiedere un approccio particolare e non classificabile a priori. Di norma gli studenti incappano in esercizi "avanzati" solo quando si presuppone che il loro livello di esperienza e il loro bagaglio matematico siano tali da permetter loro di risolverli con il ragionamento e con opportuni metodi algebrici e analitici. Un passo alla volta. ;)

Disequazioni logaritmiche elementari

Vediamo come affrontare le disequazioni logaritmiche elementari, vale a dire quelle risolvibili mediante eliminazione dei logaritmi:

log_a[f(x)] ⋛ log_b[g(x)] con a,b > 0, a,b ≠ 1

Vi ricordiamo che per giungere a questa forma potrebbero essere necessari dei passaggi algebrici, e che ancor prima di effettuarli dovremmo porre le eventuali CE sulla disequazione di partenza.

Con riferimento alla forma normale dobbiamo porre le condizioni di esistenza relative agli argomenti dei logaritmi, che devono essere positivi, e scriviamo il sistema di disequazioni:

f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; log_a[f(x)] ⋛ log_b[g(x)]

Per fissare le idee supponiamo che il simbolo di disequazione sia ≥. Con gli altri simboli valgono considerazioni del tutto analoghe: 

log_a[f(x)] ≥ log_b[g(x)]

Se le basi dei due logaritmi sono uguali, ossia a = b, abbiamo la strada spianata. Per le prime due disequazioni del sistema non ci sono problemi; per quanto riguarda l'ultima, possiamo eliminare direttamente i logaritmi passando al confronto tra gli argomenti. L'aspetto delicato riguarda il valore della base.

(a > 1) Se la base è maggiore di 1, eliminiamo i logaritmi preservando il simbolo di disequazione.

(0 < a < 1) Se la base è compresa tra 0 e 1, eliminiamo i logaritmi invertendo il simbolo di disequazione.

log_a[f(x)] ≥ log_a[g(x)] (a = b) ; (a > 1) → f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; f(x) ≥ g(x) (stesso simbolo) ; (0 < a < 1) → f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; f(x) ≤ g(x) (inversione)

Se le basi dei due logaritmi sono diverse dobbiamo cambiare opportunamente la base di uno dei due logaritmi, in modo da ricondurci al caso di basi uguali. Riprendiamo la forma normale con simbolo ≥

log_a[f(x)] ≥ log_b[g(x)]

Utilizziamo la formula del cambiamento di base per i logaritmi e facciamo in modo che il logaritmo di destra abbia la stessa base di quello di sinistra

log_(b)[g(x)] = (log_a[g(x)])/(log_a(b))

Sostituiamo:

log_a[f(x)] ≥ (log_a[g(x)])/(log_a(b)) endcases

Il termine log_a(b) è solamente numerico, quindi possiamo portarlo a primo membro. Prima però stabiliamo se è positivo o negativo, perché nel secondo caso dobbiamo invertire il simbolo di disequazione (in accordo col secondo principio di equivalenza):

log_a(b) > 0 → log_a(b)·log_a[f(x)] ≥ log_a[[g(x)]] ; log_a(b) < 0 → log_a(b)·log_a[f(x)] ≤ log_a[[g(x)]]

A questo punto usiamo la proprietà dei logaritmi relativa alla regola dell'esponente

log_a(b) > 0 → log_a[[f(x)]^(log_a(b))] ≥ log_a[[g(x)]] ; log_a(b) < 0 → log_a[[f(x)]^(log_a(b))] ≤ log_a[[g(x)]]

e ci siamo ricondotto al caso delle basi uguali, che sappiamo già come trattare.

Esempio di disequazione logaritmica elementare

Come primo esempio consideriamo

log_2(x−3) > log_4(5x−1)

Svolgimento: abbiamo una disequazione logaritmica elementare con basi diverse. Mettiamola a sistema con le condizioni di esistenza dei due logaritmi:

x−3 > 0 ; 5x−1 > 0 ; log_2(x−3) > log_4(5x−1)

Cambiamo la base del secondo logaritmo portandola da 4 a 2:

log_4(5x−1) = (log_2(5x−1))/(log_2(4)) =

Riscriviamo 4 come potenza e applichiamo la definizione di logaritmo

= (log_(2)(5x−1))/(log_(2)(2^2)) = (log_2(5x−1))/(2)

