Calcolare pressione e lavoro in una trasformazione adiabatica

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Calcolare pressione e lavoro in una trasformazione adiabatica #96163

avt
User293
Punto
Vi chiedo aiuto per un esercizio su pressione e lavoro in una trasformazione adiabatica.

Ecco la traccia dell'esercizio: 1\ m^3 di aria si trova alla pressione P_1=1\ bar e alla temperatura T_1=27^oC: viene compressa adiabaticamente fino alla temperatura T_2=249^oC. Calcolare la pressione P_2 e il lavoro di trasformazione. k=1,4 è una costante.

Immagino che il volume sia costante, per cui:

\\ V=1\ m^3\ \ ;\ \ P_1=1\ bar\ \ ;\ \ T_1=264\ K\\ \\ \\ T_2=522\ K\ \ ;\ \ k=1,4\ \ ;\ \ \frac{T_1}{T_2}=\left( \frac{P_1}{P_2}\right){\frac{k-1}{k}}

Per il lavoro uso la formula

L=\frac{P_1V_1}{k-1}\left[1-\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{k-1}\right]

I miei dubbi sono su come elaborare queste equazioni, mi perdo con gli esponenti...

Poi, cercando qui e là, ho trovato quest'altra formula:

PV^k=P_1V_1^k

che sembrerebbe più facile da applicare, però mi farebbe piacere che me la spiegaste per bene e indicando da come viene ricavata.

Grazie!
 
 

Calcolare pressione e lavoro in una trasformazione adiabatica #96168

avt
Luigi76
Le Roi
L'ultima formula è l'equazione di Poisson della trasformazione adiabatica reversibile di un gas ideale ed è equivalente a quella scritta fra i dati dell'esercizio.
Devi innanzi tutto convertire le temperature in Kelvin.
Quindi
T1 = 300 K ; T2 = 522 K
Poi, utilizzando l'equazione data, si ottiene
p2 = p1•(T2/T1)^(k/k-1) = (522/300)^3,5 = 6,95 bar
Infine per il lavoro della trasformazione conviene utilizzare il 1° principio.
Poiché è Q = 0,
L = - ΔU = n Cv(T1 - T2)
ricordando che per l'aria (gas biatomico)
Cv = (5/2)R
e utilizzando l'equazione di stato, si ottiene:
L = (5/2)(p1V1 - p2V2)

Lascio a te il calcolo numerico
Ringraziano: User293

Calcolare pressione e lavoro in una trasformazione adiabatica #96169

avt
User293
Punto
Grazie mille davvero, se puoi mi farebbe piacere anche una breve spiegazione su queste formule...

Sfortunatamente il professore non ci spiega niente e ci ha dato solo quelle formule...

Calcolare pressione e lavoro in una trasformazione adiabatica #96173

avt
Luigi76
Le Roi
Dovrei sapere che classe frequenti e quali sono le tue conoscenze di analisi matematica. Purtroppo non ho familiarità con i programmi del
liceo.

Re: Calcolare pressione e lavoro in una trasformazione adiabatica #96271

avt
User293
Punto
Ma R è la costante dell'aria

R=287\ \frac{kJ}{kg\cdot K}\ ?

E quindi

C_v=\frac{5}{2}\cdot 287\ ?

infine

C_v=717,5\ \frac{kJ}{kg\cdot K}\ ?

Re: Calcolare pressione e lavoro in una trasformazione adiabatica #96272

avt
Luigi76
Le Roi
R è la costante universale dei gas ideali. Il suo valore, nel sistema universale è:
R = 8,314 J/K.mol
quindi il calore molare a volume costante, per un qualsiasi gas ideale biatomico (come l'aria)vale:
Cv = 2,5•8,314 = 20,785 J/K.mol
Se vuoi il calore specifico a volume costante, basta moltiplicare per il "peso molecolare" del gas.

Re: Calcolare pressione e lavoro in una trasformazione adiabatica #96273

avt
User293
Punto
Quindi se C_p=C_v+R abbiamo

\\ \frac{5}{2}R+8,314=20,785+8,314\ ?\\ \\ Cp=29.099 ?

Re: Calcolare pressione e lavoro in una trasformazione adiabatica #96274

avt
Luigi76
Le Roi
Pur non avendo risposto alle mie domande, ti mostro come si ricava l'equazione di Poisson della adiabatica reversibile di un gas ideale.
Si parte da
dQ = 0
quindi, per il 1° principio,
dU + pdV = 0
Ma dU = n Cv dT, e, per l'equazione di stato.
p = n R T/V
quindi il 1° principio diventa:
n Cv dT + (n R T/V)dV = 0
semplifica "n" e separa le variabili. Si ha:
Cv dT/T + R dV/V = 0
Ma per la relazione di Mayer
Cp = Cv + R
segue
R/Cv = (Cp - Cv)/Cv = γ - 1
dove
γ = Cp/Cv
quindi
dT/T +(γ-1)dV/V = 0
Da cui, integrando, si ottiene
ln(T2/T1) + (γ-1)ln(V2/V1) = 0
e, per note proprietà del logaritmo,
ln{T2 V2^(γ-1)/T1V1^(γ-1)} = 0
Quindi l'argomento del logaritmo vale 1. Da cui
T2 V2^(γ-1) = T1 V1^(γ-1)
che è l'equazione di Poisson in T e V.
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