Disequazioni fratte

Le disequazioni fratte sono disequazioni in cui l'incognita compare almeno una volta in un denominatore; per risolverle si escludono dall'insieme di esistenza delle soluzioni i valori dell'incognita che annullano i denominatori, si riducono le espressioni algebriche a un unico rapporto e si studiano separatamente i segni di numeratore e denominatore.

In questa lezione ci occupiamo delle disequazioni fratte e del relativo metodo di risoluzione. Come vedremo il procedimento è analogo a quello per le disequazioni di grado superiore al secondo, e anche in questo caso si basa sul confronto dei segni mediante rappresentazione tabellare.

Prima di tutto spieghiamo i vari passaggi risolutivi in termini generali, dopodiché li applichiamo in un paio di esempi svolti. Cominciamo! ;)

Definizione e forma delle disequazioni fratte

Una disequazione fratta per definizione è tale se in almeno uno dei due membri compare un rapporto avente l'incognita a denominatore.

Indipendentemente dalla forma iniziale con cui si presenta una disequazione fratta, in generale potremo sempre applicare i due principi di equivalenza delle disequazioni e ricondurci a uno dei seguenti casi:

(N(x))/(D(x)) > 0 ; (N(x))/(D(x)) ≥ 0 ; (N(x))/(D(x)) < 0 ; (N(x))/(D(x)) ≤ 0

dove sono espressioni contenti l'incognita .

In questa lezione ci limiteremo a considerare esempi di disequazioni razionali fratte, in cui cioè numeratore e denominatore sono polinomi, e dunque è una frazione algebrica.

Nonostante ciò il metodo che descriveremo ci permetterà di risolvere qualsiasi tipo di disequazione fratta. Potremo quindi applicarlo per risolvere qualsiasi disequazione che si riconduce alla forma

e in cui possono presentare termini algebrici di qualsiasi tipo (radicali, logaritmi, funzioni goniometriche...). Il procedimento è sempre lo stesso, quindi man mano che studieremo ulteriori tipi di disequazioni sapremo già come affrontare le corrispondenti varianti fratte.

Metodo di risoluzione delle disequazioni fratte

Procediamo per punti. Prima vediamo il metodo in generale, successivamente lo applicheremo in un paio di esempi.

1) Esattamente come nelle equazioni fratte, la prima cosa da fare è discutere le condizioni di esistenza e individuare l'insieme di esistenza delle soluzioni. Prima di fare qualsiasi calcolo, imponiamo che ogni denominatore contenente la sia diverso da zero.

Teniamo conto che le condizioni di esistenza devono valere tutte simultaneamente. Immaginando di avere rapporti contenenti l'incognita , scriviamo:

CE: denominatore_1 ≠ 0 ; ... ; denominatore_N ≠ 0

A questo proposito sottolineiamo che le condizioni relative ai denominatori si traducono in equazioni (poco importa che ci sia il simbolo e non l'uguale), e dovendo valere tutte simultaneamente concorrono a un sistema di equazioni.

Se poi nella disequazione non dovessero comparire solamente polinomi, ma ci fossero ad esempio logaritmi, radici ad indice pari e così via, dovremo occuparci delle relative condizioni di esistenza. Esse andranno aggiunte al sistema per le CE:

CE: denominatore_1 ≠ 0 ; ... ; denominatore_N ≠ 0 ; altre eventuali condizioni

Di queste però parleremo nelle successive lezioni. Qui ci occuperemo solamente del caso in cui numeratore e denominatore sono polinomi.

2) Dopo aver individuato l'insieme di esistenza delle soluzioni possiamo procedere con i calcoli. Dobbiamo fare tutti i conti necessari per ricondurci a una delle seguenti forme:

(N(x))/(D(x)) > 0 ; (N(x))/(D(x)) ≥ 0 ; (N(x))/(D(x)) < 0 ; (N(x))/(D(x)) ≤ 0

3) Studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore

Per farlo, a prescindere dal verso del simbolo di disequazione, poniamo:

- il numeratore maggiore-uguale a zero se il simbolo di disequazione include l'uguale; solo maggiore di zero se il simbolo di disequazione non include l'uguale;

- il denominatore solo maggiore di zero in modo da escludere i punti in cui annulla, indipendentemente che il simbolo di disequazione includa o no l'uguale.