Sostituiamo il tutto nella disequazione

log_2(x−3) > (log_2(5x−1))/(2)

Moltiplichiamo entrambi i membri per 2, che è un numero positivo, di conseguenza la disequazione conserva il proprio verso:

2log_2(x−3) > log_2(5x−1)

Grazie alle proprietà dei logaritmi scarichiamo il coefficiente del logaritmo all'esponente dell'argomento:

log_2[(x−3)^2] > log_2(5x−1)

Passiamo al confronto tra gli argomenti. Poiché la base è maggiore di 1, eliminiamo i logaritmi mantenendo il simbolo di disequazione

(x−3)^2 > 5x−1

Sviluppiamo il quadrato del binomio e portiamo tutto al primo membro

x^2−6x+9 > 5x−1 ; x^2−11x+10 > 0

Ricomponiamo il sistema riprendendo le condizioni di esistenza

x−3 > 0 ; 5x−1 > 0 ; x^2−11x+10 > 0

Le prime due sono disequazioni di primo grado; la terza è una disequazione di secondo grado. Risolvendole otteniamo

x > 3 ; x > (1)/(5) ; x < 1 ∨ x > 10 

Rappresentiamo il tutto in un apposito grafico di sistema

Soluzioni della disequazione logaritmica - 5

Esempio 1 - Grafico di sistema.

Le soluzioni del sistema sono quindi date da

x > 10

o, con la notazione degli intervalli:

S = (10,+∞)

In caso di dubbi date un'occhiata alla lezione introduttiva sulle disequazioni, in cui abbiamo spiegato come rappresentare le soluzioni di una disequazione mediante intervalli.

Disequazioni logaritmiche con passaggio all'esponenziale

Le disequazioni logaritmiche con passaggio all'esponenziale sono quelle che si presentano nella forma

log_a[f(x)] ⋛ c con c∈R, a > 0, a ≠ 1

Come di consueto, prima di giungere a tale forma potremmo dover svolgere dei passaggi algebrici. In tal caso dovremmo imporre le eventuali condizioni di esistenza relative all'espressione iniziale della disequazione.

Il sistema risolutivo per questa forma normale consiste della condizione di esistenza e della disequazione stessa

f(x) > 0 ; log_a[f(x)] ⋛ c

Per rendere l'idea consideriamo la disequazione con il simbolo ≥; con gli altri simboli di disequazione il procedimento è sempre lo stesso.

log_a[f(x)] ≥ c

Notiamo che è possibile riscrivere la seconda disequazione applicando la definizione di logaritmo

c = log_a(a^c)

per cui la disequazione diventa

log_a[f(x)] ≥ log_a(a^c)

e possiamo già fermarci qui, perché ci siamo ricondotti a una disequazione logaritmica elementare che sappiamo già risolvere :)

f(x) > 0 ; log_a[f(x)] ≥ log_a(a^c)

Esempi di disequazioni logaritmiche con passaggio all'esponenziale

Esempio A) Come primo esercizio, determiniamo le soluzioni di

log_2(3x−5) > 0

Svolgimento: scriviamo la disequazione a sistema con le relative condizioni di esistenza

3x−5 > 0 ; log_2(3x−5) > 0

Concentriamoci sulla disequazione logaritmica

log_2(3x−5) > 0

Poiché a primo membro abbiamo un logaritmo in base 2, esprimiamo 0 come logaritmo in base 2

log_2(3x−5) > log_2(1) endcases

La base del logaritmo è maggiore di 1, quindi confrontiamo gli argomenti dei logaritmi in una disequazione con lo stesso simbolo di quella logaritmica (non dobbiamo invertirlo)

3x−5 > 1

Ricomponiamo il sistema

3x−5 > 0 ; 3x−5 > 1

Ci troviamo di fronte a due disequazioni di primo grado che possiamo sostituire immediatamente con le rispettive soluzioni

x > (5)/(3) ; x > 2

Per la risoluzione del sistema usiamo il solito grafico:

Soluzioni della disequazione logaritmica - 1

Esempio A - Grafico di sistema.