In questo modo potremo capire per quali valori dell'incognita numeratore e denominatore sono - separatamente - positivi, negativi o nulli.

(N(x))/(D(x)) > 0 → N(x) > 0, D(x) > 0 ; (N(x))/(D(x)) ≥ 0 → N(x) ≥ 0, D(x) > 0 ; (N(x))/(D(x)) < 0 → N(x) > 0, D(x) > 0 ; (N(x))/(D(x)) ≤ 0 → N(x) ≥ 0, D(x) > 0

Avremo così individuato gli intervalli su cui numeratore e denominatore sono rispettivamente positivi.

Vi facciamo notare che questo non è altro che il metodo del confronto dei segni che abbiamo già applicato per le disequazioni di grado superiore al secondo. ;)

4) Studio del segno del rapporto

Ora viene il bello. Per studiare il segno del rapporto ci serviremo di un'apposita tabella dei segni, formata da tre righe orizzontali:

- sulla prima riga disegneremo una semiretta per indicare l'insieme dei numeri reali, segnando su di essa tutti gli estremi delle soluzioni relative a numeratore e denominatore;

- la seconda riga individuerà gli intervalli su cui il numeratore è positivo o negativo;

- la terza riga individuerà gli intervalli su cui il denominatore è positivo o negativo.

Per non rendere troppo generale la spiegazione, immaginiamo che la disequazione sia del tipo

Supponiamo che le soluzioni della disequazione siano

e che le soluzioni di siano date da

Ora rappresentiamo le soluzioni in un apposito grafico:

Confronto tra numeratore e denominatore nelle disequazioni fratte

Grafico dei segni in una disequazione fratta.

Al di sotto della semiretta abbiamo rappresentato le soluzioni della disequazione . Abbiamo segnato gli intervalli su cui il numeratore è positivo con una linea piena e quelli su cui è negativo con una linea tratteggiata.

Dato che la disequazione per il segno del numeratore è , dobbiamo includere gli estremi che annullano il numeratore. Per questo motivo li indichiamo con dei pallini pieni. Se invece la disequazione per il segno del numeratore fosse stata , avremmo dovuto escludere gli estremi che annullano il numeratore e quindi li avremmo indicati con dei pallini vuoti.

Nella successiva riga abbiamo fatto lo stesso con il denominatore, indicando con un pallino vuoto il valore in cui si annulla, e che va scartato in accordo con le condizioni di esistenza.

Al di sotto della tabella abbiamo confrontato i segni di numeratore e denominatore, facendo riferimento alla regola dei segni per il prodotto: segni concordi danno +, segni discordi danno -.

5) Ora sappiamo quali sono gli intervalli su cui il rapporto è positivo (segno +), negativo (segno -), nullo e quali valori vanno esclusi dalle soluzioni.

Non ci resta che tornare alla disequazione fratta che abbiamo ricavato all'ultimo passaggio del punto 2) (cioè prima di iniziare lo studio del segno di numeratore e denominatore) e individuare le soluzioni in accordo con la richiesta:

	Le soluzioni sono gli intervalli con segno + escludendo tutti i punti dei pallini vuoti.
	Le soluzioni sono gli intervalli con segno + includendo i punti con pallini pieni, ma escludendo quelli con pallini vuoti. Se qualche punto è coperto da un pallino pieno e da un pallino vuoto, dobbiamo escluderlo.
	Le soluzioni sono gli intervalli con segno - escludendo tutti i punti dei pallini vuoti.
	Le soluzioni sono gli intervalli con segno - includendo i punti con pallini pieni, ed escludendo quelli con pallini vuoti. Se qualche punto è coperto da un pallino pieno e da un pallino vuoto, dobbiamo escluderlo.

6) (Qui non ci riguarda) Se ci fossero condizioni di esistenza che derivano da termini non polinomiali, dovremmo tenerne conto quando leggiamo le soluzioni nella tabella. ;)

In ogni caso ciò che ci interessa è la logica del metodo risolutivo per le disequazioni fratte: ridursi ad una disequazione con un unico rapporto, studiare separatamente i segni di numeratore e denominatore e infine confrontarli in una tabella per ricavare le soluzioni della disequazione.