Le soluzioni del sistema, e dunque della disequazione logaritmica, sono allora:

x > 2 → S = (2,+∞)

Esempio B) 

 

log_((1)/(3))(10x−1) < 2

Svolgimento: procediamo come prima e partiamo dal sistema con condizioni di esistenza e disequazione

10x−1 > 0 ; log_((1)/(3))(10x−1) < 2

Esprimiamo il secondo membro della disequazione logaritmica come un logaritmo in base 1/3

log_((1)/(3))(10x−1) < log_((1)/(3))[((1)/(3))^2] endcases ; log_((1)/(3))(10x−1) < log_((1)/(3))((1)/(9)) endcases

A questo punto possiamo passare al confronto tra gli argomenti ed eliminare i logaritmi, ma nel farlo dobbiamo invertire il simbolo di disequazione perché la base è compresa tra 0 e 1

10x−1 > (1)/(9) → x > (1)/(9)

Ricomponiamo il sistema

x > (1)/(10) ; x > (1)/(9)

e rappresentiamo le soluzioni nella ormai nota tabella risolutiva:

Soluzioni della disequazione logaritmica - 4

Esempio B - Grafico di sistema.

Le soluzioni del sistema, e dunque della disequazione logaritmica, sono date da

x > (1)/(9) → S = ((1)/(9),+∞)

Disequazioni logaritmiche riconducibili a polinomiali (per sostituzione)

Il terzo tipo di disequazioni logaritmiche che analizziamo è quello che si risolve per sostituzione, riconducendo l'espressione contenente i logaritmi a un polinomio:

C_nlog_a^n[f(x)]+...+C_2log_a^2[f(x)]+C_1log_a[f(x)]+C_0 ⋛ 0 ; con C_0,C_1,...,C_n∈R, a > 0, a ≠ 1

La forma normale in questo caso sembra complicatissima, ma in realtà non lo è. La precedente scrittura serve solo a individuare le disequazioni in cui un medesimo logaritmo (stessa base e stesso argomento) compare sotto forma di varie potenze.

Vale la solita osservazione: negli esercizi non avremo sempre la forma normale in partenza, ed eventualmente dovremo ricavarla mediante calcoli e manipolazioni algebriche. Il primissimo passaggio, però, prevede di imporre le condizioni di esistenza per la disequazione nella sua forma iniziale.

Riguardo al metodo risolutivo, la forma normale richiede le condizioni di esistenza del logaritmo, da cui il sistema

f(x) > 0 ; C_nlog_a^n[f(x)]+...+C_2log_a^2[f(x)]+C_1log_a[f(x)]+C_0 ⋛ 0

Procediamo per sostituzione in modo da passare a una disequazione più familiare. Poniamo

y = log_a[f(x)]

e ricaviamo

f(x) > 0 ; C_ny^n+...+C_2y^2+C_1y+C_0 ⋛ 0

Siamo a cavallo: abbiamo tradotto la disequazione logaritmica in una disequazione polinomiale, che sarà di primo o secondo grado, o eventualmente una disequazione di grado superiore al secondo.

Dopo averne individuato le soluzioni, dovremo riportarle all'incognita x. Per fissare le idee, immaginiamo che le soluzioni siano

y < y_1 ∨ y_2 < y < y_3 ∨ y > y_4

Per passare all'incognita x dovremo risostituire y = log_a[f(x)]

log_a[f(x)] < y_1 ∨ y_2 < log_a[f(x)] < y_3 ∨ log_a[f(x)] > y_4

Ognuna delle disequazioni che esprime le soluzioni si tradurrà in una disequazione logaritmica con passaggio all'esponenziale, che potremo risolvere separatamente. Ci sono alcuni aspetti a cui prestare particolare attenzione:

- il connettivo logico ∨ (l'uno o anche l'altro) ha il significato di unione, quindi possiamo risolvere separatamente le disequazioni logaritmiche e considerare l'unione delle soluzioni;

- le doppie disequazioni sono da intendersi come sistemi

y_2 < log_a[f(x)] < y_3 → log_a[f(x)] > y_2 ; log_a[f(x)] < y_3

- dopo aver tradotto tutte le soluzioni dall'incognita y all'incognita x non dimentichiamoci delle condizioni di esistenza poste all'inizio!

Esempio di disequazione logaritmica per sostituzione

Un esempio renderà tutto più chiaro ;)

log_((1)/(2))^3(x)−3log_((1)/(2))^2(x)+2log_((1)/(2))(x) ≤ 0 

Svolgimento: la struttura polinomiale è inconfondibile, quindi risolveremo la disequazione per sostituzione... Non prima di aver imposto le condizioni di esistenza:

x > 0 ; log_((1)/(2))^3(x)−3log_((1)/(2))^2(x)+2log_((1)/(2))(x) ≤ 0

Effettuiamo la sostituzione

y = log_((1)/(2))(x)

e riscriviamo la disequazione

y^3−3y^2+2y ≤ 0

Ci siamo ridotti a una banalissima disequazione di grado superiore al secondo. Lasciamo a voi il compito di verificare che le sue soluzioni sono date da

y ≤ 0 ∨ 1 ≤ y ≤ 2

(Suggerimento: raccoglimento totale, scomposizione con regola del trinomio notevole e grafico dei segni). Effettuiamo la sostituzione inversa

log_((1)/(2))(x) ≤ 0 ∨ 1 ≤ log_((1)/(2))(x) ≤ 2

il che ci porta a tre disequazioni logaritmiche, che risolviamo separatamente:

- la prima è immediata

log_((1)/(2))(x) ≤ 0 ; log_((1)/(2))(x) ≤ log_((1)/(2))(1) ; x ≥ 1

- le altre due formano una doppia disequazione

1 ≤ log_((1)/(2))(x) ≤ 2

vale a dire un sistemino

log_((1)/(2))(x) ≥ 1 ; log_((1)/(2))(x) ≤ 2

che si traduce in

log_((1)/(2))(x) ≥ log_((1)/(2))((1)/(2)) ; log_((1)/(2))(x) ≤ log_((1)/(2))((1)/(4))

ossia

x ≤ (1)/(2) ; x ≥ (1)/(4)

Riscriviamolo sotto forma di doppia disequazione

(1)/(4) ≤ x ≤ (1)/(2)

e infine riassembliamo le soluzioni:

(1)/(4) ≤ x ≤ (1)/(2) ∨ x ≥ 1

Attenzione! Non dobbiamo dimenticarci delle condizioni di esistenza che abbiamo imposto inizialmente:

x > 0 ; (1)/(4) ≤ x ≤ (1)/(2) ∨ x ≥ 1

Ormai siamo abituati a risolvere sistemi e possiamo fare a meno del grafico, infatti già a occhio si vede che le soluzioni della disequazione logaritmica sono

(1)/(4) ≤ x ≤ (1)/(2) ∨ x ≥ 1 endcases

o, sotto forma di intervalli:

S = [(1)/(4),(1)/(2)] U [1,+∞)

Disequazioni logaritmiche con incognita nella base

Siamo giunti al quarto tipo di disequazioni logaritmiche, quelle in cui l'incognita è presente (solamente o anche) nella base di almeno uno dei logaritmi. Qui non ci dilungheremo con un metodo risolutivo né con esempi, perché in questa circostanza può succedere di tutto. ;) 

Ci limitiamo a osservare che la presenza dell'incognita in una base, diciamo

log_(f(x))(a)

presuppone di imporre le condizioni di esistenza che discendono dalla definizione di logaritmo

f(x) > 0 ; f(x) ≠ 1

Per il resto la tecnica risolutiva prevede di usare la formula del cambiamento di base per logaritmi

log_(f(x))(a) = (log_(b)(a))/(log_b(f(x)))

e di incrociare le dita, con la speranza che chi ha redatto l'esercizio non sia stato troppo sadico e che il cambio di base ci conduca a una delle altre forme normali. ;)

Disequazioni logaritmiche non risolvibili algebricamente

Che dire delle disequazioni logaritmiche che non possono essere risolte con calcoli algebrici? Questa caratteristica è tipica delle disequazioni con termini di varia natura, ad esempio

log(x) > x

Non ce ne occupiamo in questa sede. Riprenderemo il discorso in una delle successive lezioni, dedicata alle disequazioni trascendenti. ;)

Per qualsiasi dubbio o approfondimento, vi raccomandiamo di effettuare una ricerca qui su YM: ci sono tantissime lezioni ed esercizi risolti nel dettaglio. Nel mentre vi aspettiamo nella lezione successiva, dedicata alle disequazioni esponenziali, e vi ricordiamo che per ogni evenienza c'è un comodo tool per risolvere le disequazioni online. ;)

وداع, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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