Esempi di disequazioni fratte

Vediamo due semplici esempi di disequazioni fratte razionali.

Esempio 1

Cominciamo con la seguente disequazione fratta:

Svolgimento: applichiamo il procedimento che abbiamo descritto in precedenza.

1) Prima di fare qualsiasi calcolo o semplificazione, determiniamo le condizioni di esistenza imponendo che l'unico denominatore sia diverso da zero:

2) Esprimiamo la disequazione fratta nella forma

(2x+1)/(x)−1 > 0 ; (2x+1−x)/(x) > 0 ; (x+1)/(x) > 0 (•)

3) Studiamo il segno del numeratore ponendolo solo maggiore di zero, dal momento che il simbolo di disequazione non include l'uguale:

Siamo di fronte a una semplice disequazione di primo grado:

x+1 > 0 ; x > −1

Studiamo il denominatore ponendolo maggiore di zero (il denominatore va sempre posto solo maggiore di zero, indipendentemente che il simbolo di disequazione includa l'uguale):

D(x) > 0 ; x > 0

4) Disegniamo la tabella dei segni:

Tabella per una disequazione fratta

Esempio 1 - Grafico dei segni.

5) Guardiamo l'ultimo passaggio in cui abbiamo riscritto la disequazione fratta, vale a dire :

Dobbiamo determinare gli intervalli in cui il rapporto finale è maggiore di zero: gli intervalli delle soluzioni sono quelli in cui c'è il segno +, esclusi gli estremi che annullano il numeratore perché il simbolo di disequazione esclude l'uguale. Ovviamente dobbiamo escludere anche i valori che annullano il denominatore, in accordo con le condizioni di esistenza.

Con la notazione degli intervalli:

In caso di dubbi date un'occhiata alla lezione introduttiva sulle disequazioni dove abbiamo spiegato come rappresentare le soluzioni con gli intervalli ;)

Esempio 2

Proviamo a risolvere la seguente disequazione fratta:

Svolgimento: seguiamo il solito schema.

1) Partiamo dalle condizioni di esistenza e imponiamo che il denominatore sia diverso da zero:

Questa semplice equazione di secondo grado ammette come soluzioni

2) La disequazione è già nella forma desiderata, ed è del tipo .

3) Studiamo il segno del numeratore. Poniamolo maggiore-uguale a zero, perché il simbolo di disequazione include l'uguale

Siamo di fronte a una disequazione di secondo grado:

Risolviamo l'equazione di secondo grado associata

2x^2−3x+1 = 0 ; x_(1,2) = (3±√(9−8))/(4) ; x_1 = (1)/(2) ; x_2 = 1

Le soluzioni della disequazione sono quindi

Studiamo il denominatore ponendolo maggiore di zero

D(x) > 0 ; x^2−1 > 0

Da cui si ricavano velocemente le soluzioni

4) Tracciamo la tabella dei segni:

Esempio di risoluzione di una disequazione fratta

Esempio 2 - Grafico dei segni.

5) Dato che non abbiamo effettuato alcun calcolo, né alcuna semplificazione, prendiamo come riferimento la forma iniziale della disequazione.

Vogliamo sapere su quali intervalli il rapporto è minore-uguale a zero, ossia gli intervalli della tabella in cui compare il segno meno e i valori contrassegnati da pallini pieni. Attenzione a : tale valore annulla il numeratore, e poiché il simbolo di disequazione include l'uguale saremmo tentati di includerlo; esso però annulla anche il denominatore, dunque non dobbiamo prenderlo in considerazione.

Con la notazione degli intervalli:

La prossima puntata del corso riguarderà i sistemi di disequazioni, non perdetevela! ;)

Se dovesse esserci qualche dubbio, qualche problema o qualcosa di poco chiaro, ricordate che qui su YM ci sono moltissime lezioni, esercizi svolti e risorse di ogni tipo, a partire dal tool per risolvere le disequazioni online. Potete reperire tutto quel che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

Na shledanou, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

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Ultima modifica: 23/09/2023